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clemence10

Invité

polynomes : factorisation {Résolu]

bonjour,

J'aimerais un peu d'aide pour cette exercice si quelqu'un veut bien m'aider

voici le sujet

Factoriser sur R et sur C les polynomes suivant

P(x) =X^4-4
P(x) = 1-X^8
P(x) = X^6+4X^5+4X^4-4x^3-11X^2-8X-2

voila je ne sais pas comment m'y prendre cela fait 2 jours que je ne trouve pas s'il vous plait $

merci d'avance
cordialement
clemence

freddy

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Re : polynomes : factorisation {Résolu]

Salut,

Factoriser sur [tex]\R[/tex] et sur [tex]\C[/tex] les polynômes suivants :

[tex]P(X) =X^4-4=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X^2+2)[/tex]

[tex]P(X) = 1-X^8=(1-X)(1+X)(1+X^2)(1+X^4)[/tex]

[tex]P(X) = X^6+4X^5+4X^4-4X^3-11X^2-8X-2[/tex]

[tex]X=-1[/tex] est une racine "évidente" !

Bon, là aussi, je te laisse finir ...

Dernière modification par freddy (11-03-2010 23:34:36)

clemence10

Invité

Re : polynomes : factorisation {Résolu]

oui merci c gentil pour le polynome dans C il suffit de metre i a la place de x c sa

freddy

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Re : polynomes : factorisation {Résolu]

Non non, pas du tout.

Il faut que tu te rappelle que [tex]i^2=-1[/tex] ce qui donne [tex]X^2+1=(X+i)(X-i)[/tex] par exemple ...

A faire pour trouver toutes les racines de tes 3 polynômes, sachant qu'un polynôme de degré n admet exactement n racines dans le corps des nombres complexes.

Ainsi pour le premier polynôme, tu vas avoir :

[tex]P(X)=X^4-4=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X-i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})[/tex]

Tu vois mieux ?

freddy

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Re : polynomes : factorisation {Résolu]

Pour le second polynôme, cela s'appelle "chercher la racine huitième de l'unité".

Je t'ai écrit le début, reste à finir le travail avec le polynôme de degré 4 de la manière suivante :

[tex]X^4+1=X^4-i^2=(X^2-i)(X^2+i)[/tex]

[tex](X^2-i)=(X-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))(X+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))[/tex]

[tex](X^2+i)=(X-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i))(X+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i))[/tex]

Dernière modification par freddy (11-03-2010 23:32:29)

freddy

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Re : polynomes : factorisation {Résolu]

Re,

pour le troisième polynôme, on a :

[tex]P\left(X\right)={\left(X+1\right)}^{4}\left(X+\sqrt{2}\right)\left(X-\sqrt{2}\right)[/tex]

Et voilà le travail !

Bis bald