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#1 11-12-2009 16:50:03
- D'giu
- Membre
- Inscription : 06-12-2009
- Messages : 21
Suite équivalente
Bonjour,
j'ai un exercice à faire mais je n'arrive pas la 2eme partie de la 4eme question, voila l'énoncé:
[tex]\forall x\in \mathcal{R},\,{f}_{n}\left(x\right)={x}^{5}+nx-1[/tex]
1. Montrer que pour tout [tex]n\in \mathcal{N}[/tex]*, il existe un unique réel [tex]{u}_{n}[/tex] tel que [tex]{f}_{n}\left({u}_{n}\right)=0 [/tex]
2. Montrer que [tex]{\left({u}_{n}\right)}_{n\in \mathcal{N}*}[/tex] décroît et converge vers 0.
3. Montrer que pour tout [tex]n\in \mathcal{N}[/tex]*, on a [tex]0\leq {u}_{n}\leq \frac{1}{n}[/tex] . Retrouver ainsi la limite de [tex]{\left({u}_{n}\right)}_{n\in \mathcal{N}*}[/tex].
4. Montrer que [tex]{u}_{n}\sim \,\frac{1}{n}[/tex] puis donner un équivalent de [tex]\frac{1}{n}\,-\,{u}_{n}\,en\,+\infty [/tex]
Si quelqu'un peut m'aider, merci.
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#2 11-12-2009 17:22:12
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Suite équivalente
Bonsoir,
Tu écris [tex]u_n= \frac 1n- \varepsilon_n[/tex] et tu introduis ceci dans [tex]f_n(u_n)=0[/tex].
Tu dois trouver :
[tex] n\varepsilon_n=\left(\frac1n+\varepsilon_n\right)^5[/tex]
soit
[tex]\varepsilon_n=\frac1n\left(\frac 1n+\varepsilon_n\right)^5\sim_{+\infty}\frac 1{n^6}.[/tex]
Ca te convient?
Fred.
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#3 11-12-2009 17:30:21
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Suite équivalente
Salut,
pour chaque n entier non nul, la fonction [tex] f_n [/tex] est continue monotone croissante (dérivée >= 0) de - infini à + infini.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe bien [tex] u_n [/tex] unique tq [tex] f_n(u_n) = 0[/tex]
En particulier, [tex] u_n[/tex] vérifie [tex] u_n=\frac{1}{u_n^4+n}[/tex], point fixe de la fonction continue g du compact I(n) = [0,1/n ] dans lui même, qui à tout réel positif y de I(n) renvoie [tex] g(y)=\frac{1}{y^4+n}[/tex],
On en déduit aussi que [tex] u_n [/tex] est positive. Elle est décroissante car [tex] f_{n+1}(u_{n+1}) = f_{n}(u_{n}) \Rightarrow u_{n+1} \le u_n[/tex]
La suite est positive et décroissante donc convergente. Sa limite est celle du compact I(n) quand n tend vers l'infini, soit le point 0.
[EDIT] Salut Fred
Dernière modification par freddy (12-12-2009 11:58:34)
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#6 12-12-2009 12:30:36
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Suite équivalente
Je continue ...
Puisque [tex]u_n >0[/tex] alors [tex]0 \le u_n=\frac{1}{u_n^4+n} \le \frac{1}{n}[/tex].
La suite positive et décroissante u est majorée par une suite positive décroissante et convergente vers 0. La suite u converge bien vers 0.
On en déduit en particulier que [tex]{\lim {\,}_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{{u}_{n}+n}=1\,\,donc\,\,{u}_{n} \sim _{+\infty }\frac{1}{n}}[/tex]
Après, tu lis Fred.
Bb
Je viens d'essayer l'éditeur d'équation sur un PC, c'est très bien fait. Bravo !
Dernière modification par freddy (12-12-2009 12:31:53)
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