expression rationnelle du nombre PI

nerosson · 22-10-2009 17:25:57

Peut-être que ma question est idiote : je ne les compte plus et j'ai conscience de mes limites. Ca aurait un avantage : il serait plus facile à vous de me répondre et à moi de vous comprendre.
Question : En numération de base 10, le nombre PI s'exprime par un nombre irrationnel. Peut-on imaginer qu'il puise exister une numération d'une autre base où PI s'exprimerait par un nombre rationnel ?

freddy · 22-10-2009 18:06:02

Salut,

question très (im)pertinente !

Je propose d'exprimer Pi en base Pi, il serait donc = 1, mais ce serait les autres nombres qui auraient une drôle de tête.

(...)

yoshi · 22-10-2009 18:27:42

Salut,

Question loin d'être idiote et dont je ne sens que confusément la justification de la réponse.
La réponse pour moi est : je ne crois pas...
S'il s'agissait d'écrire sous la forme d'un nombre décimal, une "suite décimale périodique illimitée", par exemple 23/7, en base dix [tex]23/7\approx 3.285714\;\; 285714\;\: 285714\;\; 285714\cdots[/tex], je te dirais oui, en bases 7, 14....
En base 7 : 23 --> 32, 7 --> 10 donc 23/7 --> 32/10 = 3,2
En base 14 : 23 --> 19 7 --> 0,5 donc 23/7 --> 19/0,5 = 3,8
Mais dans ton cas, il s'agit de nombres n'ayant pas de représentation fractionnaire

Il faut bien comprendre ce qu'est une base de numération et donc pour éviter de me répéter, je t'invite à aller lire cette discussion, elle va sûrement déclencher des questions :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2005&p=1

@+

nerosson · 22-10-2009 18:42:46

Nero freddo suo salutem,
Je dois dire que j'avais vu le problème sous un autre aspect. L'homme a choisi la base 10 parce qu'il avait dix doigts. Peut-être que sur la planète des singes, il ont une numération de base 20 et les Martiens une numération de base 12. Autrement dit, j'envisageais des numérations où une collection d'objets semblables sera toujours représentée par un nombre entier.
Vale.

P.S. Bonsoir, Yoshi.
Je n'avais pas vu ta réponse quand j'ai écrit ce qui figure ci-dessus et qui répond à Freddy.

Dernière modification par nerosson (22-10-2009 18:45:45)

Fred · 22-10-2009 21:04:21

Bonjour,

Nerosson, tu confonds l'écriture d'un nombre et sa réalité.
Notre 2 en base 10, en base 2 s'écrit 10.
Mais sa nature ne change pas, c'est toujours un nombre entier.

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Ces deux entiers peuvent être écrits dans la base que l'on souhaite, ce seront toujours des entiers.
Par exemple notre 2/3 écrit en base 10 s'écrira 10/11 en base 2. Il a toujours la même nature, être quotient de deux entiers.

Fred.

nerosson · 23-10-2009 16:49:55

Bonjour, Fred,
Merci de me faire l'honneur d'une de tes interventions pourtant si rares.
Mais toi, comme les autres, tu voles bien haut et, si j'essaye de te suivre, je vais faire comme Icare, je vais me casser la ....
Ton premier paragraphe est parfaitement clair, pas de problèmes. Pour le reste, je me référais à la suggestion de Freddy, qui me paraissait conduire à des conséquences plutôt "bizarres", comme disait Jouvet.. Il y a bien des choses qui n'ont de sens que par l'expression d'un nombre entier. Si on parle d'une réunion de 15 personnes, ça donnera quoi en numération de base PI ? Ne doit-on pas avoir là un nombre entier ? (bien sûr, on pourra m'opposer les femmes enceintes).
Dans ton paragraphe deux, tu me dis qu'un nombre rationnel (donc avec éventuellement des décimales) est toujours le quotient de deux entiers. Juge de mon ignorance : tu me l'apprends. Pour éclairer mes idées, je me préparais à te demander à quelle fraction correspondait le nombre (pris au hasard) : 29,6813, quand une lumière m'a éclairé et j'ai trouvé tout seul : 890439/30000. Il y en a évidemment bien d'autres. Voilà qui me redonne du tonus pour te faire observer que tout ça ne répond pas à la question que j'ai posée. Intuitivement, j'aurais tendance à penser qu'aucune base ne satisfait à la condition indiquée. Il me semble qu'en maths, il ne faut pas mépriser l'intuition. Elle a dù être à la source de beaucoup de découvertes.

Salut, Yoshi,
je me suis reporté au lien que tu m'avais donné. J'ai, bien entendu, vite été semé. Néanmoins, deux choses m'ont laissé perplexe. l'initiateur de la page dit : " Pourquoi la base 10 plutôt que la base 12". La base 10 a été inventée par un homme des cavernes à qui vint l'idée d'évaluer l'importance de sa tribu (ou d'un troupeau). Il ouvrit ses deux mains, puis baissa un doigt pour chaque "individu" et quand il eut baissé tous les doigts, il mit une brindille devant lui et recommença. Tout ceci réduit beaucoup le complexe d'infériorité que j'éprouve vis-à-vis de vous tous, car je me sens beaucoup plus proche que vous de l'homme des cavernes. Si je lui avais demandé son résultat, il ne m'aurait parlé ni de nombres premiers, ni de diviseurs, il aurait seulement posé cinq brindilles devant moi et aurait levé trois doigts.
A cet homme-là, Pythagorre, Euler, Gauss, Poincarré et tutti quanti peuvent tirer leur chapeau.
D'autre part, je ne saisis pas pourquoi une étoile de mer ne pourrait pas compter le nombre d'huitres qu'elle a mangé. Il me semble que si j'étais une étoile de mer à six branches, je serais parfaitement capable, comme l'homme des cavernes, mais en base 6, de compter les coquilles vides.
Salut à tous.

yoshi · 23-10-2009 17:07:33

Salut nerosson,

Si on parle d'une réunion de 15 personnes, ça donnera quoi en numération de base PI ?

C'est très simple...

La base 10 utilise des chiffres pour écrire les nombres, tout comme la base 2, la base 6, etc...
La base 10 utilise 10 chiffres : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
La base 2 utilise 2 chiffres : {0,1}
La base 6 utilise 6 chiffres : {0,1,2,3,4,5}
D'accord là-dessus ?

Il y a à chaque fois un nombre entier de chiffres... D'accord ?
Donc simple question, ta base Pi comportera quel nombre de chiffres ?

@+

nerosson · 23-10-2009 17:30:51

Salut, Yoshi,
demande à Freddy : l'idée est de lui.

yoshi · 23-10-2009 18:19:20

Négatif !

Tu bottes en touche...
Tu vois bien que c'est impossible, Pi n'est pas un nombre entier.
Tu ne peux donc trouver une base Pi....
Si je dis : << J'écris un nombre en base n >> n est forcément un nombre entier...

Ensuite ce qu'a dit Fred n'est rien d'autre que cela :
Un nombre est ;
- soit entier naturel
- soit décimal
- soit rationnel pur
- soit "irrationnel".
Tu ne peux pas changer leur nature.
vingt-cinq reste un nombre entier et désigne toujours la même quantité à savoir

**********
**********
*****

que tu l'écrives :
en base 10 : 25, soit deux paquets de 10 + 5 unités
en base 2 : 11001, soit 1 paquet de 16 + 1 paquet de 8 + 0 paquet de 4 + 0 paquet de 2 + 1 unité toute seule
en base 6 : 41, soit 4 paquets de 6 + 1 unité toute seule

Même si tu peux en travestir certains à l'écriture 2 = 2,0 = 6/3 ou 1,5 = 3/2
et d'autres non : [tex]\sqrt 2[/tex] ne s'écrira jamais sous la forme d'un nombre ni rationnel pur, ni décimal, ni entier... C'est un "réel pur" et il le restera, il fait partie des nombres qu'on ne peut écrire sous forme d'une fraction, d'un quotient deux nombres entiers, ce qui est toujours possible pour n'importe quel nombre rationnel, pur ou pas...

Voilà un réel pur très simple : 1,101001000100001000001....
Il ne peut pas s'écrire comme le quotient de 2 entiers...
Par contre 1,234234234234... si !
C'est 1233/999 = 411/333 = 137/111...

Les réels purs (tes "irrationnels") n'ont pas d'écriture spécifique commune, on a inventé des symboles pour les représenter : [tex]\Pi,\;e,\;\phi,\;\sqrt x,\;\sqrt[3] x \cdots[/tex]

Donc un "irrationnel" reste un irrationnel, quelle que soit la base utilisée, il ne pourra jamais s'écrire comme un nombre entier...

@+

freddy · 23-10-2009 19:24:30

Salut à toutes et à tous,
salut à toi, camarade nerosson.

Je t'invite à prendre connaissance du lien ci dessous, et tu comprendras mieux pourquoi Pi est non seulement irrationnel (comme ton entêtement) mais aussi transcendant.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transcendant

Bonne et enrichissante lecture.

Dernière modification par freddy (23-10-2009 20:18:03)

nerosson · 24-10-2009 13:03:40

Salut, tous,
C'est plus fort que de jouer au bouchon : FREDDY (et non pas fred) émet une idée (numération de base PI) qui, semble-t-il, ne tient pas la route (c'est ce qu'il me semblait aussi, je l'ai d'ailleurs dit !) et voilà yoshi qui me tombe dessus comme la vérole sur le bas clergé !!! Et qui m' assène quelques évidences !
Et, en plus, voilà Freddy, qui devrait se faire tout petit, qui en rajoute, qui se renie joyeusement et qui parle de mon entêtement ! "Quand les bornes sont dépassées, il n'y a plus de limites" comme disait Pompidou.
Moi, pauvre malheureux, dans cette page, je n'ai fait qu'une chose : POSER UNE QUESTION ! Naïve, peut-être, mais sur ce site n'est-ce pas un peu mon rôle de jouer les Candide ?
Je sais du moins que la réponse est "non". C'était ce que je demandais et à quoi je m'attendais un peu .
Je vous aime bien "quand même", comme dit Freddy.

yoshi · 24-10-2009 13:36:50

Salut,

nerosson a écrit :

et voilà yoshi qui me tombe dessus comme la vérole sur le bas clergé !!! Et qui m' assène quelques évidences !

Franchement, tu pousses, j'ai fait un effort pour rester aussi simple et didactique que possible et voilà le retour...
ok ! Je fermerai ma grande g... la prochaine fois, ça évitera les courants d'airs consécutifs aux enfoncements de porte ouverte ! Comment veux-tu que je sache ce que tu sais ou pas ?

nerosson a écrit :

Question : En numération de base 10, le nombre PI s'exprime par un nombre irrationnel. Peut-on imaginer qu'il puise exister une numération d'une autre base où PI s'exprimerait par un nombre rationnel ?

Il fallait bien repartir :
- de ce qu'est une base de numération
- de la différence entre l'entité nombre et ses différentes écritures dans différentes bases
- de la particularité des "réels purs" par rapport aux nombres rationnels.

Ce qui suit ne s'adresse donc pas à nerosson (il est prié de détourner les yeux, merci !), mais à tout lecteur qui s'étonnerait qu'on puisse parler de nombre décimal dans une autre base que 10.
Donc quand j'ai écrit

[tex]\sqrt 2[/tex] ne s'écrira jamais sous la forme d'un nombre ni rationnel pur, ni décimal, ni entier...

cette phrase est valable quelle que soit la base de numération à condition de remplacer l'adjectif décimal, par "nombre à virgule, dont le nombre de chiffres après la virgule est fini", "décimal" étant d'un emploi réservé à la base 10...

@+

nerosson · 24-10-2009 13:46:51

RE, Yoshi,
l' unique point de départ de cette discussion un peu vive vient ce que tu m'attribuais une suggestion émise par Freddy (numération base PI). Ta réponse esquive soigneusement ce sujet.

yoshi · 24-10-2009 14:07:23

Re,

C'est qu'il insiste l'animal...
Je n'esquive rien !
En réponse à ta question, freddy te signale :

freddy a écrit :

Je propose d'exprimer Pi en base Pi, il serait donc = 1, mais ce serait les autres nombres qui auraient une drôle de tête.

Tu as répondu ensuite à Fred qui te faisait remarquer une confusion entre nombre et écriture d'un nombre :

nerosson a écrit :

Si on parle d'une réunion de 15 personnes, ça donnera quoi en numération de base PI ? Ne doit-on pas avoir là un nombre entier ? (bien sûr, on pourra m'opposer les femmes enceintes).

Ensuite moi, j'ai spécifié qu'une base de numération ne pouvait comporter qu'un nombre entierde chiffres et pensant que tu n'avais toujours pas la réponse à ta question, plutôt que de te la donner directement, je t'ai posé à mon tour une question :

yoshi a écrit :

Donc simple question, ta base Pi comportera quel nombre de chiffres ?

nerosson a écrit :

demande à Freddy : l'idée est de lui.

Qui ne répond pas ?
Je t'ai donc à nouveau répondu :

yoshi a écrit :

Négatif !
Tu bottes en touche...
Tu vois bien que c'est impossible, Pi n'est pas un nombre entier.
Tu ne peux donc trouver une base Pi....
Si je dis : << J'écris un nombre en base n >> n est forcément un nombre entier...

Négatif ! Bien sûr ! C'est à toi que j'avais posé la question, et pas à freddy, j'attendais que tu me donnes une réponse et non que tu bottes en touche avec avec "demande à freddy, l'idée de lui"
Bien sûr que l'idée est de lui, et il t'a posé la question pour que tu trouves toi-même la réponse à la tienne de question...
Je n'ai rien éludé du tout...
Même si la question/suggestion est de freddy, c'est bien à toi, devant cette interrogation (qui est de toi) : "Si on parle d'une réunion de 15 personnes, ça donnera quoi en numération de base PI" que j'ai demandé : "ta base Pi comportera quel nombre de chiffres ?...

@+

nerosson · 24-10-2009 15:46:34

Bonsoir, Yoshi,
L' "animal" persiste et signe (je ne me sens pas offensé par l'épithète : j'ai deux chiens et je suis prêt à adopter Freddy quand on voudra...J'aimerais le voir remuer la queue en me regardant).
Je maintiens que je n'ai pas à répondre touchant une idée exprimée par Freddy et qui, de surcroit, ne me plaisait pas. D'ailleurs, Freddy a écrit "Je propose d'écrire PI en base PI, il serait égal à 1". Or, dans une numération de base "n", "n" n'est jamais égal à 1. Donc, même si j'avais voulu te répondre (ce que je ne veux toujours pas faire parce que tu ne t'adresses pas à la bonne personne), qu'aurais-je pu répondre ?
Tu ne crois pas qu'on ferait mieux d'arrêter ? Ainsi, tu t'honorerais, puisqu'on dit "C'est le plus intelligent qui cède" (une primauté que je te concède volontiers).
Si c'était à refaire, je ne poserais pas la question. Ca m'apprendra.

yoshi · 24-10-2009 16:50:03

Re,

Je ne sais plus qui a écrit que "l'homme est un animal doué de raison"...

freddy a écrit :

e propose d'exprimer Pi en base Pi, il serait donc = 1

nerosson a écrit :

Freddy a écrit "Je propose d'écrire PI en base PI, il serait égal à 1". Or, dans une numération de base "n", "n" n'est jamais égal à 1.

Bien vu ! Je n'avais pas relevé, ce serait évidemment 10 et non 1...

@+

[EDIT]
http://www.devoir-de-philosophie.com/di … 07018.html

Dernière modification par yoshi (24-10-2009 20:20:02)

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#1 22-10-2009 17:25:57

expression rationnelle du nombre PI

#2 22-10-2009 18:06:02

Re : expression rationnelle du nombre PI

#3 22-10-2009 18:27:42

Re : expression rationnelle du nombre PI

#4 22-10-2009 18:42:46

Re : expression rationnelle du nombre PI

#5 22-10-2009 21:04:21

Re : expression rationnelle du nombre PI

#6 23-10-2009 16:49:55

Re : expression rationnelle du nombre PI

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Re : expression rationnelle du nombre PI

#8 23-10-2009 17:30:51

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#10 23-10-2009 19:24:30

Re : expression rationnelle du nombre PI

#11 24-10-2009 13:03:40

Re : expression rationnelle du nombre PI

#12 24-10-2009 13:36:50

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#13 24-10-2009 13:46:51

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#14 24-10-2009 14:07:23

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#16 24-10-2009 16:50:03

Re : expression rationnelle du nombre PI

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