énigmes posées en partiel

tibo · 19-11-2009 22:22:12

Bonjour,

1) Un fermier doit construire un enclos rectangulaire au bord d'une rivière avec une palissade de 100m. Aidez le à en construire un de surface la plus grande possible.
2) On cherche à construire une boite en carton, sans couvercle, de volume 32cm^3, déterminer la longueur de ses 3 cotés pour minimiser la quantité de carton utilisée.

Voilà vous avez une heure

freddy · 20-11-2009 12:21:26

Salut,

cas 1 : la largeur = 25 m et l'unique longueur = 50 m (puisque il ne fait pas fermer l'accés à la rivière).

On a donc bien 2l+ L = 100 m et S = 25*50 = 1.250 m², surface maximale, résultat du petit calcul d'optimisation sous contrainte linéaire :

Max S=l*L

avec 2l+L = 100

(...)

nerosson · 20-11-2009 14:16:04

Bonjour,
J'aurais bien voulu prendre ce bon dieu de Freddy en défaut au moins une fois, mais deux rapides calculs (24X52 et 26X48) m'ont tout de suite montré que 25X50 était effectivement le sommet de la courbe. Mais "je l'aurai un jour, je l'aurai", comme dit la pub.
Et si on enlève le mot "rectangulaire" du problème ? J'ai une réponse intuitive, que je n'ai pas vérifiée, mais vous allez me donner la réponse avec preuve à l'appui. Pourquoi je me fatiguerais ?

freddy · 20-11-2009 14:56:50

Re,

pour le second problème, un poil plus sioux, il faut avoir un carton cubique (on sait qu'il maximise le volume et minimise la surface) de côté = 2**(5/3) cm

Mais je ne l'ai pas encore prouvé (intuition) faute de temps ... j'attends que nerosson me contredise.

Pour le rectangle à surface maximale, s'il n'y avait pas la contrainte de la rivière => prendre un carré !

La pub s'inspire de la célèbre émission "Palace" qui a été le prolongement d'un série TV irrésistible "merci Bernard", avec quasiment les mêmes comédiens.

Bb

Dernière modification par freddy (20-11-2009 14:57:13)

nerosson · 20-11-2009 15:53:39

Parlons de la boîte en carton.
Ma première intuition (comme vous savez, je suis très fort sur les intuitions : la plupart foirent, mais je me rattrape sur la quantité) a été : un cube de côté égal à racine cubique de 32, soit 3,2 (valeur approchée, par excès). Ca me donnait, pour la surface de carton : 3,2X3,2X5 = 51,2 centimètres carré de carton.
Je me suis aperçu que cette intuition était à mettre à la poubelle avec les autres, puisque, conjecturant que le fond devait être carré, j'ai constaté qu'un fond de 4X4 avec une hauteur de 2 cm nécessiterait (4X4)+ (16X2) = 16 + 32 = 48 centimètres carrés de carton.
D'autres essais voisins m'ont amené à conclure que ça devait être le bas de la courbe.
Tout ça, c'est des mathématiques de marché aux puces.
J'attends que l'un de vous me donne une solution plus académique.
Alors, vieux taupin, qu'est-ce que tu attends ?

P.S. J'avais pas encore vu la réponse de Freddy quand j'ai lancé celle-ci. Il m'a encore coupé l'herbe sous le pied. Je ne saurai bientôt plus où les mettre (mes pieds).

Dernière modification par nerosson (20-11-2009 15:59:09)

nerosson · 20-11-2009 16:19:36

Mon bon Freddy,
Tu attends que je te contredise ? C'est déjà fait avec le cube.
Mais je ne saurais m'arrêter en si bon chemin. Si on enlève le mot "rectangulaire" du problème de clôture, on peut donner donner à la palissade la forme qu'on veut : je suggère un demi-cercle adossé à la rivière, qui en constituerait le diamètre. Et puis, songe un peu comme ça serait facile pour faire brouter la chèvre :si facile qu'on se demanderait pourquoi cet imbécile de fermier aurait fait une palissade. Ca aussi c'est une énigme, mais je vous en donne la solution parce que vous n'êtes pas assez malins pour la trouver tout seuls : c'est pour empêcher la chèvre du voisin de venir brouter sur son terrain, ou peut-être pour que le bouc de Freddy (qui a une mauvaise mentalité) ne vienne pas violer sa chèvre.
Je vous pose une autre énigme (dont la réponse est évidente) : quand je parle mauvaise mentalité, est-ce que je parle du bouc ou de Freddy ?

Dernière modification par nerosson (20-11-2009 16:24:01)

tibo · 20-11-2009 18:07:51

Bonjour,

dans la correction, il utilisait les multiplicateurs de Lagrange, mais honnêtement j'attendais une réponse beaucoup plus simple, sinon je ne l'aurai pas posé comme énigme.
En fait, Freddy tu les as utilisé sans le dire, peut etre même sans t'en apercevoir, mais à la différence de M.Jourdain, tu sais ce que c'est.

Pour la première, j'attendais un truc du style:
si S la surface de l'enclos
S(x)=x*(100*2x)
on dérive et c'est fini.

J'avoue que pour la deuxième c'est déja plus difficile, mais ça se fait.

En tout cas, bravo Nerosson pour tes réponses justes.

freddy · 20-11-2009 18:19:50

Re,

non seulement j'ai bien connu Lagrange, mais j'ai même fréquenté à une époque Khün et Tucker ...

freddy · 20-11-2009 18:29:41

Re,

quand j'étais jeune (il y a plus de 30 ans), Madame ma Mère avait une amie qui s'appelait Madame Chèvre (histoire authentique).

Cette belle brune d'environ 40 me plaisait et je pense que je ne lui déplaisais pas, mais c'est une autre histoire.

Un soir, je demande à Madame ma Mère : 'que pensez vous que votre amie fasse le soir avant de s'endormir ?"

...

- Elle bouquine ! ... :-))) Elle n'a pas ri, car elle n'a jamais rien compris à mon métabolisme psychique. Oui, j'ai mauvais esprit, et mon bouc est un cochon.

Mais je n'ai pas une mauvaise mentalité.

Bises sur le front, nerosson.

freddy · 21-11-2009 02:53:43

Hi,

comme je disais, le second problème est un poil plus sioux et exige de passer en effet par un lagrangien.

Si on convient de P = profondeur, H=hauteur et L=longueur, on doit trouver le minimum de :

S = 2*(HL+HP) + LP

sachant que HPL = 32.

La résolution conduit aux conclusions suivantes par étape que : L=P, puis que P=2H et on finit par H=2 cm

Donc on a L=P=4, H=2 et S=48.

Bb

tibo · 21-11-2009 11:18:43

oui, et sans passer par Lagrange?

nerosson · 21-11-2009 13:26:07

Bonjour,
Le bouc de Freddy, il tient à passer par La grange, pour prendre des forces avant l'action.

P.S. Je sais, Yoshi, je suis le spécialiste des digressions hors des mathématiques. Pardonne moi !

Dernière modification par nerosson (21-11-2009 13:30:43)

freddy · 21-11-2009 20:27:38

tibo a écrit :

oui, et sans passer par Lagrange?

Re,

j'ai résolu le premier pb sans Lagrange, le second est de la même farine.

La fonction à minimiser devient [tex]S=\frac{64}{P} + 2PH + \frac{32}{H}[/tex]

Des conditions nécessaires du premier ordre, on déduit [tex]\frac{2}{P} - \frac{1}{H} = 0[/tex] soit P=2H.

On en déduit immédiatement que [tex]P^3 = 64 => P=4 => H=2 => L=4[/tex]

Les conditions du second ordre nous garantissent que c'est un minimum.

Bb

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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