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Cyd42

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Postulat de Bertrand => Conjecture de Legendre ?

Bonjour,

j'aimerai savoir pourquoi on dit que la conjecture de Legendre est non démontrée alors que le postulat de Bertrand (= Théorème de Tchebytchev) l'a été ?
est-ce que le Théorème de Tchebytchev n'implique pas la démonstration de la conjecture de Legendre ?

Théorème de Tchebytchev :
Qq soit N >1, il existe un nombre premier P tel que :
N < P < 2N

Si l'on prend N comme un carré C², on a :
N = C² < P < 2N = 2C² < (C+1)²      à partir de N >= 4

Fais-je une erreur dans mon raisonnement ?

Je vous remercie par avance pour votre réponse,

Cordialement,
Cyril

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Postulat de Bertrand => Conjecture de Legendre ?

Bonjour,

Hum...
[tex]2c^2<(c+1)^2\Longleftrightarrow 2c^2<c^2+2c+1 \Longleftrightarrow c^2-2c-1<0 \Longleftrightarrow (c-1)^2-(\sqrt 2)^2<0[/tex]
Et enfin :
[tex](c-1-\sqrt 2)(c-1+\sqrt 2) <0[/tex]
On a donc [tex]c\;\in\;[0\;;\;1+\sqrt 2[[/tex] puisqu'on travaille dans |N.
Mais n>=4, puisqu'il a été posé n= c², implique c>=2.

Il y a donc un problème...

Bon, en fait un contre exemple suffisait.
Soit n = 25 on a bien n >=4...
n=c² d'où c = 5
Tu écris donc que 2*25 < (5+1)², soit 50 < 36 !!!
En fait 2c² <(c+1)^2 n'est vrai que dans {0 ; 1 ; 2}

@+