Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#2 13-12-2009 21:06:15
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : les integrales
Bonsoir fotsing,
Et bienvenue sur BibM@th...
Mes petits camarades raffineront sûrement mon raisonnement parce que je n'évoque pas la continuité, mais pour l'instant voici que je propose comme piste de recherche.
Si f est non nulle, j'appelle F la fonction telle que F(x) soit une primitive de f(x).
Je peux donc écrire que F'(x)=f(x). Or tu as précisé que f est positive.
La dérivée de F(x) étant positive, alors F(x) est donc une fonction croissante sur [a ; b]...
@+
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#3 13-12-2009 21:37:49
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : les integrales
Bonsoir,
Imagine un instant que f ne soit pas nulle. On peut trouver c dans [a,b] tel que f(c)>0.
Mais comme f est continue, il existe un intervalle I, non-réduit à un point, centré autour de c,
pour lequel f(x)>f(c)/2 pour tout x dans I.
L'intégrale de f sur [a,b] est supérieure à celle de f sur I, elle-même est plus grande que longueur(I)*f(c)/2 qui est un réel strictement positif...
Fred.
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#4 13-12-2009 21:49:00
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : les integrales
Re,
Bon, alors apparemment comme je suis pris à contre-pied, j'explicite ma pensée pour qu'on me dise ce qui n'est pas bon...
Si f est non nulle, on doit donc avoir F(b)>F(a) et F(b)-F(a) > 0
Or F(b)-F(a) = 0 d'après l'énoncé il y a donc contradiction, donc f est nulle...
@+
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#5 13-12-2009 22:18:41
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : les integrales
Bonsoir Yoshi,
Ce n'est pas faux ce que tu dis (ou sous-entend).
F est dérivable, sa dérivée est positive et non-identiquement nulle sur l'intervalle [a,b], donc F(b)>F(a).
Tu utilises la continuité de f pour l'existence d'une primitive F.
J'ai donné la preuve comme on la fait dans un cours d'intégration, car en général on prouve d'abord ce résultat avant de parler de lien entre intégrale et primitive.
A+
Fred.
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