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nerosson

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Racine de 2 et PI

Salut à tous,
Il y a une idée qui me turlupine. De deux choses l'une :
1° Ou bien elle ne tient pas la route,
2° ou bien elle a déjà été envisagée et traitée, « depuis qu'il y a des hommes et qui pensent », comme disait La Bruyère. Mais dans ce cas, je n'en ai pas eu connaissance.
Voilà :
Prenons un nombre irrationnel, par exemple racine de 2.
Comme cette séquence est infinie, on peut en déduire que le nombre 3 s'y trouve en quantité sensiblement égale à l' infini divisé par 10, donc en quantité infinie,
Comme il y a une chance sur dix que 3 soit suivi d'un 1, on peut dire que le nombre 31 s'y trouve en quantité sensiblement égale à l'infini divisé par 100, donc en quantité infinie,
Comme il y a une chance sur 10 que 31 soit suivi d'un 4, on peut dire que le nombre 314 s'y trouve en quantité sensiblement égale à l'infini divisé par 1.000, donc en quantité infinie.
Le raisonnement sera valable pour les séquences successives de PI : 3141, 31415, 314159, 3141592, 31415926, le nombre d' apparitions de la séquence dans racine de 2 étant pour chacune de ces séquences égal au dixième de la précédente, qui est infini.
Le nombre des décimales connues de PI est actuellement (si ce que j'ai lu récemment est exact) de deux milliards. Donc le nombre de fois où cette séquence apparaît dans racine de 2 est égal à l'infini divisé par 10 puissance deux milliards : ce nombre est infini.
Jusqu'ici, je ne vois pas ce qu'on peut reprocher à ce raisonnement. Mais là où ça coince, c'est quand j'en arrive à la longueur totale (infinie) du nombre PI, le nombre de fois où elle se trouve incluse dans racine de 2  est égal à : l'infini divisé par dix puissance l'infini. C'est quoi, ça ?
Je remarque que si j'avais inversé les deux nombres irrationnels (PI à la place de racine de deux), le raisonnement aurait été tout aussi valable.
Je me sens m'enfoncer dans les sables mouvants. Vous tous, les géants des maths, venez me tirer de là !

P.S. Freddy, ne viens pas me servir le coup du chef indien, autrement Yoshi viendra te tirer les...oreilles.

freddy

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Re : Racine de 2 et PI

Re,

ouaip, t'as raison, je n'ai rien compris, même pas le début. Qu'est ce que tu es bavard !...

Moi, c'est "sensiblement égal" qui me perturbe. C'et une démarche de physicien ça, pas de matheux ...

Bb

yoshi

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Re : Racine de 2 et PI

'lut,

'toutes façons (avec un abus d'emploi du =) :
[tex]{\infty \over 10}=\infty \quad{et}\quad \infty^{\infty}=\infty[/tex]

@+

tonton

Invité

Re : Racine de 2 et PI

Pour éviter de t'enliser dans les sables mouvants, n'utilise pas le mot infini , et encore moins le symbole, (surtout avec des probabilités) avant d'avoir défriché les notions de dénombrable, de non dénombrable et de nombres transfinis.
- rien ne prouve que les décimales racine de 2 contiennent une infinité de fois le chiffre 3
- je crois qu'on connait au moins 40 milliards de décimales de pi (voir Kanada)
- Pouvoir caser des séquences aussi longues que l'on veut des décimales de pi dans celles de racine de 2 (et réciproquement) n'a rien de paradoxal
Pour te faire la main voici une des joyeusetés de l'infini C'est le pb de l'hôtel de Cantor
Cet hôtel contient un nombre infini de chambres (numérotées 1, 2, 3 ...)
Chaque chambre ne peut contenir qu'un seul occupant et elles sont toutes occupées.
Arrive un nombre infini des bus (numérotés 1,2,3...) contenant chacun un nombre infini de passagers (numérotés 1,2,3...). 
Non seulement on peut caser tout ce monde dans l'hôtel (avec toujours une seule personne par chambre) mais à la fin du processus il y aura un nombre infini de chambres de libres !!!!!!!!!!!!!
Comment faut il faire ?

freddy

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Re : Racine de 2 et PI

Re,

commencer par lire le lien ci-dessous et les articles joints :

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … dinal.html

nerosson

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Re : Racine de 2 et PI

Salut à tous.
Apres réflexion, j'aimerais exprimer autrement ce que j'ai dit :
"Si l'on a deux nombres irrationnels A et B, toute séquence finie de A, quelle que soit sa longueur, est présente dans B et réciproquement, toute séquence finie de B, quelle que soit sa longueur, est présente dans A".
Vu l'heure, je ne me suis pas beaucoup arrêté sur les réponses de mes interlocuteurs, cependant :
Freddy,, ce nouvel énoncé est-il suffisamment bref, et les termes sont-ils suffisamment mathématiques ?
Tonton, le fait que, dans un nombre irrationnel, donc infini et sans séquence indéfiniment répétée, un chiffre puisse être en nombre fini m'inspire les plus expresses réserves : est-ce bien conforme au calcul des probabilités qui sont aussi des mathématiques ?
Bonne nuit à tous (du moins ce qu'il en reste).

tibo

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Re : Racine de 2 et PI

Bonjour

dire qu'un nombre est irrationnel est équivalent à dire que il n'existe pas de période dans la suite de ses chiffres après la virgule (c'est un peu mal dit mais vous comprenez l'idée)
il me semble qu'on peut meme dire qu'on ne peut pas les construire par récurrence, mais ça je ne l'affirmerai pas.

donc
[tex]0,1101001000100001...1\underbrace{00...00}_n 1\underbrace{00...00}_{n+1}100...[/tex] est un irrationnel

si tu prend un autre irrationnel "au hasard", je pense que tu aura très peu de chance qu'il vérifie ta propriété.
et 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 y sont un nombre fini de fois... zéro fois

Et je pense qu'il y un problème dans ton raisonnement. Les irrationnels tel que [tex]\pi[/tex] et [tex]\sqrt 2[/tex] ou n'importe quel autre paraissent avoir une suite de décimaux totalement aléatoire, mais il n'en ai rien. Donc parler de probabilité de présence d'un chiffre après un autre chiffre me parait mal dit.

Dernière modification par tibo (28-10-2009 08:43:00)

tonton

Invité

Re : Racine de 2 et PI

Bonjour
Nerosson écrit : "Si l'on a deux nombres irrationnels A et B, toute séquence finie de A, quelle que soit sa longueur, est présente dans B et réciproquement, toute séquence finie de B, quelle que soit sa longueur, est présente dans A".
Il existe peut être des nombres vérifiant cette propriété mais pas tous les irrationnels (cf l'exemple de Tibo)

La question sous jacente de Nerosson est : les décimales d'un irrationnel forment elles une suite de nombres aléatoires ?
Là encore Tibo donne un contre exemple
Une suite de nombres est dite aléatoire si l'algorithme minimal qui la construit est aussi long que la suite.

Pi ne répond clairement pas à cette définition; puisqu'un petit programme suffit à le construire.
on parle alors de nombres pseudo-aléatoires Pour ce que l'on connait des décimales de pi (donc un nombre FINI) elles vérifient les fréquences attendues par Nerosson 10% de 0, de 1 ... 1% de 00, de 01 etc......
Mais je crois qu'on ignore si c'est vrai pour l'ensemble des décimales de pi.

Tibo un irrationnel peut se construire par récurrence; tu en donnes un exemple ! De même toute série convergeant vers pi permet de construire pi par récurrence.

tibo

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Re : Racine de 2 et PI

Re,

Quand je parlai de récurence je ne parlais pas de construire un irrationnel (tout réel est limite d'une suite de cauchy de rationnels)
mais je considérais la suite des chiffres après la virgule,
par exemple pour pi
U0=1
U1=4
U2=1
U3=5
...
peut-on trouver f tel que U(n+1)=f(Un)?
Il me semble que pour pi ce n'est pas possible

sinon mon père viens de me parler de nombre "normal" où chaque chiffre apparait à peu près autant de fois dans les décimales...
une piste de recherche peut etre...

tonton

Invité

Re : Racine de 2 et PI

Une suite définie par récurrence et qui donne au nième terme la nième décimale de pi je ne sais pas
Il y a la formule de Plouffe qui donne directement la nième décimale de pi en binaire.
Avec  [tex]\frac{{\pi }^{2}}{6}=\sum^{\infty }_{1}\frac{1}{{n}^{2}}[/tex] on peut faire une suite définie par récurrence

On a aussi  [tex]{u}_{n+1}=\frac{1}{2}\left({u}_{n}+\frac{2}{{u}_{n}}\right)[/tex] qui tend vers  [tex]\sqrt{2}[/tex] mais on gagne plus qu'une décimale par terme

nerosson

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Re : Racine de 2 et PI

bonjour à tous,
J'ai appris des choses. Merci. Considérez mon intervention comme nulle, dans tous les sens du terme.

gatha de La Ciotat

Invité

Re : Racine de 2 et PI

Bonjour à tous.
Ta question me rappelle une réflexion que j'avais, étant enfant et contemplant les étoiles.
Ce que j'avais devant les yeux était infini ... Donc tout y est possible, une autre planète habitée existe forcemment
, il suffit d'aller suffisamment loin pour la trouver.
Si une planète habitée existe, il en existe une infinité, donc une jumelle de la Terre. Il suffit d'aller assez loin pour la trouver. Si notre jumelle existe, il y en a une infinité, donc il existe une planète jumelle où j'existe également, il suffit d'aller assez loin. J'existerais donc plusieurs fois, une infinité de fois, il suffit d'aller assez loin ....
Hum... ça frise l'égocentrisme! Mais je n'ai pas trouvé d'argument contre.
@+

nerosson

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Re : Racine de 2 et PI

Salut à tous,
Quand j'ai ouvert cette page, je ne m'attendais pas au développement qu'elle atteindrait. J'en tire, assez stupidement, une sorte de vanité.
En plus, mon cher Gatha, tu viens me gratter là où ça me démange. Le problème de la pluralité des mondes habités est un de mes sujets de méditations préférés. C'est pourquoi, bravant Freddy (qu'il est bavard !) et Yoshi (Hé là, c'est un site de maths, ici !), je ne peux me retenir de te répondre.
Je crois que ceux qui prétendent que les conditions d'apparition de la vie sont si difficiles que nous sommes probablement la seule planète habitée dans tout l'univers marchent sur la tête (Yoshi, je rentre dans le rang : on aborde le problème des probabilités).
1° La présence de planètes autour d'une étoile est maintenant reconnue comme un cas général,
2° Il y a des milliards d'étoiles dans notre galaxie,
3° Il y a des milliards de galaxies dans l'univers,
4° Donc, il y a des MILLIARDS DE MILLIARDS de planètes.
Prétendre qu'il n'y a qu'une planète habitée est comparable à la "parabole" du singe qui, tapant au hasard sur les touches d'un clavier produirait une fable de La Fontaine sans une seule faute. C'est possible, mais quelle probabilité ? (à remarquer que là, elle est calculable aisément).
Par contre, tout ton raisonnement repose sur le fait que l'univers est  infini, ce qui, à ma connaissance n'est pas démontré. Et puis, s'il y a deux Nérosson dans l'univers, c'est tout de même deux individus distincts ("un seul, ça suffit largement", dirait Freddy).

andrewwiles

Invité

Re : Racine de 2 et PI

Bonjour à tous ,
Ce genre de raisonnement peut parraitre interessant mais il faut voir que cela n'avance à rien .
Le fait de pouvoir trouver une sequence de chiffres qui se repete ca tient debout mais finalement dans ce cas on peut demontrer des tonnes de chose qui en soit ne sont pas vrai .
Imagine que des mathematiciens cherche la réponse depuis  peut etre plusieurs millenaire , s'il avait pu reflechir comme ca on l'aurait su mais c'est vrai que cela force à reflechir .

gatha 13

Invité

Re : Racine de 2 et PI

Merci à tous, j'ai appris plein de trucs, spécialement qu'il existe des infinis ....finis. En tout cas cas avec une clé
qui ne permet pas à tous les nombres d'en faire partie.
J'ai presque un doute, et préfère envisager que dans PI, on peut s'attendre à tout. Et même que dans un univers composé de 0 et de 1, Sic l'exemple, on ne peut imaginer autre chose. Que se passerait-il si on transposait en base 10?
Allez, a-t-on pensé à mettre PI en musique, pour écouter si jamais on y trouvait un refrain?
Ou en succession de couleurs?
Au fait l'univers des ensembles infinis (s'il existe) est il infini?