Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

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la forteresse

Repartir les 45 prisonniers de cette forteresse dans les 9 cellules carrées,de façon que chacun des quatre Gardiens (G) ait sous sa surveillance 17 prisonniers. aucune cellule n’est vide. on précise que chaque Gardien surveille les cellules situées autour de la pièce triangulaire dans laquelle il se tient. Deux cellules distinctes ne peuvent contenir le même nombre de prisonniers.
On doit avoir A<B<C

goz

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Re : la forteresse

Bonjour,

A = 6, B = 7, C = 9, D = 3, E = 2, F = 1, H = 8, I = 5, J = 4. On voit facilement que ça marche et à peine moins facilement que c'est la seule solution.

Amicalement,

Goz

nerosson

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Re : la forteresse

Salut,
A=5   B=8   C=9   D=1   E=2   F=3   H=7   I=6   J=4 .
Salutations.

P.S. Solution envoyée hier par E-mail à Franklino.

Dernière modification par nerosson (07-03-2010 14:36:20)

freddy

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Re : la forteresse

Salut,

et on vérifie qu'il n'y a que 2 solutions à ce problème !

Bb

gatha de La Ciotat

Invité

Re : la forteresse

Bonjour à tous,
félicitations pour le dessin, j'aimerais savoir en faire autant.
Je me suis penché sur le problème, et n'ai trouvé de satisfaisante que la méthode empirique, qui consiste à essayer
des valeurs successives, balisées par quelques équations du style:
A+E+H+F=17
H+I+J=17 etc... et bien sûr A inf à B inf à C.
Pouvez vous m'indiquer comment vous avez procédé ?
Merci.

freddy

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Re : la forteresse

Re,

tout d'abord, de l'énoncé, on déduit qu'on doit prendre tous les entiers de 1 à 9, puisque la somme donne 45.

Ensuite, on à l'indication A < B < C.

Enfin, on tâtonne, sachant qu'un même nombre doit servir plusieurs fois, en cherchant à résoudre les 4 équations à 3 ou 4 inconnues dont le total est constant (17).

Et pour finir, un bon petit programme sous SAS permet de vérifier qu'il n'y a pas d'autre solution que les deux proposées.

nerosson

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Re : la forteresse

Salut à tous,

Pour Gatha,

Comme l'a dit Freddy, du fait que les 45 prisonniers sont répartis inégalement dans les neuf cellules, les nombres à trouver vont de 1 à 9.

Les cellules A, B, C sont gardées par un seul gardien, les cellules D, E, F, H, I, J par deux gardiens, donc on a :
A + B+ C+ 2 ( D + E + F + H + I +J ) = 17 X 4 = 68
et
A + B + C + D + E + F + H + I + J = 45,
donc, par soustraction membre à membre : D + E + F + H + I + J = 68 – 45 = 23.
Or,  H + I + J = 17 (même gardien), donc : D + E + F = 23 – 17 = 6 et  A + B + C = 45 – 23 = 22.

Récapitulons : A + B + C = 22,    A < B < C,    D + E + F = 6, (donc D, E, F correspondent aux nombres 1, 2, 3),   H + I + J = 17.

Si l'on tient compte des deux conditions ci-dessus concernant  A B C, cela ne nous laisse que deux possibilités :   A = 5, B = 8, C = 9   ou bien   A = 6, B = 7, C = 9.

Si l'on veut combiner ces données avec les faits que :
a) chaque gardien surveille 17 détenus,
b) le nombre de détenus est différent pour les 9 cellules,
on ne peut obtenir que les deux solutions mentionnées dans les interventions précédentes.

gatha de La Ciotat

Invité

Re : la forteresse

Bonjour à tous,
merci Freddy, merci Nerosson, duquel j'admire le sens de la simplicité, et la limpidité de sa rhétorique.
Je vous prépare un message crypté, j'ai quand même la crainte d'être décodé immédiatement. Faut pas décoder...

gatha de La Ciotat

Invité

Re : la forteresse

Rebonjour à tous,
j'ai oublié le principal, car j'ai un autre problème à soumettre.
Comment s'y prend-on pour dessiner, à la manière de Franklino ?
Merci.

yoshi

Modo Ferox

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Re : la forteresse

Salut gatha,

2 solutions s'ouvrent à toi :
1. Faire le dessin à la main (avec règle équerre, compas, rapporteur...) puis scanner ce dessin,
2. A l'ordinateur : celui de franklino est composé de carrés et de traits, qu'on pose sur sa page à l'aide de la barre d'outils de dessin de son traitement de textes préféré (pour moi OpenOffice.org libre et gratuit), puis à l'aide de "zones de texte" on place les lettres où on veut, on appuie sur la touche Impr écran, on colle l'image dans un utilitaire de retouches (genre photofiltre -gratuit- mais pas libre) et on recadre autour de l'image, ou alors on se lance dans le GeoLabo de Fred.

Une fois ce dessin dûement enregistré sur ton disque dur, il va te falloir le déposer chez un hébergeur d'images :
imageshack.us (sans inscription préalable), hiboox.fr (sans inscription), photobucket.com (inscription)...
Ensuite, tu mets l'adresse de ton image sur le forum coincée entre 2 balises img  et /img (entres crochets, comme toutes les balises).

Ca te va ?

Si vraiment, tu n'y arrives pas, je le ferai à ta place...

@+