Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

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Les voisins

Bonsoir,

  La 3è guerre mondiale vient de se terminer.
Les frontières sont redessinées, des pays disparaissent, de nouveaux se créent.
Mais sauriez-vous prouver qu'il y aura toujours deux pays qui auront le même nombre de voisins.
Je précise que deux pays sont voisins s'ils ont une frontière (terrestre) commune.

Fred.

nerosson

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Re : Les voisins

Bonjour, Fred et les autres,
permet moi d'abord d'admirer le bel optimisme de ton énoncé. Moi, j'aurais cru qu'après la troisième guerre mondiale, il y aurait zéro personne et zéro pays qui aurait zéro voisin. Si on est est optimiste on peut espérer qu'il restera un chimpanzé et sa guenon pour reprendre tout à zéro.
Je tente une démonstration par l'absurde et j' examine la possibilité que chaque pays ait un nombre de voisins différent des autres.
il y aura "n" pays.
Le premier aura au moins un voisin (il est encerclé),
le second aura au moins deux voisins,
le troisième pays aura au moins trois voisins
................................
................................
Le n ième pays aura au moins n voisins, ce qui ferait un total de n + 1 pays (le n ième et ses n voisins) ce qui est impossible puisqu'il y a n pays en tout.
J'ai droit à un bon point?

Dernière modification par nerosson (13-12-2009 14:30:41)

Fred

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Re : Les voisins

Bonjour Nerosson,

  Tu as presque bon, mais que se passe-t-il s'il y a une ile qui est autonome, et donc sans voisin?

Fred.

nerosson

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Re : Les voisins

Rebonjour, Fred,
il ne me semble pas que ça change fondamentalement les choses.
le premier pays aura zéro voisin,
le deuxième pays aura un voisin,
le troisième pays aura deux voisins,
...........................
...........................
le n ième pays aura (n - 1) voisins.
Nombre de pays : le n iéme + les (n - 1) voisins + l'ile qui n'est pas voisine du n ième.
Total : n + 1 pays, ce qui est absurde.
J'ai droit à deux bons points : un pour avoir presque réussi et un pour avoir pulvérisé tes objections.
Fais-moi d'autres objections pour que j'aie encore des bons points.

Fred

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Re : Les voisins

Je n'ai plus d'objections!
Après combien de bons points je te donne une image?

J'ai pensé à ce problème récemment parce qu'il est une bonne illustration du principe des tiroirs et des chaussettes : si on a n tiroirs et (n+1) paires de chaussettes, il y aura un tiroir avec au moins deux paires.
C'est trivial, mais ca rend parfois de grands services en math.

Fred.

nerosson

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Re : Les voisins

Rerebonjour, Fred,
A moi te te poser une colle dont je ne connais pas la réponse :
Est-ce que ça changerait quelque chose si tes pays, au lieu d'être posés sur la terre, étaient placés sur un ruban de Moebius ?
Prend de l'aspirine !

tibo

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Re : Les voisins

bonjour

il existe un cas ou ton énoncé est faux...
après la troisième guerre mondiale, un seul et unique pays gouverne le monde...

et je ne voie pas en quoi se placer sur un ruban de moebius change quelque chose.
le meme raisonnement s'y applique.
a moins que tu n'étandes la notion de frontière à à travers le ruban, et la je pense qu'on peut encore faire la meme chose, mais il faut que j'y réfléchisse

nerosson

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Re : Les voisins

Salut, Tibo,
Je pense que dans tous les cas, on doit s'en tenir aux données de l'énoncé d'un problème. Or, celui-ci excluait explicitement le cas d' un pays unique.
Quand au ruban de Moebius, c'était plutôt une boutade qu'une véritable question.