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Xavier Bourdillon

Invité

[Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

Voila, je vous fais appelle car je suis dans la dernière ligne droite de mon devoir maison mais la je sèche complétement sur le dernier exercice ! Alors je vous fais appelle

VOICI l'ENONCE :

1. Voici les températures relevées le 11 mars  2007 par les services météorologiques britanniques.

Quelles remarques vous inspirent ces températures ?

2. Pour mesurer la température, l’Homme a inventé le thermomètre en utilisant la dilatation des liquides (alcool, mercure….). L’idée consiste à attribuer les températures 0 et 100 à deux phénomènes puis à construire une graduation régulière. 

Il y a actuellement trois échelles de température dans le monde :
L’échelle Kelvin utilisée par les chimistes et physiciens.
L’échelle Celsius universellement utilisée sauf en UK et USA
L’échelle Fahrenheit utilisée en UK et USA.

- Echelle Celsius créée par Anders Celsius (1701-1744) :

- Echelle Fahrenheit crée par Gabriel Fahrenheit  (1686-1736) :

Voici un bandeau qui se trouve au dessus des cartes météo sur internet (comme http://uk.weather.com)

La conversion des degrés Celsius vers les degrés Fahrenheit se fait par une fonction affine.
A l’aide des données du bandeau, exprimer cette fonction à l'aide d'une formule.

En déduire une formule permettant la conversion des degrés Fahrenheit vers les degrés Celsius.
Est-ce aussi la formule d'une fonction affine ?
1. Les guides touristiques (français !) fournissent des solutions différentes pour la conversion des degrés Fahrenheit vers les degrés Celsius :
                  Le Guide Bleu : "soustraire 32 puis multiplier par 5 et diviser par 9"
                  Le Petit Futé : "retirer 30, diviser par 2 et rajouter 1."
                  Le Guide du Routard : "retrancher 26 puis diviser par 2..."
Quelle est la meilleure formule ? Justifier.

2. Parmi ces trois formules, démontrer qu’il y en a deux qui possèdent cette propriété curieuse :
« l’une donne toujours 1 degré Celsius de plus que l’autre ».

Alors je ne comprends rien du tout je n'arrive même pas à démarrer aidez moi svp, je veut boucler ce devoir maison ! Merci d'avance au gens qui vont se pencher sur mon problème

yoshi

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Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

Salut,

C'est vrai que l'énoncé est un peu... disons... touffu !
Dissipons les nuées...
C'e'st une fonction affine donc du type f(x)=ax+b
Il te suffit donc de deux couples valeurs, on prend x en °F et on obtient f(x) en °C.
Si je lis le bandeau, je prends par exemple :
f(32)=0  et f(50)=10
Tu vas donc obtenir un système de deux équations à 2 inconnues  a et b que tu dois résoudre...
Ne t'attends pas trouver a et b (les deux) entiers...

Après quoi, tu ne devrais pas avoir de problème particulier à finir.

@+

Xavier Bourdillon

Invité

Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

Je ne comprend pas ton raisonnement :(

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

Re,

Bon, je vois qu'on demande celsius ---> Farenheit d'abord, ce qui ne change rien à la méthode comme tu vas le constater.

1. L'énoncé dit :

La conversion des degrés Celsius vers les degrés Fahrenheit se fait par une fonction affine.

Oui/ Non ?

2. Une fonction affine f est une fonction qui à tout nombre réel x associe le nombre réel f(x) = ax+b où a et b sont deux constantes appartenant à l'ensemble des nombres réels.
Oui/Non ?
Deux exemples :
[tex]f(x)=-3x+2[/tex]
[tex]f(x) = {5 \over 9}x + {32 \over 9}[/tex]

Pas de raisonnement pour l'instant; D'accord ? Oui/Non ?

3. Examinons le bandeau coloré.
Qu'y voit-on ?
Réponse. On y voit les correspondances (par exemple) suivantes :
  0 °C ---> 32 °F
10 °C ---> 50 °F
Oui/Non ?

4. Introduisons cela dans la fonction affine.
Rappel : j'ai choisi d'appeler f la fonction qui à toute t° x exprimée en °C associe sa t° f(x) en °F.
x est l'antécédent f(x) l'image de x par f.
ESt-ce clair ? Oui/Non ?
Donc antécédent   0 --> image 32  : traduction f(0) = 32
        antécédent  10 --> image 50 : traduction f(10) = 50
Est-ce clair ? Oui/Non ?
f(0) = 32  se traduit par 32 = a * 0 + b
Oui/Non ?

Continue...

@+

Xavier Bourdillon

Invité

Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

re, tu va me trouver bête :( mais je comprend pas du tout, je vais te donner mes réponses que j'ai chercher

pour le 1/ Les températures ne sont pas en degré ( exemple 60 à madrid mais en fareinheit.

le reste je ne comprend pas, je ne vois pas le but

Xavier Bourdillon

Invité

Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

après avoir relue tes exemples je comprend un peu mieux mais c'est encore trop flou, peut tu encore m'aider ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

Re,

Je constate que tu ne réponds à aucune des questions Oui/Non posées... Comment veux que je sache où tu coinces ? Si tu ne fais pas un pas vers moi, je n'en ferai pas 2 vers toi : cela voudrait dire, faire le boulot à ta place, ce qui ne t'avancerait guère et de plus, ce n'est pas le genre de la maison !

La seule chose dont je dois tenir compte (le reste, c'est pour faire joli), c'est ça :

1ere ligne au bout à droite, je vois °C
2eme ligne au bout à droite je vois °F.

1ere ligne je vois 0  et en dessous 2e ligne, je vois 32. Il est donc clair que si on convertit 0 °C en °F, on obtient 32° F
Avec f(x) = ax + b, x est l'antécédent, soit ici x = 0 et f(0) c'est à dire l'image de  par la fonction f, c'est à dire encore la t° en °F, est 32.
Donc je remplace x par 0 et le résultat est 32. Soit 32 = a * 0 + b, ou encore 32 = b.
Dieu que c'était dur à comprendre...

1ere ligne, je vois 10  et en dessous 2e ligne, je vois 50. Il est donc clair que si on convertit 10 °C en °F, on obtient 50° F
Avec f(x) = ax + b, x est l'antécédent, soit ici x = 0 et f(10) c'est à dire l'image de  par la fonction f, c'est à dire encore la t° en °F, est 50.
Donc je remplace x par 10 et le résultat est 50. Comment écris-tu cela ?
Sachant que tu as trouvé b au dessus, tu vas pouvoir trouver a maintenant.
Nanti de a et b tu auras donc ta formule de conversion des °C en °F...

Pour la 2e question, on verra lorsque tu auras répondu.

@+

Xavier Bourdillon

Invité

Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

si je remplace x par 10 et si le résultat est 50, j'écris 50 = a * 10 + b, ou encore 50 = b.

mais je ne vois pas quelle formule mathématique on peut tirer de ça

Xavier Bourdillon

Invité

Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

il faut faire une fonction sous la forme ax +b mais a quoi correspondent a et b car si je prend 10 en °C sa veut dire que il y aura 50 en °F. donc x=10 et f(x)=50 donc sa quoi la relation, je bloque la ??

Xavier Bourdillon

Invité

Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

J'ai trouvé ax + b où a= 1.8 et b = 32

exemple : 104 = 40x1.8 + 32

peut tu m'aider pour la suite

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 405

Re : [Résolu] Conversions °C et °F, fonctions affines.

RE,

si je remplace x par 10 et si le résultat est 50, j'écris 50 = a * 10 + b, ou encore 50 = b.

Sûrement pas !
50 = a * 10 + b donne 50 = 10a + b. Point barre
Si j'ai j'ai écrit 32 = a * 0 + b donne b = 32 c'est que a * 0 = 0 ! Ce qui n'est pas le cas de a * 10...

Donc j'ai b = 32 et 50 = 10a + b j'en déduis 50 = 10a + 32  et par conséquent [tex]a = {18 \over 10} = {9 \over 5}[/tex] Oui ça donne a = 1.8. Moi, c'est les nbs décimaux qui me flanquent des boutons, pas les fractions : avec une fraction j'ai la certitude quels que soient les nombres de toujours avoir une valeur exacte, ce qui n'est pas toujours vrai si on saute d'office sur la division...

Donc [tex]f(x)={9 \over 5}x + 32 [/tex], x étant la t° en °C et f(x) la t° convertie en °F...

La suite :

En déduire une formule permettant la conversion des degrés Fahrenheit vers les degrés Celsius.

x et y les t° correspondantes, respectivement en °C et ° F.
Pour enclencher la "marche arrière", il te faut exprimer non plus y en fonction de x mais x en fonction de y, sachant que :
[tex]y = {9 \over 5}x + 32[/tex].
Tu cherches donc à écrire x = expression en fonction de y.
Comment ?
Suppose que ce n'est pas y, mais 100 (par exemple), comment trouves-tu x ?
Et bien tu fais la même chose (en plus simple : pas de calculs !) :  [tex]{9 \over 5}x = y - 32[/tex].
Et tu passes de [tex]{9 \over 5}x[/tex] à [tex]1x[/tex], soit x tout court (Et c'est là qu'intervient l'intérêt de la fraction : dans ce sens la division ne donnera pas la valeur décimale exacte, et tu perdras du temps pour la question suivante)

Est ce que la fonction g telle x = g(y) est une fonction affine ?
Tu vois bien que oui puisque g(y) s'écrit cy + d où c et d sont les coefficients que tu viens de trouver !

Le Guide Bleu : "soustraire 32 puis multiplier par 5 et diviser par 9"
                  Le Petit Futé : "retirer 30, diviser par 2 et rajouter 1."
                  Le Guide du Routard : "retrancher 26 puis diviser par 2..."

Quelle est la meilleure formule ? Justifier.
La meilleure formule pour passer des °F aux °C est celle qui donne le résultat le plus proche de la vérité, voire le résultat exact.
L'une d'entre elles donne le résultat exact.
Et les autres ? Tester sur deux-trois valeurs simples ( de préférence celles déjà utilisées pour trouver la formule °C --> °F)... De toutes façons tu en auras besoin pour répondre à :

2. Parmi ces trois formules, démontrer qu’il y en a deux qui possèdent cette propriété curieuse :
« l’une donne toujours 1 degré Celsius de plus que l’autre ».

ou du moins identifier les deux méthodes concernées.
Parce qu'on dit "Démontrer", ce qui si tu es en 3e (?) et non en 2nde est moins évident car moins de maîtrise du calcul théorique...

On va poser  x la t° en °F,  g(x) la t° en °C obtenue par le "Guide Bleu" [tex]g(x) = {9 \over5(x-32)[/tex]

On va poser  x la t° en °F,  h(x) la t° en °C obtenue par "Petit Futé" [tex]g(x) = \frac{x-30}{2}+1[/tex]

On va poser  x la t° en °F, k(x) la t° en °C obtenue par le "Guide du Routard" [tex]k(x) = \frac{x-26}{2}[/tex]

Quand tu les auras identifiées ces deux formules, tu n'auras plus qu'à les soustraire pour trouver 1 comme résultat, résultat indépendant de x.
Donc tu auras montré que « l’une donne toujours 1 degré Celsius de plus que l’autre ».
La difficulté était dans les 2 mots démontrer et toujours : tu ne pouvais pas te contenter de quelques exemples.

@+