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pokkiri23

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probabilité [Résolu]

Bonjour à tous

La lettre c désigne un entier naturel non nul fixé.
Une urne contient initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher.

On effectue des tirages successifs d’une boule dans l’urne selon le protocole suivant: après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l’urne et on rajoute dans l’urne, avant le tirage suivant, c boules de la couleur qui vient d’être tirée.

1. Dans cette question, on suppose que l’urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges,
où b, r sont des entiers naturels non nuls.

(a) Quelle est la probabilité d.obtenir une boule blanche au premier tirage?
(b) Quelle est la probabilité d.obtenir une boule blanche au deuxième tirage?
(c) Si la deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche?

Alors voilà ce que j’ai trouvé :

(a)
J’appelle A l’évènement et j’obtiens :
P(A) = b / (b+r)

(b)
Là j’opère par disjonction des cas :
P(B)=  b / (b+r)

c) Je trouve b+r/b+c+r

Pour tous entiers naturels non nuls n, x, y, on note un(x, y) la probabilit´e d’obtenir une boule blanche au
neme tirage, lorsque l’urne contient initialement x boules blanches et y boules rouges.
(a) Montrer, en utilisant un syst`eme complet d’´ev`enements associ´e au premier tirage, que, pour tous
entiers naturels non nuls n, x, y, on a:
un+1(x, y) = un(x+c, y) x/x+y + un(x,y+c) y/x+y

(b) En déduire, par récurrence, que, pour tous entiers naturels non nuls n, x, y, on a:
un(x, y) = x/x+y

Je n'arrive pas à la question 2. Merci beaucoup de votre aide.

freddy

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Re : probabilité [Résolu]

Salut,

pour répondre au 1 - b, il faut considérer les deux cas suivants :

-  soit la première boule est blanche => il y a b+c blanches et r rouges dans l'urne pour le second tirage ;

-  soit la première boule tirée est rouge, il y a b blanches et r+c rouges ;

Donc

P(B) = Prob(blanche/première blanche)*P(A) + Prob(blanche/première Rouge)*(1-P(A))

soit  [tex]P(B)=\frac{b+c}{b+r+c}\times \frac{b}{b+r}+\frac{b}{b+r+c}\times \frac{r}{b+r}[/tex]

...

Voilà, je pense t'avoir remis en selle.

Dernière modification par freddy (04-02-2010 23:48:26)

pokkiri23

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Re : probabilité [Résolu]

Bonsoir Freddy

Si la première boule est blanche, on la remet et on ajoute c boules blanche dans l'urne : il y a donc (b+c) boules blanches et r boules blanches. Est-bien cela? Car je ne comprend pas ton B+c+1 boules blanche. Merci

freddy

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Re : probabilité [Résolu]

Oui, je me suis trompé, je corrige tout de suite ...

Donc, on voit que Prob(A)=Prob(B), comme tu l'as bien établi.

Par conséquent, on peut dire que la propriété à démontrer est vraie pour n = 1.

Par ailleurs, on a bien :

[tex]u_{n+1}(x,y)=u_n(x+c,y)\frac{x}{x+y}+u_n(x,y+c)\frac{y}{x+y}[/tex] comme on l'a vu plus haut (système complet d'événements).

Or, par hypothèse sur les termes de la suite [tex]u_n(x,y)=\frac{x}{x+y}[/tex], on a :

[tex]u_{n+1}(x,y)=\frac{x+c}{x+y+c}\times \frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+y+c}\times\frac{y}{x+y}=\frac{x}{x+y}[/tex]

ce qui achève la preuve par récurrence.

Dernière modification par freddy (05-02-2010 00:20:39)

freddy

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Re : probabilité [Résolu]

Re,

je finis de répondre pour la question 1-c) pour le reste de la communauté : c'est l'application directe du théorème de Bayes, fondement de l'inférence statistique.

Prob("T1=Blanche"/"T2=Blanche") = P(B2 /B1)*P(B1) + P(B2/R1)*P(R1) avec des notations évidentes. On a :

[tex]Prob(B1/B2)=\frac{b+c}{b+c+r}\times\frac{b}{b+r}+\frac{b}{b+r+c}\times\frac{r}{b+r}=\frac{b+r}{b+c+r}[/tex]

Ceci confirme ton résultat, à n'en pas douter.

Bb