L'armée en marche et l'estafette I et II

yoshi · 01-11-2009 22:07:01

Salut à tous.

Poir les deux versions, On suppose, bien sûr, que le messager galope toujours à la même vitesse, tandis que l'armée se déplace également à vitesse constante.
.
Voilà la version I qui a l'air, a priori, assez classique :

Un problème ancien, que l'on trouve dans de nombreux vieux livres de problèmes, concerne une armée de cinquante kilomètres de long. Alors que l'armée avance à une vitesse constante, un messager part de l'arrière-garde de l'armée, galope pour aller délivrer un message à l'avant, puis revient à l'arrière-garde. Il arrive à l'arrière-garde exactement au moment où l'armée a parcouru cinquante kilomètres.
Quelle est la distance totale parcourue par le messager ?

Version II
Un problème plus difficile est donné par l'hypothèse supplémentaire suivante :
une armée en carré de côté cinquante kilomètres parcourt cinquante kilomètres à une vitesse constante, pendant qu'un messager part du milieu de l'arrière-garde et fait un circuit complet autour de l'armée, pour revenir à son point de départ. La vitesse du messager est constante, et il termine son circuit au moment où l'armée a progressé de cinquante kilomètres.
Combien de kilomètres a parcouru le messager ?

Réponses à 1 m près.

@+

nerosson · 02-11-2009 14:02:00

Salut, Yoshi,
Première question : Il me semble qu'intuitivement, j'ai instantanément flairé une réponse. Mais tu ne te contenteras pas d'une intuition.
Si l'armée était restée immobile, le cavalier aurait fait 100 kms. Le fait que l'armée ait avancé a augmenté son parcours à l'aller autant qu'il l'a diminué au retour, puisque la vitesse de l'armée est constante et celle du cavalier aussi. Je dirais donc que le cavalier a fait 100 kms.
"Capilotracté", dirait Melle Yoshi. J'aurais peut-être affiné le raisonnement si je ne craignais pas qu'un concurrent me brûle la politesse.
"ôte-moi d'un doute", comme disait le papa de Rodrigue : est-ce bon ?
Peut-être la suite au prochain numéro.

Dernière modification par nerosson (02-11-2009 14:04:00)

yoshi · 02-11-2009 14:40:03

Salut,

Niet !
Tu aurais dû être alerté par les derniers mots :

Réponses à 1 m près.

Tu me donnes une valeur exacte, et j'ai écrit que j'attendais une valeur approchée à 1 m près...
Bizarre, non ?

@+

nerosson · 02-11-2009 15:20:30

RE,
Je n'ai pas remarqué le "s" de réponses et j'ai attribuée cette exigence seulement à la deuxième version.
En ce qui concerne cette dernière, j'ai représenté graphiquement le parcours. Il est tarabiscoté et je ne crois pas que je trouverai quelque chose de ce côté là. D'ailleurs, si j'ai foiré la première version, je ne pense pas que, à moins d'une illumination subite, je tirerai quelque chose de la deuxième.

tibo · 02-11-2009 22:46:25

Bonjour,

Je laisse neron réfléchir encore un peu
Yoshi dit moi juste si la réponse du 1) est bien [tex]50*(\sqrt 2+1)[/tex]?

Dernière modification par tibo (02-11-2009 22:46:46)

yoshi · 02-11-2009 23:02:20

Bonsoir,

Un grand bravo...
Tu comprends pourquoi j'ai choisi ces énigmes : le pôvre nerosson, par l'arithmétique, n'avait que bien peu de chances d'arriver à ce résultat (j'suis vraiment une sacrée "peau de vache" sur ce coup là, s'pas ? :-) ).
Nerosson, t'as le droit de me maudire...

Donc, d'ici 8 jours (il va peut-être bien y avoir d'autres amateurs qui vont se manifester), je te laisserai le plaisir, l'honneur et l'avantage t'exposer la façon d'arriver à l'équation qui t'a permis de trouver la réponse...
A-tu trouvé cela difficile, ou as-tu trouvé la solution dans le temps d'un claquement de doigts ?

Nerosson, je n'ai pas demandé la valeur exacte, tu comprends pourquoi maintenant : cette écriture est en effet la seule façon de donner ladite "valeur exacte", mais elle n'est pas "parlante", d'où la demande de valeur approchée.

Pour l'épisode II, je ne suis pas sûr par contre de pouvoir trouver une valeur exacte (elle existe, mais, techniquement, je n'ai peut-être pas les outils pour... Tiens, peut-être avec WxMaxima ?).

Freddy, toi qui, l'autre jour, réclamait quelque chose pour élever l'âme, entre la version II et le lancer de boules version PetitMou, tu es servi !

@+

tibo · 02-11-2009 23:18:07

Re,

pour quelqu'un qui n'a pas l'habitude, c'est pas évident du tout. Y a meme de quoi tourner en rond pendant des heure. J'ai eu la chance d'avoir eu une bonne idée assez rapidement.

C'est vrai que l'arithmétique ne me parait pas du tout etre le bon chemin.

Bon j'attaque le deuxième.

tibo · 02-11-2009 23:34:18

re,

juste comme ça, pour le 2), le messager peut partir de n'importe ou sur le carré, ça ne change rien non?

yoshi · 03-11-2009 08:33:33

Re,

Tu me poses une colle... Pour ce que je vois de la solution, je pense qu'il peut tout aussi bien pazrtir du coin inférieur : ça ne devrait rien changer !

@+

[EDIT]
Chapeau l'artiste !
Parce que je me bats depuis 1/4 h avec la version I sans arriver au bout...
Les méthodes classiques que j'ai utilisées jusque là sont inopérantes !
Et j'étais content d'être arrivé à coincer nerosson ??? C'est le coup de l'arroseur arrosé !!!
Cela dit, je constate que bien peu se sont frottés à ces deux problèmes...

Dernière modification par yoshi (03-11-2009 19:10:05)

tibo · 03-11-2009 19:21:08

bonjour,

En fait j'ai eu deux idées:
- chercher une relation entre l'armée et le messager, quelque chose qu'ils ont en commun pour pouvoir les relier (et ya pas beaucoup de choix)
- découper le trajet du messager en deux

yoshi · 03-11-2009 19:33:50

SAlut,

C'est bien ce que j'ai fait, mais je me retrouve avec une palanquée d'inconnues...
Pas grave, je suis sur le "Défi Euler" (voir section Programmation)...

@+

tibo · 03-11-2009 20:14:43

pareil, mais tous se démêle à la fin
il faut exprimer toute les inconues en fonction d'une seule

et c'est encore pire dans le 2), j'ai 12 inconnues
vraiment galère à la main

tibo · 03-11-2009 20:57:11

Je crois que j'ai fini, mais je ne suis pas à l'abri d'une erreur parmi mes 4 pages de calcul:

si quelqu'un arrive à me résoudre l'equation suivante:
[tex]4t^2+2t\sqrt{t^2+1}+2t\sqrt{t^2-t+\frac{1}{2}}-\sqrt{t^2+1}+t=0[/tex]
alors la solution est:
[tex]D=50\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}[/tex]

yoshi · 03-11-2009 21:22:18

Salut,

Boufre ! Rien que ça !!!
Bon, à ce qu'il paraît la solution est 50x, x étant la seule solution de :
[tex]x^4-4x^3-2x^2+4x+5=0[/tex]
compatible avec les données du problème.

Si ça peut t'aider...

@+

tibo · 03-11-2009 22:37:23

Re,

si il n'existe qu'une solution à ton équation, c'est forcément une racine double
j'ai donc essayé d'en trouver une en mettant sous la forme (x-r)²(x²+bx+c), mais je suis tomber sur une absurdité.
Et pour cause..., ce polynome possède deux racines (environ 1,37 et 4,18)

Es tu sur de ton équation?

yoshi · 03-11-2009 22:42:46

Salut,

Oui, la réponse est bien 50 x 4,18112...
J'ai dit "la seule réponse compatible avec les données du problème"...
J'ai la démo sous les yeux, elle est très simple, mais mon esprit la rejette, parce qu'il n'en accepte pas les prémisses...

@+

nerosson · 04-11-2009 17:09:59

Salut à tous les deux.
Une petite pointe de déception n'exclut pas l'admiration. Ce Tibo, quand même, avec son air de ne pas y toucher...
Chapeau !
Bien sûr, j'ai fait de l'algèbre au collège, mais pas à ce niveau. Et puis je ne me rappelle même plus la formule de résolution de l'équation du second degré...Sorti des systèmes d'équations à plusieurs inconnues, il ne faut pas m'en demander davantage. Et puis, tout de même, je préfère l'arithmétique. Votre truc, c'est de la mécanique.
Mon grand regret dans ce domaine, c'est que je mourrai sans avoir trouvé la loi de formation des nombres premiers.
J'aime bien aussi la devise de Tibo. Elle me paraît profondément juste.

tibo · 06-11-2009 18:30:36

Bonjour,

bon mon équation est fausse, et j'ai la flemme de reprendre tout mes calculs
enfin le raisonnement est bon.

Si tu estimes qu'on a laissé assez de temps, je veux bien voir ta démonstration Yoshi
parce que avec mon raisonnement, j'aurais toujours au moins une racine carré dans mon équation à résoudre.
Comment obtenir une équation aussi "simple"?

yoshi · 06-11-2009 19:58:12

Salut,

Les solutions ? Elles me retournent toujours autant l'estomac...
Voilà ce que dit Martin Gardner.
Problème 1
Soit 1 la longueur de l'armée et 1 le temps qu'il lui faut pour parcourir une longueur égale à la sienne.
La vitesse de l'armée est donc 1.
Soit x la distance parcourue par l'estafette et x sa vitesse également.
Vitesse de l'estafette à l'aller x - 1, au retour x + 1.
L'aller ou le retour ont une distance de 1 par rapport à l'armée et l'aller retour nécessite le temps 1.
On a donc :
[tex]\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1[/tex] ce qui est équivalent à [tex]x^2+2x-1 = 0[/tex].
La racine positive est [tex]1+\sqrt 2[/tex] et nous multiplions cette valeur par 50 pour obtenir :
[tex]50(1+\sqrt 2)\approx 120,711\;m[/tex]
Et voilà pourquoi votre fille est muette...
Ecoeurant de simplicité, non ? Pourtant je n'arrive toujours pas à accepter tous ces 1...
Et pourtant ça marche.

Problème 1
Voilà ce que dit Martin Gardner.
On peut résoudre ce problème de la même façon que le 1er, la seule différence est que les 2 trajets en diagonale sont à ajouter et que leur vitesse relative par rapport à l'armée est dans les deux cas [tex]\sqrt{x^2-1}[/tex]
Comme ci-dessus chaque trajet a une distance de 1 par rapport à l'armée et puisqu'il fait les 4 trajets en yemps unité, nous pouvons écrire :
[tex]\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{2}{\sqrt{x^2-1}}=1[/tex]
ce qui équivaut à l'équation ;
[tex]x^4-4x^3-2x^2+4x+5=0[/tex]
dont la solution 4,18112 sera à multiplier elle aussi par 50

Fermez le ban !
Je n'ai jamais appris à travailler comme ça et ça me déstabilise.
Si quelqu'un avait la bonté de m'expliquer, ce serait avec plaisir.

Merci d'avance...

@+

PS
Pour ceux qui douteraient de la puissance du Calculateur libre et gratuit Maxima/WxMaxima, voici la solution donnée :

Impressionnant, non ?
Je lui ai aussi demandé la valeur approchée :
x = 4.181125445292674 conforme à ce qu'annonce Martin Gardner...

tibo · 09-11-2009 19:19:21

Bonjour,

Simple en effet...
les 1 ne me dérange pas, je comprend le raisonnement, mais quelque chose m'embête quand meme:

Vitesse de l'estafette à l'aller x - 1, au retour x + 1.

D'ou ça sort?
D'autant plus que la vitesse de l'estafette est constante...
Pour le deuxième problème, il parle de vitesse relative à l'armée. C'est surement dans ce sens qu'il faut le comprendre, mais ça me chagrine quand meme un peu.

On dit souvent que la physique est moins rigoureuse que les math, mais en physique, on fait toujours trés atention aux unités de chaque grandeur et quel est le référentiel considéré (pour éviter de dire que 1m=1g, et que dans un train je marche à 200km/h !!!)
Et c'est le gros problème de cette démo:

Soit x la distance parcourue par l'estafette et x sa vitesse également.

ou pourait comprendre x metre = x metre par heure
alors une fois ça va, mais à la chaine comme il le fait, c'est assez perturbant.

Sinon pour ton problème de 1, dit toi que toutes les unités que nous utilisons (metre, heure,...) ne sont que des conventions. Pourquoi ne pas inventer nos propres unités?
j'invente le Yoshi, symbole Y, tel que 1Y=50km
et j'invente le tibo, symbole t, une armée met 1t pour parcourir 1Y
donc la vitesse de l'armée est bien de 1 Y/t
il faut reprendre toute la demo en y insérant les unités, ça devient plus compréhensible
ormi pour moi la phrase que je ne comprend pas

Dernière modification par tibo (09-11-2009 19:20:48)

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