Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Johnatan

Invité

DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Bonjour,

Voici mon exercice qui me pause probléme

Soit la fonction f définie sur] – infinie ; + infinie [par :    f (x) =  5 – x 2 – 4 x
1.Démontre que f (x) peut s’écrire : f (x) = 9 – (x + 2)2   pour tout réel x
2.Démontre que f est décroissante sur [– 2 ; + infinie [ et que f est croissante sur] –  infinie ; –2]
3.Résous les équations f(x) = 9, f(x) = 10, f(x) = 1 et f(x) = 0

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifie.
1.L'équation x ² = 25 admet une unique solution.         
2.  Un nombre réel est toujours plus petit que son carré.
3. Si  le carré d'un entier est inférieur à 100 alors cet entier est inférieur à 10
4.   La réciproque de l'énoncé 3. est fausse.                      5.  L'équation (x + 1)²  + 9 = 0 n'a pas de solution.   
6.    L'équation 4 x ² = 9 a pour solution deux décimaux.
7. x plus petite ou égale à y    -->    x² plus petit ou égale à y²
8. x plus petit ou égale à –3   équivaut à  x ²  plus grand ou égale à 9
9.   Si x ² > 4 alors x > 2.

Alors voila ou j'en suis : Pour le premier petit exercice, pour le 1 il faut développer f(x) pour arriver a la forme  f (x) =  5 – x 2 – 4 x. Pour le 2 je ne sais pas du tout, je sèche complétement et pour le 3 il faut remplacer f(x) par sa valeur et faire comme une équation.

Pour le 2e petit exercice, j'ai réussi le 1,2,3,4 mais pour le 5 à 9 je bloque complétement. Voila pouvez vous m'aider ou me donner des pistes... A bientot :)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Salut,

pour le 2 du I, l'idée est de déterminer le signe de f(y)-f(x) avec y>x. S'il est positif, la fonction est croissante, sinon, décroissante.

Pour le II, le 5 est un grand classique.

Quel est le signe de (x+1)² ? Quel est le signe de +9 ? ... déduction ?

pour le 6, tu dois remarquer que  [tex]4{x}^{2}=9\Longleftrightarrow {x}^{2}=\frac{9}{4}[/tex]

...

Johnatan

Invité

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Salut,

pour le 2 du I, l'idée est de déterminer le signe de f(y)-f(x) avec y>x. S'il est positif, la fonction est croissante, sinon, décroissante.

Pour le II, le 5 est un grand classique.

Quel est le signe de (x+1)² ? Quel est le signe de +9 ? ... déduction ?

pour le 6, tu dois remarquer que  [tex]4{x}^{2}=9\Longleftrightarrow {x}^{2}=\frac{9}{4}[/tex]

...

Je ne comprends pas ? et pour le reste comment fais t'on ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Salut,

je reprends. On a [tex]f(x)=9-(x+2)^2=5-x^2-2x=(7-x)(11+x)[/tex]

Pour le sens de variation, il faut déterminer si, quand x' > x , soit fx')> f(x) ou bien f(x')<(fx).

On construit x'=x+t  et on calcule la différence f(x')-f(x). On a :

[tex]f(x')-f(x)=9-(x'+2)^2-9+(x+2)^2 = (x+2)^2-(x'+2)^2 =(x-x')(x+x'+4)=-t(2x+t+4)=-2t(x+2+\frac{t}{2})[/tex]

Conclusion : f(x')-f(x) est du signe de -t =-(x'-x).

Donc si [tex]x'>x => t > 0 \;et\; f(x')-f(x) < 0[/tex] => f est décroissante.

et si [tex]x'<x => t < 0 \;et\; f(x')-f(x) > 0 [/tex]=> f est croissante.

Pour x = -2, on remarque que :

[tex]\forall x \in \R,\;f(x)\leq f(-2)=9[/tex]

Tu peux donc répondre à la question (le cas échéant, yoshi peut aussi te venir en aide ... je manque d'expérience à ce niveau).

Dernière modification par freddy (15-02-2010 08:54:17)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Pour le II, le 5 est un grand classique.

Quel est le signe de (x+1)² ? Quel est le signe de +9 ? ... déduction ?

...

Que vaut la somme de deux nombres positifs ? Peut elle être négative, voire nulle ?

pour le 6, tu dois remarquer que  [tex]4{x}^{2}=9\Longleftrightarrow {x}^{2}=\frac{9}{4}[/tex]

...

[tex]4{x}^{2}=9\Longleftrightarrow {x}^{2}=\frac{9}{4}\Longleftrightarrow {x}^{2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}[/tex]

Tu vois mieux ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

7. x plus petite ou égale à y    -->    x² plus petit ou égale à y²
8. x plus petit ou égale à –3   équivaut à  x ²  plus grand ou égale à 9
9.   Si x ² > 4 alors x > 2.

Pour le 7, 8 & 9, remarque que : -2 < +2 mais (-2)^²=(+2)² !!!

Donc ? ...

valentin

Invité

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Bonjour,
Pour le 1) la réponse parâit évidente, tu as juste à développer l'expression proposée, en utilisant les identités remarquables :f (x) = 9 – (x + 2)2 et voir si tu trouves la même chose que celle de f(x) proposée dans l'énoncé.
2)pour tout réel a et b€[-2;+infini[, -2<=a<b
-2+2<a+2<b+2, et sachant que x^2 est croissante sur [0; +infini[
on a : (a+2)^2<(b+2)^2
-(a+2)^2>-(b+2)^2, multiplier ou diviser par un nombre négatif revient changer le sens de l'inégalité.
9-(a+2)^2>9-(b+2)^2
donc, f(a)>f(b), pour tout a<b
f est strictement décroissante sur [-2; +infini[.
En faisant le même raisonnement, sur ]-infini;-2], pour tout a<b<=-2
f(a)<f(b)
==>f croissante sur ]-infini;-2]
Valentin

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Bonjour,

Je réponds à l'appel du pied de freddy, j'ai failli réagir hier soir, mais
1. il était tard (pour moi)
2. ma longue réponse à nerosson m'avait un peu perturbé l'intellect : je n'aime pas voir les gens dans cet état...

Donc allons-y.
Jonathan, ta leçon est là pour te sauver... Que dit-elle ?
si x1 < x2 et f(x1) < f(x2) alors la fonction f est croissante (f(x) et (x) varient "dans le même sens")
si x1 < x2 et f(x1) > f(x2) alors la fonction f est décroissante.

A partir de là, la procédure est classique du début de l'étude de la notion de croissance/décroissance de 2nde..
D'où :
Soient deux valeurs de x particulières telles que [tex]x_1,x_2 \in \R,\; x_1<x_2[/tex]
[tex]f(x_1)=9-(x_1+2)^2[/tex]
[tex]f(x_2)=9-(x_2+2)^2[/tex]
Calculons f(x1)-f(x2) :
Soient deux valeurs de x particulières telles que [tex]x_1,x_2 \in \R,\; x_1<x_2[/tex]

[tex]f(x_1)-f(x_2)=9-(x_1+2)^2-[9-(x_2+2)^2]=(x_2+2)^2-(x_1+2)=(x_1+x_2+4)(x_2-x_1)[/tex]
Puisque x1<x2 alors x2-x1 > 0...
Donc f(x1)-f(x2) est du signe de x1+x2+4
1er cas
[tex]x_1,x_2 \in [-2\;;\;+\infty[[/tex]
Alors x1>-2 et x2 >-2, d'où x1+x2>-4  et x1+x2+4>0.
Conclusion : f(x1)-f(x2)>0 et f(x1)>f(x2)
Sur cet intervalle la fonction est décroissante.
2e cas
[tex]x_1,x_2 \in ]-\infty\;;\;-2][/tex]
Alors x1<-2 et x2 <-2, d'où x1+x2<-4  et x1+x2+4<0.
Conclusion : f(x1)-f(x2)<0 et f(x1)<f(x2)
Sur cet intervalle la fonction est croissante.

Pour la question I. 3) oui, il faut bien faire comme tu l'as dit.
Pour f(x)=9, les 9 s'éliminent...
Pour f(x)= 0, tu vas résoudre une équation-produit comme en 3e, là rien de nouveau sous le soleil,.
Tu remarqueras que le 10 de f(x) a été choisi pour que, en ajoutant -9 aux 2 membres de l'égalité, tu tombes sur [tex]-(x+2)^2=1[/tex] soit encore [tex](x+2)^2=-1[/tex].
Là, le concepteur de l'exercice veut que tu te demandes s'il est possible de trouver x pour que (x+2)² soit <0...

Exercice II
1. L'équation x ² = 25 admet une unique solution ?
    Résous donc x²-25 =0 et tu auras ta réponse

2.  Un nombre réel est toujours plus petit que son carré.
     Un contre-exemple suffit pour prouver qu'une affirmation est fausse. Donc comparaison de 0,5 et et 0,5² (par ex)

3. Si  le carré d'un entier est inférieur à 100 alors cet entier est inférieur à 10
    x²<100 d'où x²-100<0   soit (x+10)(x-10)<0  ce qui est vrai pour -10 < x < 10 (tableau de signes)
     Donc vrai.

4. La réciproque de l'énoncé 3. est fausse.     
    Réciproque de 3, c'est à dire si x < 10 alors x² <100...
    Cette réciproque est fausse : comparaison de -15 et (-15)²
    Il est donc vrai de dire que "La réciproque de l'énoncé 3. est fausse".
                     
5.  L'équation (x + 1)²  + 9 = 0 n'a pas de solution.   
     Voir I. 3. avec f(x)=10 c'est la même procédure

6. L'équation 4 x ² = 9 a pour solution deux décimaux.
    Là, il y a deux points à voir : d'abord deux solutions, ensuite deux décimaux
    Partir de 4x² - 9 = 0 qui équivaut à (2x+3)(2x - 3) =0
    Les solutions sont bien au nombre de 2 : -3/2 et 3/2 et ce sont bien des décimaux.
    Note bien qu'il eut été plus judicieux dans cette question de demander pour 9x² = 4...
    La réponse était différente : 2 solutions, certes, mais -2/3 et 2/3 ne sont pas des décimaux !

7. x plus petite ou égale à y    -->    x² plus petit ou égale à y²
     on dit : "inférieur ou égal à" pas pour pour embêter le monde mais parce que on dit:
     "plus petit que" mais "égal à"
     Faux. Contre exemple  : [tex]-7 \leq -3[/tex] mais [tex](-7)^2 > (-3)^2[/tex]

8. x plus petit ou égale à –3   équivaut à  x² plus grand ou égale à 9
    Même remarque. On dit "supérieur ou égal à".
    Ca c'est beaucoup plus subtil...
    En effet, on parle d'équivalence. Bien se souvenir que [tex]\Leftrightarrow b[/tex] signifie 2 choses :
    [tex]a \Rightarrow b[/tex] mais aussi [tex]b \Rightarrow a[/tex]
    Il te faut donc prouver que
    - Soit les 2 affirmations [tex] x \leq –3 \Rightarrow  x² \geq 9\quad et \quad  x² \geq 9\Rightarrow x \leq -3[/tex] sont vraies
   - soit l'une des 2 au moins est fausse.
   Voir question précédente.

9.   Si x ² > 4 alors x > 2.
       Comparer (-3)²  et 4 et -3 et 2.

Questions ?

@+

Johnatan

Invité

Re : DM : fonctions, racines, croissance... [Résolu]

Merci Beaucoup !!!!