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tibo

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Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

Bonjour,

c'est rare que je pose des questions dans cette rubrique mais là vraiment je vois pas comment faire.

Soit un triangle ABC
Soit I, J, K milieux respectifs des cotés opposés au sommets A, B et C.
Soit le point H tel que [tex]3*\vec{AH}=2*\vec{AI}[/tex]

Montrer que C H et I sont alignés

J'aimerais une démonstration sans passer par les médianes car ya d'autre question du même type ou ya pas d'astuce possible
Autrement dit, montrer que [tex]\vec{CH} \ et\ \vec{CK}[/tex] colinéaires

Dernière modification par tibo (18-10-2009 11:11:40)

freddy

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Re : Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

Salut,

H est bien entendu le barycentre G du triangle ABC vérifiant l'égalité vectorielle :

[tex] \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}= \vec 0 [/tex]

Du coup, on déduit l'alignement de C, H et K.

ça t'aide ?

Dernière modification par freddy (18-10-2009 11:34:41)

tibo

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Re : Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

Re

ha oui c'est vrai j'ai pas pensé aux barycentres

Le problème c'est que mon élève n'a pas encore vu les barycentres, mais c'est pas grave il suffit de les utiliser sans le dire.

merci

yoshi

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Re : Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

Salut tibo,

1. Tu as surement voulu dire : C, H, K alignés et non C, H, I...
2. Non, même pas de barycentre sans le dire...
Juste remarquer d'abord que l'égalité s'écrit aussi : [tex]\overrightarrow{AH}={2 \over 3}\overrightarrow{AI}[/tex]
[tex]\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{CA}+{2 \over 3}\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+{2 \over 3}\left({1 \over2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\right)=\overrightarrow{CA}+{1 \over 3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)[/tex]
[tex]\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+{1 \over 3}\overrightarrow{AB}+{1 \over 3}\overrightarrow{AC}={2 \over 3}\overrightarrow{CA}+{1 \over 3}\overrightarrow{AB}={2 \over 3}\left(\overrightarrow{CA}+{1 \over 2}\overrightarrow{AB}\right)[/tex]
[tex]\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{CA}+{1 \over 2}\overrightarrow{AB}[/tex]
Et il vient que [tex]\overrightarrow{CH}={2 \over 3}\overrightarrow{CK}[/tex]
CQFD

@+

tibo

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Re : Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

oui c'est ça
merci à tout les deux

freddy

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Re : Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

Salut,

quand je faisais référence au barycentre du triangle, il est clair que je faisais référence à toutes les manières de l'écrire (à partir de la définition vectorielle rappelée #2), et les pages #1 et #4 en donnent deux.

Supposant le niveau de Tibo (Maths Spé.), je ne pensais pas que je devais développer plus avant.

Comme quoi, pour une classe donnée, le niveau de connaissances a l'air de changer selon les promotions ...

Comme tu dis yoshi : "tout fout le camp ..."

Dernière modification par freddy (18-10-2009 18:44:06)

tibo

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Re : Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

Mais j'avais compris. Je me suis gouré dans les lettres c'est tout.

Yoshi va en perdre ses cheveux, mais "c'est vieux tout ça"...
(Je parle des barycentre, pas de yoshi)

Dernière modification par tibo (18-10-2009 18:49:30)

freddy

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Re : Vecteurs colinéaires dans le triangle [Résolu]

Il n'y a pas que yoshi qui perd ses cheveux ...

On ne peut pas dire "c'est vieux tout ça" et donner des cours de soutien à des élèves de lycée ...

Jeune étudiant, je m'étais spécialisé dans la préparation aux épreuves de maths du Bac C (je pouvais prendre plus cher de l'heure ...).
Il m'est arrivé de passer quelques heures sur de très subtiles questions aux problèmes que les profs posaient (inutile de dire que les sujets étaient d'un niveau supérieur à ceux du Bac).
Et je ne me voyais pas dire que j'avais oublié une propriété. Il faut bcp de persévérance et j'en avais à revendre.

Allez, bon courage.