Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Ces sacrés nombres premiers

Salut à tous,

Je l'ai peut-être déjà dit quelque part : je hais les nombres premiers : ce sont des voyous. Dans le monde rigoureux des maths, ils n'obéissent à aucune règle.
Cela ne m'empêche pas d'avoir un bouquin sur ce sujet, dans lequel je replonge de temps à autre, comme le chien retourne à son vomi.

J'y ai trouvé ceci :

« On a remarqué que:

3! - 2! + 1!  = 5, nombre premier,
4! - 3! + 2! - 1!  =  19, nombre premier,
5! - 4! + 3! - 2! + 1!  =  101, nombre premier,
6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1!  =  619, nombre premier,
7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1!  =  4.421, nombre premier
8! - 7! + 6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1!  =  35.899, nombre premier,

9! - 8! + 7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1!  =  326.981, nombre NON premier, car égal à 4.139  X  79. »

Ainsi, sur les sept séquences ci-dessus, les six premières semblent dégager une règle, et ensuite la septième fout tout par terre.

En bonne logique, il faudrait donc en conclure qu'il n'y a pas là de règle et que les résultats des six premières lignes ne sont qu' une coïncidence !  « C'est tout de même troublant », comme dirait le trouvère. Surtout que si on ne peut pas nier que le résultat de la septième ligne est un nombre composé, ce n'est tout de même pas un nombre composé tout à fait ordinaire, puisqu'il est le produit de deux nombres premiers.

Tout ceci m'ayant occasionné un certain troubleu, j'ai décidé à tout hasard, de pousser la séquence un peu plus loin. Ca peut paraître illogique : si ça foire une seule fois, c'est bon à mettre à la poubelle ! Oui, mais peut-être qu'il n'y a là qu'une règle incomplète, où il manquerait un élément de raisonnement qui justifierait que la règle élémentaire soit  violée dans certains cas déterminés. Je sais : c'est tiré par les cheveux. Mais d'autre part, la coïncidence des six premières lignes me semble un peu dure à avaler.

J'ai donc décidé de pousser l'expérience un peu plus loin :

10! - 9! + 8! - 7! + 6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1!  =  3.301.819,
11! - 10! + 9! - 8! + 7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1!  =  36.614.981,
12! - 11! + 10! - 9! + 8! - 7! + 6! - 5! + 4! - 3! = 2! - 1!  =  442.386.619.

Il y a un os : c'est que les tests de primalité dépassent ma compétence très limitée et que les listes de nombres premiers disponibles sur le net ne vont pas assez loin.

C'est pourquoi je fais appel aux virtuoses des maths et de l'informatique qui pullulent sur ce site pour me fournir les renseignements suivants :
a) les trois nombres obtenus sont-ils premiers ?
b) s'ils ne le sont pas, quelle est leur décomposition en facteurs premiers ?

Je vous remercie d' avance.

JeanMars

Invité

Re : Ces sacrés nombres premiers

Hello,

10! - 9! + 8! - 7! + 6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1!  =  3.301.819, PREMIER
11! - 10! + 9! - 8! + 7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1!  =  36.614.981=13 x 2816537
12! - 11! + 10! - 9! + 8! - 7! + 6! - 5! + 4! - 3! = 2! - 1!  =  442.386.619= 29 x 15254711

Il suffit d'aller voir sur:
http://www.mathematiquesfaciles.com/out … remier.php

Y'a sans doute mieux mais Google l'a sorti dans les premiers...

Je ne vois pas trop quoi en déduire par contre...

A+,
Jean

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : Ces sacrés nombres premiers

Bonsoir, JeanMars,

Je te remercie, je ne connaissais pas ce site. Il est bien commode.

Si commode que je m'en suis immédiatement servi pour tâter les facteurs que tu m'as fournis : tous les quatre sont premiers.

On peut donc dire que les dix résultats obtenus sont :
a) soit des nombres premiers,
b) soit le produit de DEUX facteurs premiers (pas davantage).

A quoi ça mène ? je suis comme toi : je n'en sais rien.

A quoi ça a servi ? à occuper agréablement mon après-midi.

Salutations.

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : Ces sacrés nombres premiers

Salut,
Au delà de la séquence commençant par 12!, ça ne marche plus.
Expérience terminée.

Golgup

Membre actif

Inscription : 09-07-2008

Messages : 574

Re : Ces sacrés nombres premiers

Bonjour!

Effectivement..

Je me suis amusé, avec donc,  [tex]N\left(n\right)=-{1}^{n}\sum^{n}_{k=1}-{1}^{k}k![/tex] 

ou  [tex]N\left(n\right)=\left|\sum^{n}_{k=1}-{1}^{k}k!\right|[/tex]

Peut on simplifier la somme?

Avec python on vérifie la factorisation jusque à N(14) (code 1), après c'est trop long,mais pour la primalité on est pas limité (code 2):

code 1

Limite:14

N( 3 )= 5 = ( 5 ^ 1 )
N( 4 )= 19 = ( 19 ^ 1 )
N( 5 )= 101 = ( 101 ^ 1 )
N( 6 )= 619 = ( 619 ^ 1 )
N( 7 )= 4421 = ( 4421 ^ 1 )
N( 8 )= 35899 = ( 35899 ^ 1 )
N( 9 )= 326981 = ( 79 ^ 1 ) ( 4139 ^ 1 )
N( 10 )= 3301819 = ( 3301819 ^ 1 )
N( 11 )= 36614981 = ( 13 ^ 1 ) ( 2816537 ^ 1 )
N( 12 )= 442386619 = ( 29 ^ 1 ) ( 15254711 ^ 1 )
N( 13 )= 5784634181 = ( 47 ^ 1 ) ( 1427 ^ 1 ) ( 86249 ^ 1 )
N( 14 )= 81393657019 = ( 23 ^ 1 ) ( 73 ^ 1 ) ( 211 ^ 1 ) ( 229751 ^ 1 )

Remarquons que les puissance sont toujours égales à 1..mais que les facteurs ne sont pas au minimum au nombre de deux..

code 2

Limite:50,100

N( 3 )= 5 : premier
N( 4 )= 19 : premier *
N( 5 )= 101 : premier *
N( 6 )= 619 : premier *
N( 7 )= 4421 : premier *
N( 8 )= 35899 : premier *
N( 9 )= 326981 : composé
N( 10 )= 3301819 : premier *
N( 11 )= 36614981 : composé
N( 12 )= 442386619 : composé
N( 13 )= 5784634181 : composé
N( 14 )= 81393657019 : composé
N( 15 )= 1226280710981 : premier *
N( 16 )= 19696509177019 : composé
N( 17 )= 335990918918981 : composé
N( 18 )= 6066382786809019 : composé
N( 19 )= 115578717622022981 : premier *
N( 20 )= 2317323290554617019 : composé
N( 21 )= 48773618881154822981 : composé
N( 22 )= 1075227108896452857019 : composé
N( 23 )= 24776789629988523782981 : composé
N( 24 )= 595671612103250915577019 : composé
N( 25 )= 14915538431227735068422981 : composé
N( 26 )= 388375922695377900515577019 : composé
N( 27 )= 10500493527722974260252422981 : composé
N( 28 )= 294387851083990886241251577019 : composé
N( 29 )= 8547374142655711068302364422981 : composé
N( 30 )= 256705485669535347568006115577019 : composé
N( 31 )= 7966133168508387470157556764422981 : composé
N( 32 )= 255164703765185142697060455395577019 : composé
N( 33 )= 8428152915046701352821133945884422981 : composé
N( 34 )= 286804646124557439494797475697635577019 : composé
N( 35 )= 10046343320261587490171853861825564422981 : composé
N( 36 )= 361946983469639629977827594289009635577019 : composé
N( 37 )= 13401806107756705416338151987291892764422981 : composé
N( 38 )= 509620811358844406343669072112782398435577019 : composé
N( 39 )= 19888261269838598952296612667790114958364422981 : composé
N( 40 )= 796027021978059135393314656928325779313635577019 : composé
N( 41 )= 32656499591185747972776747396512425885838364422981 : premier *
N( 42 )= 1372349618161694150570365858847999144050545635577019 : composé
N( 43 )= 59042913445212141486784766209665998363213966364422981 : composé
N( 44 )= 2599228661343236626556841044804949891956424561635577019 : composé
N( 45 )= 117022992204136957935406320450852765172427309198364422981 : composé
N( 46 )= 5385599167607951991914899108349402127789224443761635577019 : composé
N( 47 )= 253237642343560228651049456045262577841408407945358364422981 : composé
N( 48 )= 12160677950192512442211239591328112460680077946732401635577019 : composé
N( 49 )= 596121186084075048430040923729967264426872753432477838364422981 : composé
N( 50 )= 29817972015629302995182567242334801579950768815528034161635577019 : composé
N( 51 ): composé
N( 52 ): composé
N( 53 ): composé
N( 54 ): composé
N( 55 ): composé
N( 56 ): composé
N( 57 ): composé
N( 58 ): composé
N( 59 ): premier *
N( 60 ): composé
N( 61 ): premier *
N( 62 ): composé
N( 63 ): composé
N( 64 ): composé
N( 65 ): composé
N( 66 ): composé
N( 67 ): composé
N( 68 ): composé
N( 69 ): composé
N( 70 ): composé
N( 71 ): composé
N( 72 ): composé
N( 73 ): composé
N( 74 ): composé
N( 75 ): composé
N( 76 ): composé
N( 77 ): composé
N( 78 ): composé
N( 79 ): composé
N( 80 ): composé
N( 81 ): composé
N( 82 ): composé
N( 83 ): composé
N( 84 ): composé
N( 85 ): composé
N( 86 ): composé
N( 87 ): composé
N( 88 ): composé
N( 89 ): composé
N( 90 ): composé
N( 91 ): composé
N( 92 ): composé
N( 93 ): composé
N( 94 ): composé
N( 95 ): composé
N( 96 ): composé
N( 97 ): composé
N( 98 ): composé
N( 99 ): composé
N( 100 ): composé

Ici N(x) est premier pour x<101 et x={4,;5;6;7;8;10;15;19;41;59;61} soit rien de logique à l'oeil nu.

Et on pourrait mener une étude plus "poussée" mais bien souvent ça amène plus de questions que de réponses..

++

Dernière modification par Golgup (12-03-2010 17:47:53)

Golgup

Membre actif

Inscription : 09-07-2008

Messages : 574

Re : Ces sacrés nombres premiers

Hello!

Nouveau record, après 24 heures de recherche la machine trouve N(661) premier! , le précèdent premier étant N(160) Ce n'est donc pas la façon la plus efficace pour rechercher de grands nombres premiers mais qui trouvera N(x) premier superieur à N(661)???

pour info:

N(661)=

7818097272875111663763046619489576386376628041923799103080020896138596121536121909668398232115261750560037689804840636311010403922714910764440401425373185830101646497084010558355048903996853208626241440237915258607564156302038068161396913985569766328346517262583021603851239427741719997674216129088441109051527926302412090108303143566350099358785443698135836210877826013055394792799284718478072992777745824094231103221170294228764252260533469573961179568116740332151015373085634600244054260715247293790262033693024320839556782356904557494734064000862562588066183507412167510511645871802299879339111836878237332158843694426696053859237178865676941988752162377877461446578167029094004405724275192017967509793107316380512682070826860559759380856806642345329963541092065395379057637336984441129060140771672450908580396954764613321520242427173719533057841174828757887614829032995548908672748058311773966344235677444254383391848258825450999977188413054914377328303777827486301094285240665903968197386291939282510836895458127940113848194398363447536274495155335160753887855417772510309750457147578039906271371824176351054456207217546080180288663312789333763219505675054610445406928727242306606755699953231492178902472242810892776242513997245235910975317427616133056433359757922288522854279621227366129947573130446608844063482698256231074215483841430545598779965252185963766783758572003513442538263717651512039007127443234231953477182494934899223267173732066907555914286958623677362315354522902575636007633006407931117010881138681328162956350380415938944313763241178553460637838364422981

@+