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D'giu

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f(A⋂f^-1(B))=f(A)⋂B

Bonjour,

j'aimerais savoir comment montrer que
[tex]f\left(A\cap {f}^{-1}\left(B\right)\right)=f\left(A\right)\cap B[/tex]   sachant que f∈A(E,F) , A partie de E et B partie de F
J'ai tenté:
[tex]{f}^{-1}\left[f\left(A\right)\cap B\right]={f}^{-1}\left[f\left(A\right)\right]\cap {f}^{-1}\left(B\right)[/tex]
Mais est-ce que que [tex]{f}^{-1}\left[f\left(A\right)\right]=A[/tex] ?
Si oui, est-ce qu'on peut faire:
[tex]f\left({f}^{-1}\left(f\left(A\right)\cap B\right)\right)=f\left(A\right)\cap B=f\left(A\cap {f}^{-1}\left(B\right)\right)[/tex] ?
Merci d'avance.

Fred

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Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : f(A⋂f^-1(B))=f(A)⋂B

Bonsoir,

  Pour éviter de dire une anerie, je te conseille de revenir toujours aux définitions et à la double inclusion :

Soit [tex]x\in f(A\cap f^{-1}(B))[/tex] alors [tex]\exists y\in A\cap f^{-1}(B), x=f(y)[/tex].
Mais alors [tex]x\in f(A)[/tex] (car [tex]y\in A[/tex]) et [tex]x\in B[/tex] car [tex]y\in f^{-1}(B)\iff x=f(y)\in B[/tex]
ce qui prouve une inclusion.

Réciproquement, soit [tex]x\in f(A)\cap B[/tex] alors il existe [tex]y\in A[/tex] tel que [tex]x=f(y)[/tex].
Mais alors [tex]x=f(y)\in B\implies y\in f^{-1}(B)[/tex] et donc [tex]y\in A\cap f^{-1}(B)[/tex]
ce qui prouve l'autre inclusion.

Fred.