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espace métrique

svp aidez moi àmontrer que dans un espace normé E , si (Un) n>0 est une suite de cauchy dans E alors,
Vn=(1/n)som(k allant de 1 à n de Uk) est aussi de cauchy. merci bien.

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[Edit]@yoshi
Code LaTeX :
[tex]V_n=\frac{1}{n}\sum_{k =1}^n  U_k[/tex]

C'est quand même plus clair, non ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : espace métrique

Salut,

Voici une petite indication rapide.

  Soit [tex]\epsilon>0[/tex] et N tel que [tex]\|u_p-u_q\|<\epsilon[/tex] pour N<p<q. (*)

Soit N<p<q. On écrit que
[tex]V_p-V_q=\frac{1}{pq}\left(q\sum_{k=N}^p u_k-p\sum_{k=N}^q u_k\right)+\;termes\; avant\; N[/tex]

La partie "termes avant N" se gère facilement pour peu qu'on choisisse p et q grands.
Pour le reste, on a dans la première somme q(p-N)=qp-qN termes et dans la seconde p(q-N)=pq-pN termes.
On peut en associer pq-pN ensembles en utilisant (*).
Pour les (q-p)N qui restent, on utilise que la suite est bornée puisqu'elle est de Cauchy, et comme on divise par le produit pq, ca ne posera pas de problèmes....

Désolé, c'est très elliptique, mais je n'ai pas le temps d'écrire plus!

Fred.