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yoshi

Modo Ferox

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De l'intérêt des théorèmes et d'en savoir les démonstrations

Bonjour,

Suite à une sortie de notre ami nerosson :

L'arithmétique est la forme la plus pure des mathématiques parce qu'elle fait appel exclusivement au raisonnement et ne se réfère pas constamment à des théorèmes dont on a même oublié la démonstration.

Pour commencer je voudrais citer un homme important (pour moi), mon père... Il avait coutume de dire pendant ma tendre enfance :

Je sais bien pourquoi mon chien n'aime pas la viande, c'est parce que je ne lui en donne pas !

En gros, là je dirais que notre ami fait une fixette là-dessus parce que peut-être ne sent-il plus l'envie, les moyens de faire autrement.
Et quand bien même ?
En 1968, avait été écrit au dessus de la porte du bureau du Doyen de notre Fac de Sciences cet aphorisme :

Si vous n'aimez pas la m..., n'en dégoutez pas les autres !

Après ce début pas sérieux, j'en viens au fait.

Point 1. Peut-on se passer des théorèmes ?
Si l'on peut réinventer la roue, pourquoi pas ? Mais alors, bonjour la perte de temps.
Un théorème, pour moi est une situation élémentaire qui a été répertoriée sous un nom (pour la retrouver) devant laquelle on peut tirer une conclusion prédéfinie.
Ainsi, lorsqu'on rencontre ultérieurement cette situation, on y fait référence et on amène la conclusion sans re-passer par toutes les étapes qui y ont mené.
Exemple simple classique (Géométrie 4e)
Je me retrouve avec un triangle dont un côté est le diamètre d'un cercle et le sommet restant sur le cercle.
Théorème : un triangle dont un côté est le diamètre d'un cercle et le sommet restant sur le cercle est rectangle et le diamètre du cercle est l'hypoténuse.
I- nterdiction d'utiliser le théorème !
- Ah bon ?
Ok, alors...
J'appelle [BC] le diamètre du cercle et A le dernier sommet.
O est le centre du cercle et le milieu de [BC] : juste une définition permettant d'appeler un chat, un chat !
J'appelle D le symétrique de A par rapport à O.
Le point D est le milieu de [AD]. Encore une défnition
Le point D est sur le cercle, puisque OD = OA et que OA = rayon. Définition encore (celle du cercle)
Par conséquent les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC ont le même milieu O.
- Le quadrilatère ABDC est donc un parallélogramme. Propriété caractéristique.
Oui, mais c'est un théorème déguisé... Interdit !
Ah...
Mais si c'est interdit, alors je ne peux pas passer non plus par les propriétés de la symétrie centrale : le symétrique d'une droite est une droite parallèle ? Comment prouver que c'est un parallélogramme alors... ?
Mais non, c'est une juste une définition particulière du parallélogramme...
- Hmmm... pas très réglo comme tour de passe-passe... Continuez !
- Mais D étant sur le cercle [AD] est un diamètre tout comme [BC]... Donc AD = BC. Propriété (donc théorème déguisé ! Mais chut ...). Ce parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur c'est donc un rectangle.
Il a donc 4 angles droits...
- Hep ! Comment le savez-vous ? Pouvez-vous prouver que s'il y a un angle droit (ou 3) il y en a forcément 4 ?
- Ben oui, mais ça va m'entraîner plus loin : la somme des angles du quadrilatère est de 360°...
- Pourquoi... ?
- (négligeant l'interruption). Comme il a 4 angles droits, l'angle A en particulier est droit. Le triangle ABC est bien rectangle en A.

On voit bien où nous entraîne l'ostracisme anti-théorèmes : ce n'est plus vivable ! Tout se tient, tout est lié. Retirons une pierre et c'est tout l'édifice qui s'écroule !

Point 2. Peut-on se passer de la connaissance des démonstrations ?
Globalement, oui, même si freddy a raison : << Science sans conscience n'est que ruine de l'âme >> (Rabelais dixit).
De même qu'être parfaitement incapable d'expliquer la technique employée lorsqu'on pose la division suivante 245,654/156,25 n'empêche en rien d'être parfaitement capable de trouver le quotient décimal exact sans calculette (plus en 6e... Peut-être 50% en 5e, et encore...).
On peut tout aussi bien conduire une voiture sans être capable d'exposer la théorie du moteur à explosion 4 temps ou du moteur Diesel...
Alors quel intérêt ?
L'intérêt est que les théorèmes ne tombent pas du ciel comme ça d'un claquement de doigts, parce que ça arrange le prof dans sa démonstration...
Comme tout est lié, c'est une occasion unique à chaque fois de voir l'articulation des différentes phases d'une démonstration, leur hiérarchisation et la manière de faire intervenir des théorèmes annexes.
Ainsi en 3e, on peut apporter deux démonstrations du théorème de Thalès : par les Aires et par la trigonométrie.
Cest un moyen d'apprendre à démontrer à peu de frais, d'autant qu'il arrive souvent que des phases indépendantes d'une même démonstration soient réutilisables dans une autre...
C'est aussi un moyen d'apprendre (par la répétition) les théorèmes "annexes"...

A vos claviers...

@+

freddy

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Re : De l'intérêt des théorèmes et d'en savoir les démonstrations

Salut,

à l'oral du concours d'entrée à l'EHPVP était posé un problème de cuisson : soit une casserole posé sur le plan de travail à coté de la gazinière. De l'autre côté du plande travail était l'évier. Un oeuf était dans le réfrigérateur.

Question : décrivez les principales étapes pour obtenir un oeuf dur ?

Réponse : je prends la casserole, je la mets sous le robinet de l'évier pour la remplir d'eau. Je la pose sur un feu de la gazinière ; j'allume le feu ; je prends l'oeuf du réfrogérateur et je le pose délicatement dans la casserole pleine d'eau. Au bout de 3 minutes de cuisson à eau bouillante, il est cuit.

OK, merci. Seconde question : la casserol est dans le meuble de cuisine au dessus de l'évier. Comment faites vous ?

réponse : très simple, je prends la casserole du meuble de cuisine, je la pose sur le plan de travail et je fais comme précédemment.

Voilà à quoi sert un théorème.

freddy

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Re : De l'intérêt des théorèmes et d'en savoir les démonstrations

Re,

ensuite, en filant la métaphore, j'ajouterai que certains forts en X finiront par se dire q'on doit pouvoir faire mieux en prenant la casserole du meuble à cuisine pour la mettre tout de suite sous le robinet de l'évier.

Cela s'appelle "assouplir les conditions d'application d'un théorème", ou bien le généraliser.

nerosson

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Re : De l'intérêt des théorèmes et d'en savoir les démonstrations

Salut Yoshi, Salut, Freddy,

J'ai dit : "L'arithmétique est la forme la plus pure des mathématiques parce qu'elle fait appel exclusivement au raisonnement et ne se réfère pas constamment à des théorèmes dont on a même oublié la démonstration."

Aussitot, Yoshi en déduit que je recommande qu'on jette à la poubelle l'algèbre, la géométrie, la trigonométrie et tous leurs théorèmes.Si je dis que je préfère le foot, ça ne signifie pas que je demande l'interdiction du rugby ! !

J'ai dit aussi :"Ai-je jamais dit que l'algèbre et la géométrie ne faisaient pas appel au raisonnement ? Non ! Mais elles font appel AUSSI à des théorèmes et à des formules dont je maintiens contre vents et marées, que bon nombre de ceux qui les utilisent ne sauraient pas les redémontrer : il n'y a pas que les profs de maths qui font des maths. Quand ils ont été démontrés une fois, il faut bien les considérer comme des acquis, autrement comment pourrait-on avancer ?"

Ce qui prouve que j'admets même parfaitement qu'on utilise des théorèmes dont on a oublié la démonstration, ce qui, je le maintiens est fréquent.

Je trouve donc qu'on me fait une querelle totalement injustifiée. J'ajoute que je n'aime pas la merde et que je ferai toujours mon possible pour en dégoûter les autres.

Quant à Freddy, on lui demande de faire un oeuf dur et il vous fait un oeuf à la coque qui, de surcroit, est mal cuit parce que, s'il sort du frigo, 3 minutes ne suffisent pas. J'irai pas bouffer chez toi ! !

gatha de La Ciotat

Invité

Re : De l'intérêt des théorèmes et d'en savoir les démonstrations

Bonjour à tous,
bien que je ne puisse pas démontrer certains théorèmes que j'utilise, je reste curieux, à la façon de
mr Jourdain, qui faisait de la prose sans le savoir.
Je reste admiratif devant une brillante démonstration, si elle est explicite.
J'envie réellement Yoshi et Freddy, qui bouclent ça en un coup de cuillère à pot.
Mais pourquoi dichotomiser l'ensemble des mathématiques en une série de disciplines parallèles, alors
que le tout reste homogène.
C'est justement la rigueur des maths qui en font l'intérêt, par l'exactitude de ses résultats.
Néanmoins, j'adhère au point de vue de notre brave Nérosson, qui nous dit qu'on peut continuer à chercher
sans tout connaître, ce qui est mon cas.
D'ailleurs, qui peut tout démontrer?
Il y a tellement de choses qu'on utilise bien que leur démonstration ne soit pas avérée.
Bonne journée à tous.