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#1 07-04-2010 15:09:15
- TOUITOU
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- Messages : 4
Exercices-Familles libres-liées-génératrices-Bases : corrigé
Bonjour,
Dans l'execice 9- Base+coordonnées-L1/Math Sup-*, on demande de montrer que les vecteurs u1= (0,1,1),
u2= (1,0,1) et u3= (1,1,0) forment une base de R3.
Dans le corrigé correspondant, on a oublié de prouver que la famille (u1, u2, u3) est génératrice. Pour cela, il faut prouver que tout vecteur U = (a,b,c) de R3 s'écrit comme une combinaison linéaire de u1, u2 et u3.
C'est à dire : U = (a, b, c) = k1 (0, 1, 1) + k2 (1, 0, 1) + k3 (1, 1, 0) avec k1, k2, k3 éléments de R.
Ce qui revient à un système de 3 équations à 3 inconnues (pour a, b et c donnés):
a = k2 + k3 (L1)
b = k1 + k3 (L2)
c = k1 + k2 (L3)
Faisons (L3) - (L1) -> (L3) on obtient :
a = k2 + k3
b = k1 + k3
c -b = k1 - k3
D'où l'on tire : k2 = (a + c - b)/2 k1 = (- a + b + c)/2 k3 = (b + a - c )/2
Pour la question suivante, se rapporter au corrigé de l'exercice.
Merci et à bientot.
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#2 07-04-2010 15:39:59
- Gustave
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- Messages : 36
Re : Exercices-Familles libres-liées-génératrices-Bases : corrigé
Bonjour,
si on a une famille libre de trois vecteurs dans un espace de dimension trois elle est forcément génératrice. C'est pourquoi on n'a pas besoin d'en faire la preuve à chaque fois.
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#4 08-04-2010 12:51:37
- Gustave
- Membre
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- Messages : 36
Re : Exercices-Familles libres-liées-génératrices-Bases : corrigé
Normalement oui. Si le livre avec lequel tu travaille contient des éléments de cours cette propriété devrait y figurer, sinon tu peux regarder dans n'importe quel cours.
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#5 17-04-2010 06:12:28
- Herve
- Invité
Re : Exercices-Familles libres-liées-génératrices-Bases : corrigé
Bonjour,
Une info qui sera je pense interessante pour tous nos amis matheux :
un espace vectoriel de dimension n, une famille libre de n vecteurs et une famille génératrice de n vecteurs sont toujours reliées entre elles par les propriétés suivantes :
1- si on connait un espace vectoriel de dimension n et que l'on a une famille libre associée de n vecteurs alors on a forcément une famille génératrice associée de n vecteurs (c'est ce que disait Gustave), ou bien
2- si on connait une famille libre de n vecteurs et que cette famille de n vecteurs est génératrice, alors on a forcément un espace vectoriel associé de n vecteurs, ou bien
3- si on connait une famille génératrice de n vecteurs et que l'on a un espace vectoriel associé de dimension n alors on a forcément une famille libre associée de n vecteurs.
Au risque de paraitre ridicule, j'insiste sur le fait que l'on doit impérativement avoir le meme nombre n de vecteurs et que la dimension de l'e.v. doit etre également n.
Merci et à bientot.