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D'giu

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Contraposée du théorème de Bolzano-Weierstrass

Bonjour,

est ce qu'on peut utiliser la contraposée du théorème de Bolzano-Weierstrass pour prouver qu'une suite non majorée admet une suite extraite qui diverge vers +∞? Sinon, comment faire?

Merci d'avance.

D'giu

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Re : Contraposée du théorème de Bolzano-Weierstrass

J'ai peut-être trouver:

On note  [tex]{A}_{n}={k,{U}_{k}>n}[/tex]

Si [tex]{U}_{n\,}[/tex] est non majorée, alors pour tout [tex]\forall n\, ,{A}_{n}[/tex] est non vide.

On définit alors :
[tex]{k}_{0}=\min \,{A}_{0}[/tex]
[tex]{k}_{n+1}=\,\min \,\left({A}_{0}-\,({k}_{0},...,{k}_{n})\right)[/tex]
[tex]{k}_{n}[/tex] est alors strictement croissante et  [tex]{U}_{{k}_{n}}>n[/tex]

On a donc lim  [tex]{U}_{{k}_{n}}[/tex] > lim n=+ [tex]\infty [/tex] .

Mais j'ai une seconde question, comment montrer qu'une suite bornée admet une suite extraite monotone et comment étendre la théorème de Bolzano-Weierstarss aux suite complexes?

Dernière modification par D'giu (06-12-2009 17:13:01)

Fred

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Re : Contraposée du théorème de Bolzano-Weierstrass

Bonjour,

  Ton raisonnement convient presque, mais il te faut tout de même dire que non seulement [tex]A_n[/tex] est non-vide, mais il contient un nombre infini d'éléments pour pouvoir définir [tex]k_{n+1}[/tex] (d'ailleurs, j'imagine que dans la définition de cet entier, tu voulais parler de [tex]k_{n+1}[/tex].

Pour l'extension du théorème de Bolzano-Weierstrass aux suites complexes, c'est le même, avec exactement le même énoncé (on remplace dans borné la valeur absolue par le module).

Pour ta troisième question, soit [tex](x_n)[/tex] une suite bornée. Modulo le théorème de Bolzano-Weierstrass, et parce que si [tex](z_n)[/tex] est une suite extraite de [tex](y_n)[/tex] et que [tex](y_n)[/tex] est une suite extraite de [tex](x_n)[/tex], alors [tex](z_n)[/tex] est aussi une suite extraite de [tex](x_n)[/tex], on peut supposer que [tex](x_n)[/tex] converge vers un réel a. Si [tex](x_n)[/tex] possède une suite extraite qui est toujours égale à a, on a fini. Sinon, on suppose donc qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers n pour lequel [tex]x_n=a[/tex].

Soit [tex]I=\{n\in\mathbb N; x_n\geq a\}[/tex] et [tex]J=\{n\in\mathbb N;\ x_n\leq a\}.[/tex]
L'un de ces deux ensembles est infini, par exemple I. On définit alors : [tex]A_0=I[/tex], et
[tex]k_0[/tex] n'importe quel élément de [tex]A_0[/tex] tel que [tex]x_{k_0}\neq a[/tex].
On définit alors [tex]A_1=\{n\in\mathbb N;\ a\leq x_n\leq x_{k_0}[/tex].
Puisque la suite [tex](x_n)[/tex] converge vers a et que [tex]A_0[/tex] est infini, [tex]A_1[/tex] est aussi infini.
On choisit [tex]k_1[/tex] n'importe quel élément de [tex]A_1[/tex] supérieur strict à [tex]k_0[/tex].
Et on continue ainsi de suite....

Il y a sans doute une méthode plus simple (ou plus élégante) d'écrire ce que je viens de faire, mais je crois que sous cette forme, c'est assez compréhensible.

Fred.