Une livre pour un euro ? [Résolu]

freddy · 19-01-2010 15:03:31

Bonjour,

considérons un "dé" particulier, un polyèdre convexe régulier à 2010 faces. Chaque face a la même probabilité de s'afficher.

Y joue contre X. X lance le dé le premier ; Y le lance ensuite. Le jeu continue tant qu'un joueur ne perd pas.

A perdu celui qui n'obtient pas un nombre strictement supérieur au dernier résultat de son adversaire.

Formellement, si n désigne le nombre de jet effectués par X ou Y, le jeu s'arrête si [tex] Y_n \leq X_n [/tex] ou bien si [tex] X_{n+1} \leq Y_n[/tex]

X a misé 1 £, et Y 1 €.

Le jeu est il équitable ?

Khan · 19-01-2010 16:47:34

Si le dé a 2010 faces et qu'on la lance, comment qu'on fait pour savoir quelle face il faut lire? lol

freddy · 19-01-2010 16:52:57

Hummm, c'est celle qui est parallèle à la surface d'appui ou perpendiculaire au pied de la surface d'appui !

c'est bon, lolol ... ?

nerosson · 21-01-2010 18:41:29

Salut, Bébé Cadum,

Je suis très incertain.

1° En préambule, disons que j'ai bien envie de te dénoncer à Yoshi comme faisant partie de ceux qui veulent faire savant plutôt que simple : tes deux équations, elles ne sont pas cabalistiques (la preuve : je les ai comprises), mais elles n'ajoutent rien à ce que tu avais dit avant.

2° On pourrait dire que le jeu est déséquilibré parce que les mises n'ont pas la même valeur, mais ce n'est sans doute pas ce que tu attends. Cette question des mises me laisse perplexe.

3° J'ai l'impression que le jeu est déséquilibré à l'avantage de X :
a) il joue la première fois sans risque, alors que Y risque de perdre dès son premier lancer,
b) la "barre" est de plus en plus haut au cours du jeu. Donc quand X joue pour la troisième fois (par exemple), la "barre" est moins haut que quand Y joue pour la troisième fois.

Tu me renvoies à la cuisine ou tu me donne une image ? Si c'est une image, je veux celle que tu distribues généralement à tes élèves : Marilyn Monroe toute nue sur une peau de panthère.

freddy · 21-01-2010 19:28:51

Salut,

voici les cours croisés dont tu as besoin : http://www.boursorama.com/devises/devises.phtml

Il est vrai que X est avantagé, c'est pour cela qu'il mise plus que Y. Mais il faut établir que la parité £/€ est équitable.

point d'image, encore moins celle d'une femme nue ! Mais tu peux rester avec nous ...

Tiens, arriverais tu à prouver que

- si p est un nombre premier,

- si [tex]p²+2[/tex] est aussi un nombre premier,

- alors [tex]p^8+2[/tex] est encore un nombre premier ?

Prends p=3 et regarde si ça marche !

nerosson · 22-01-2010 16:10:19

Freddy, tu n' es pas équitable : j'ai bel et bien montré pourquoi ton jeu n'est pas équilibré.
Ton histoire de devise ne tient pas la route : il est bien évident que le rapport entre les devises a peu de chances de compenser exactement le rapport des chances des deux joueurs, qu'il serait d'ailleurs intéressant de calculer, mais la question me dépasse et je la soumets à plus fort que moi (toi, par exemple).
Le moyen le plus élémentaire d'équilibrer le jeu est de convenir de jouer un nombre pair de parties, X commençant les paries impaires et Y commençant les parties paires.
Je maintiens que j'ai droit à une image, mais cette peau de panthère c'est anti-écologique : j'inverse les facteurs : je veux une panthère à poil sur la peau de Marilyn Monroe.
Je ne me désintéresse pas de ton problème de nombres premiers. J'y reviendrai si je trouve quelque chose d'intéressant à en dire (l'espoir fait vivre).

Dernière modification par nerosson (22-01-2010 16:14:08)

freddy · 22-01-2010 16:24:45

nerosson a écrit :

1° En préambule, disons que j'ai bien envie de te dénoncer à Yoshi comme faisant partie de ceux qui veulent faire savant plutôt que simple : tes deux équations, elles ne sont pas cabalistiques (la preuve : je les ai comprises), mais elles n'ajoutent rien à ce que tu avais dit

Salut !

J'ai compris : ce que tu appelles savant est ce qu'on appelle du formalisme élémentaire.

Depuis longtemps, ce formalisme est nécessaire à la bonne compréhension des énoncés, les longues phrases, aussi minutieuses et précises soient elles, ne suffisant plus à rendre compte d'une réalité de plus en plus complexe.

Je ne sais le métier que tu exerçais, je peux te dire que même les rédacteurs du code de la consommation ont dû s'y mettre, les textes écrits par des juristes émérites embrouillant à l'envi de situations à l'origine simple.

J'en veux pour preuve les 3 pages de calculs formels du Taux actuariel effectif global dans divers cas de crédit à la consommation, organisé par l'article L-1156 du code du même nom.

La première fois, en 1966, les choses étaient simples et claires et s'énonçaient aisément.

Aujourd'hui, depuis une directive européenne de 2002 et un arrêt de la cour de cassation de janvier 2006, il a été fait appel à des actuaires pour bien préciser la pensée législative.

Faudra donc te faire à ces notations techniques qui sont, pour moi, gage de rigueur et de précision. C'est pour être bien compris que j'ai écrit les deux inégalités que tu voues aux gémonies.

Bb

nerosson · 22-01-2010 18:11:11

rebonjour, Freddy,
Comme tu me l'avais demandé, j'ai vérifié ton énoncé avec p = 3. Ca marche, pas de question.
Ensuite, je l'ai vérifié avec p = 5. J'obtiens :
(5 puissance 2) + 2 = 25 + 2 = 27, qui n'est pas premier
(5 puissance 8) + 2 = 390.625 + 2 = 390.627.
Ce nombre ne figure pas dans la liste des nombres premiers.
J'en déduis qu'il faut que les DEUX premières conditions soient remplies (la première n'entrainant pas obligatoirement la seconde) pour que la troisième soit valable aussi.
Je vais essayer de continuer mais, à ce petit jeu, je vais très vite sortir des listes de nombres premiers figurant sur le net.

nerosson · 22-01-2010 18:38:29

RE,
En reconsidérant mes opérations avec p = 3, j'observe que (3 puissance 4) +2 = 81 +2 = 83 donne AUSSI un nombre premier. On a donc :
3 : premier,
(3 puissance 2) + 2 : premier,
(3 puissance 4) + 2 : premier,
(3 puissance 8) + 2 : premier.
Il me vient à l'esprit une CONJECTURE, purement intuitive : cette règle ne marcherait-elle pas seulement avec le premier nombre d'une paire de premiers jumeaux ?
Si c'était vrai, ça devrait marcher avec 17. Je vais essayer, mais je ne sais pas si je pourrai vérifier la primalité de (17 puissance 8) + 2.

nerosson · 22-01-2010 18:49:13

RE,
"Pan sur le bec", comme on dit au "Canard enchaîné". Ton truc ne marche pas ni avec 17 ni avec 19.
Donc, ton truc marche avec 3, mais il ne donne rien de bon avec 5, 7, 11, 13, 17 et 19.
"Qu'allait-il faire sur cette galère ?". Je renonce.

freddy · 22-01-2010 20:40:13

Hello,

j'ai dit que si [tex]p[/tex] est premier et si [tex]p^2 + 2[/tex] est aussi premier, alors [tex]p^8 + 2[/tex] est un nombre premier.

Tu vois mieux ?

yoshi · 22-01-2010 21:59:17

Heu m'sieu nerosson :

http://www.math.umn.edu/~garrett/crypto … ester.html (il y en a d'autres)
Pour tester si un nombre est premier...

@freddy
D'autre part, tout nombre premier autre que 3 est un multiple de 3 +1 ou de 3 + 2...

1. Posons p = 3k + 1 avec k naturel > 0
p² + 2 = (3k+1)² + 2 = 9k²+ 6k + 1 + 2 = 9k² + 6k + 3 = 3(3k² + 2k + 1) multiple de 3, non premier !

2. Posons p = 3k + 2 avec k naturel > 0
p² + 2 = (3k+2)² + 2 = 9k²+ 12k + 4 + 2 = 9k² + 12k + 6 = 3(3k² + 4k + 2) multiple de 3, non premier !

Conclusion :
Si p est premier et différent de 3, alors p²+2 n'est jamais premier puisque multiple de 3...

Tu vois mieux ?

@+

Fred · 22-01-2010 22:41:04

Salut,

Donc la propriété énoncée par Freddy est vraie.
Si p est premier, et si p²+2 est premier, alors p=3 donc [tex]p^8+2[/tex] est premier.

A part cela, moi j'aimerai bien revenir au problème initial qui m'intéresse beaucoup.
J'ai essayé 3 minutes d'essayer de calculer la probabilité que X gagne, mais ca n'a pas l'air très facile...
Est-ce comme cela que tu fais Freddy, ou bien tu montres que la probabilité que X gagne est au moins de ...
(ou le contraire avec Y), et donc le jeu n'est pas équitable????

Fred.

yoshi · 22-01-2010 22:59:58

Bonsoir Fred,

Je dois dire que j'attendais cette objection...
Tu es totalement dans le vrai en ce qui concerne la Logique : si A et B alors C...
Comme A et B ne sont pas simultanément vrais (pour p > 3), alors freddy a raison quand même. Ok !

Cela dit, je ne pense pas que c'était dans l'esprit de freddy de "jouer sur les mots", sinon c'eut été un vilain piège tendu à nerosson qui s'est acharné à chercher inutilement un p premier > 3 et de plus tel que p² + 2 soit premier, puisque je l'ai montré, c'est impossible.

@+

freddy · 22-01-2010 23:39:26

Salut Fred,

il faut calculer la proba que X gagne = proba que Y perde (qui est la proba qui se calcule mieux).

Pour démarrer, examine le problème avec un dé à 6 faces classiques.

freddy · 23-01-2010 13:13:51

Salute,

en fait, j'ai posé un problème (dont l'origine est très sérieuse) dont je ne connais pas encore la réponse.

Si yoshi a raison (et je n'ai aucune raison d'en douter) alors bravo à lui : il a trouvé !

Quand je me suis attaqué à ce problème, le nombre premier 3 me fournissait une bonne raison pour chercher à trouver la démonstration.

Je la cherchais façon "démonstration par l'absurde" et pataugeais quelque peu ...

Donc bravo mr yohiiiiiiiiiiiiiiiii

nerosson · 23-01-2010 17:22:21

Salut à tous, brillants matheux,
Donc, si j'ai bien compris, la double condition: p premier, (p puissance2) + 2 premier, n'est possible que pour p = 3 et elle est rigoureusement impossible pour tout autre nombre premier.
Autrement dit, Freddy m'a pris pour une pomme (il n'a pas forcément tort...).
Pour le jeu du polyèdre, j'ai prouvé qu'il était déséquilibré et j'ai bien précisé que je ne me sentais pas les capacités pour aller au delà. J'éprouve un plaisir pervers à voir que les kracks peinent à aller plus loin.
Continuez, je vous suis de loin.

Fred · 24-01-2010 22:28:46

Re-

Pour 6 faces, je sais le faire. Virtuellement, ma méthode pourrait fonctionner pour 2010 faces,
mais elle n'est sans doute pas assez "maligne". J'aurais besoin d'un ordinateur pour arriver au bout du calcul :-(

Fred.

freddy · 25-01-2010 20:15:54

Salut Fred,

en fait, la question est de déterminer la Proba [tex]P[/tex] de perdre de Y quel que soit le résultat de X.

Tu devrais faire apparaître une formule de récurrence entre les proba [tex]P_{k-p}[/tex] et [tex]P_{k}[/tex] en définissant [tex]P_q[/tex] comme étant la proba que Y perde si X a obtenu le nombre q au premier lancer.

Ensuite, tout tourne autour du quotient [tex]\frac{P}{1-P}[/tex].

En effet, du point de vue de X, il perd 1 € avec une proba = P et il gagne 1£ avec une proba = (1-P)

Donc le jeu est équitable si -€P+£(1-P) = 0 soit si [tex]\frac{£}{Euro} =\frac{P}{1-P}[/tex] où le quotient £/€ est la valeur de change de la Livre en Euro (de l'ordre de 1,1446 ...).

Dernière modification par freddy (26-01-2010 11:10:58)

freddy · 26-01-2010 13:08:28

Re,

prenons le cas d'un dé à 6 faces régulières. Y perd dans les cas suivants :

[tex](X_1 = 6 )\;ou\; (X_1=5\;et\;Y_1 \leq 5)\;ou\;(X_1=4\;et\;\{Y_1 \leq 4\;ou\;(Y_1=5\;et\;X_2=6)\})[/tex]

[tex]\;ou\;(X_1=3\;et\;\{Y_1 \leq 3\;ou\;(Y_1=4\;et\;[X_2=5\;et\;Y_2 \leq 5\;ou\;X_2=6])\;ou\;(Y_1=5\;et\;X_2=6)\})[/tex]

et on voit que l'événement [tex]X_2= p[/tex] permet de se brancher sur l'étape ci-dessus avec [tex]X_1=p[/tex] ... Bien entendu, il faut aussi considérer le cas (X=1 ou 2) pour être complet, ce qui est fait ci-dessous.

Donc en désignant [tex]P_k[/tex] la probabilité que Y perde sachant que [tex]X_i=k \,\,\forall i[/tex], et par indépendance des tirages, on a :

[tex]P_6=\frac{1}{6}[/tex]

[tex]P_5=\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}[/tex]

[tex]P_4=\frac{1}{6}\times (\frac{4}{6}+\frac{1}{6}\times P_6)=\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^2[/tex]

[tex]P_3=\frac{1}{6}\times (\frac{3}{6}+\frac{1}{6}\times (P_5+2P_6) =\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^3[/tex]

[tex]P_2=\frac{1}{6}\times (\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\times (P_4+2P_5+3P_6))=\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^4[/tex]

[tex]P_1=\frac{1}{6}\times (\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times (P_3+2P_4+3P_5+4P_6))=\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^5[/tex]

On a donc [tex]P = \sum_{k=1}^6 P_k = 1-(\frac{5}{6})^6=\frac{31.031}{46.656} = 0,6651[/tex] d'où l'on conclut que le jeu n'est pas équitable pour Y tant que la Livre sterling est inférieure à 1,9860 euro.

Si maintenant le dé a n faces, on a alors, comme ci-dessus, les probabilités suivantes :

[tex]P_n=\frac{1}{n}[/tex]

[tex]P_{n-1}=\frac{1}{n}\times\frac{n-1}{n}[/tex]

[tex]P_{n-2}=\frac{1}{n}\times(\frac{n-2}{n}+\frac{1}{n^2})=\frac{1}{n}\times(\frac{n-1}{n})^2[/tex]

...

[tex]P_{n-k}=\frac{1}{n}\times(\frac{n-k}{n}+\frac{1}{n}\times \sum_{p=n-k+2}^{n} (p-2)\times P_{p})=\frac{1}{n}\times(\frac{n-1}{n})^k[/tex]

pour k compris entre 3 et (n-1).

On doit donc calculer :

[tex]P(n) = \sum_{k=1}^n P_k =\frac{1}{n}\times (\frac{n+1}{2}+\frac{1}{n}\times \{P_3+(1+2)P_4+ ... + (1+2+ ...+(n-2))P_n\})[/tex]

ce qui donne :

[tex]P(n) =1-(\frac{n-1}{n})^n\;et\;P= \lim_{n \to \infty}P(n)= 1-exp(-1)[/tex]

Conclusion : le quotient [tex]\frac{P}{1-P} \approx 1,719[/tex] pour n = 2010 rend le jeu désavantageux pour Y !

Dernière modification par freddy (04-03-2010 08:59:15)

freddy · 26-01-2010 20:15:05

Hey nerosson,

finalement, jouerais tu si n = 1921 ? C'est toi qui commences et mises 100.000 £ contre 100.000 € !

Fred · 26-01-2010 21:53:49

Très joli problème!

Fred.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 19-01-2010 15:03:31

Une livre pour un euro ? [Résolu]

#2 19-01-2010 16:47:34

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#3 19-01-2010 16:52:57

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#4 21-01-2010 18:41:29

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#5 21-01-2010 19:28:51

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#6 22-01-2010 16:10:19

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#7 22-01-2010 16:24:45

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#9 22-01-2010 18:38:29

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#10 22-01-2010 18:49:13

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#13 22-01-2010 22:41:04

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#22 26-01-2010 21:53:49

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