Courbe et Tangentes [Résolu]

sedah · 13-01-2010 11:16:22

Bonjour , j'ai un devoir a rendre pour bientot est ce que svp vous pourriez m'aider sur quelques questions merci .

1)Tracer la courbe C de la fonction definie par f(x)=1/2x²-x+1
2)Tracer egalement la droite d1 d'equation y=2x-3, d2 avec pour equation y=3x-7 puis enfin d3 d'equation y=4x-11 .
3) Ces 3 droites sont concourantes en un point que l'on nomme A
Précisez les coordonnées de A
4)Parmi ces droites laquelle est tangente en A à la courbe de la fonction f ?

voilà j'ai tracé ma courbe qui a pour fonction y=1/2x²-x+1
pour la tracer j'ai remplacé x par certaines valeurs voici mes valeurs :
je remplace x par -2 ds la fonction f j'obtiens : 5
-1 : 2.5
0 : 1
1 : 1/2
2 : 1

ensuite j'ai uen courbe decroissante mais qui cependant reste au dessus de l'axe des abcisses . Alors que si je trace cette courbe sur ma calculatrice je trouve une partie de la courbe qui monte vers l'axe des ordonnées sans depasser l'axe des abciesses et son autre partie suit l'axe des ordonnées et elle descend sous l'axe des abcisses e ns'eloignant de l'axe (OY)
d'abord je ne suis pas sure pour ma courbe ? , si c 'est pas ça pouvez vous m'expliquer comment la tracer si possible en remplacant x par des nombres merci
2)j'ai tracé les 3 droites en les rempacant par des valeurs c 'est bon et mes droites se coupent en 1 point effectivement .
3) pour A j'ai trouvé (3.5;4) cependant c 'est lu a l'a peu pres sur maon graphique est ce que vous auriez un calcul pour m'aider a trouver les coordonnées du point d'intersection des 3 droites ?
4)pour la question 4 , je ne l'ai pas encore faite car je ne suis pas sure de ma courbe C et que j'ai un peu de mal avec les tangentes .
est ce que vous pouvez m'aider svp , merci

yoshi · 13-01-2010 13:19:24

Bonjour,

Erreur de calculs...
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 5 2,5 1 0,5 1 2,5 5 8,5 13
Et voilà ta courbe :

Le point d'intersection des droites d1, d2 et d3 a pour coordonnées (4 ; 5)
y = 4x-11
y = 3x -7
Donc 4x-11 = 3x-7 ce qui donne 4x -3x = -7+11 soit x = 4
ou encore :
y = 4x-11
y = 2x-3
Donc 4x-11 = 2x - 3 ce qui donne 4x - 2x = -3 + 11 soit x = 4
Et on reporte x = 4 dans n'importe des 3 équations, par exemple : y = 4*4 - 11 =16 - 11 = 5
ou 2 *4 - 3 = 8 - 3 =5

(3.5 ; 4) n'est pas sur d3 : y = 4*3.5 - 11 = 14 - 11 = 3 au lieu de 4...

Il y a un problème aucune de ces droites n'est tangente...

Je dois partir, je revois ça dans une paire d'heures (voire un peu plus) avec tes premières réponses...

@+

sedah · 13-01-2010 15:33:51

bonjour et merci pour votre aide , j'ai pu refaire ma courbe ainisi que mes droites et celles-ci se coupent toutes au point A(4;5) pour chercher les coordonnes de A j'ai fait la meme chose que vous et je trouve bien 4 et 5
voici:
d1: y = 2x-3
d2:y=3x-7
d3:y=4x-11

2x-3=4x-11
2x-4x=-11+3
-2x=-8
x=-8/-2
x=4

Je remplace x par 4 dans l'equation de la droite d2
y=3x-7
y=3*4-7
y=5

Ainsi les droites se coupent au poitn A de coordonées (4;5)

pour la question 4 :voilà moi je dirai que la droite d2 est la tangente en A car elle est la plus proche de la courbe C cependant comme vous l'avez dis et comme c'est cercit dans l'enoncé les droites sont concourantes en A donc elles se coupent toutes les 3 .je sais juste que moi j'aurai dis la droite d2 de plus je vien de debuter la chapitre et c 'est deja trop compliqué a mon gout , est ce que vous auriez une aide pour tracer les tangentes des points svp ?

yoshi · 13-01-2010 16:43:30

Salut,

Voilà, en regardant de plus près et en mettant sur mon graphique tracé à la machine une couleur différente par droite (et pas du rouge !), j'y vois nettement plus clair.
La tangente est bien d2 d'équation y = 3x-7...
J'ai aussi, par sécurité comme je n'avais pas eu "les yeux en face des trous", vérifié par le calcul : c'est bien ça.

Sachant que la tangente est d2 d'équation y = 3x - 7, -7 est l'"ordonnée à l'origine", tu sais donc déjà que la droite passe par (0 ; -7).
Tu sais aussi qu'elle passe par (4 ; 5)...

Si ça ne te suffit pas, voilà d'autres points :
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
3x-7 -13 -10 -7 -4 -1 2 5 8 11

As-tu vu la notion de "dérivée" d'une fonction ?

@+

sedah · 13-01-2010 16:50:40

re ,oui nous avons abordé les nombres derivés ainsi que la fameuse notation f '(a) avec a l'abcisse d'un point A .

yoshi · 13-01-2010 17:38:52

Bonjour,

Alors, tu verras, ou tu as déjà vu que la valeur de la dérivée en un point d'une courbe n'est autre que le coefficient directeur de la tangente en ce point de la courbe.
Ici, j'ai d'abord vérifié que le point d'intersection des droites était bien sur la courbe :
f(x)=x²/2-x+1
Je calcule f(4) : f(4) = 19/2 -4 + 1 = 8-4+1= 5

Puis j'ai calculé le coefficient directeur.
Coefficient directeur de la tangente à la courbe en (4 ; 5) :
a = f'(4)
f'(x) = 2x/2-1 = x - 1 d'où a = f'(4)= = 4 - 1 =3

Et enfin, j'ai cherché l' "ordonnée à l'origine"
La tangente a donc une équation du type y = 3x + b.
Je vais écrire que le point AZ(4 ; 5) est sur cette tangente :
5 = 3 * 4 + b d'où b = 5 - 12 = -7
L'équation de la tangente est donc : y = 3x - 7, c'est bien d2...

@+

sedah · 13-01-2010 17:40:58

ok donc il fallait juste utiliser la formule yb-ya/xb-xa pour trouver a le coefficient directeur puis chercher b et l''on tombe sur l'equation de la droite d2 :) ok c 'est compris :)
merci :)

yoshi · 13-01-2010 18:48:28

RE,

sedah a écrit :

ok donc il fallait juste utiliser la formule yb-ya/xb-xa pour trouver a le coefficient directeur

Oui et non !

1. Oui, le coefficient directeur d'une droite dont on connaît les coordonnées de deux points [tex]A(x_A\;;\;y_A)\text{ et }B(x_B\;;\;y_B)[/tex] est bien : [tex]\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]

2. Non, car, ici, tu ne savais pas que la droite cherchée était d2, personne ne te l'a dit... D'ailleurs ton prof ne te l'a pas demandé : sinon tu aurais dû le faire comme moi. Il t'a simplement demandé de te servir de tes yeux, pas de calculer....
Si tu fais le calcul avec deux points A et B de d2 et que tu calcules le coeff dir, tu auras fait quoi de plus ?
Tu auras simplement vérifié que le coefficient directeur calculé à partir des deux points choisis de la droite est bien 3 ! La belle affaire ! Prendre deux points de d2, dont tu connais déjà l'équation y = 3x - 7, et vérifier que le coefficient directeur de d2 est 3, ça servirait à quoi ? Tu SAIS déjà que le coefficient directeur de d2 est 3...
Comprends-tu ?

La méthode que j'ai employée ne t'es pas encore connue : la grosse différence est que je n'ai pas utilisé d2 du tout.
J'ai cherché le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point de coordonnées (4 ; 5).
Puis j'ai écrit que cette tangente passait par A(4 ; 5) pour trouver l' "ordonnée à l'origine".
En possession de a = 3 et de b = - 7, j'ai pu dire : l'équation de la tangente est y = 3x - 7.
Et après comparaison, j'ai pu affirmer : je constate que c'est aussi l'équation de d2 et enfin conclure que la tangente était la droite d2...

Vois-tu en quoi c'est différent ?

@+

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