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pokkiri23

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suite [Résolu]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas a résoudre cet exercice :

On définit deux suites numériques (Un) et (Vn) ou n [tex]\in [/tex] N, par  [tex]0\leq {a}_{0}\leq {b}_{0}[/tex]  et 
[tex]{a}_{n+1}=\,\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}[/tex] et  [tex]{b}_{n+1}=\,\sqrt{{a}_{n+1} (bn)}[/tex] .

Montrer que  [tex]0<{a}_{n}<{a}_{n+1}<{b}_{n+1}<{b}_{n}[/tex] ?

je pense peut être à la récurrence.

Merci beaucoup de votre aide.

Dernière modification par pokkiri23 (01-10-2009 20:13:22)

Fred

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Re : suite [Résolu]

Bonsoir Pokkiri,

  Tu as raison, cet exercice peut se traiter par une récurrence.
Beaucoup de choses sont faciles dans la récurrence, par exemple
démontrer que [tex]a_{n}\leq a_{n+1}[/tex] (simplement en utilisant
l'hypothèse de récurrence, à savoir [tex]a_n\leq b_n[/tex]
ou encore que [tex]b_{n+1}\leq b_n[/tex] (car [tex]a_{n+1}\leq b_n[/tex]).
L'inégalité difficile est celle du milieu. Je te conseille de d'abord prouver que :

[tex]b_{n+1}^2-a_{n+1}^2=\frac{b_n^2-a_n^2}{4}[/tex]

Fred.

pokkiri23

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Re : suite [Résolu]

Bonsoir Fred,

Merci de tes conseils, je retourne faire mon exercice.
Bonne soirée.

freddy

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Re : suite [Résolu]

Hello tutti,

"Pour l'honneur ..."

Supposons que [tex]a_n \le b_n[/tex] :

alors [tex]a_n+ b_n \le 2b_n[/tex] donc [tex]a_{n+1} \le b_n[/tex]. Et puisque c'est vrai pour n = 0, c'est donc vrai pour tout n entier naturel.

De la même manière, on établit que [tex]2a_n \le a_n+ b_n[/tex] et donc [tex]a_n \le  a_{n+1}[/tex].

Ensuite, on peut écrire [tex]b_{n+1}^2 = a_{n+1}\times b_n \le b_n^2[/tex]

Comme les suites réelles sont positives, alors  [tex]b_{n+1}  \le b_n[/tex].

Comme le suggère Fred, calculons  [tex]b_{n+1}^2 - a_{n+1}^2 =a_{n+1}\times b_n - a_{n+1}^2 = a_{n+1}\times (b_n - a_{n+1}) = \frac{a_n+b_n}{2}\times \frac{b_n-a_n}{2}=\frac{b_n^2-a_n^2}{4}[/tex]

Conclusion : [tex]a_{n+1} \le b_{n+1}[/tex]

et plus généralement : [tex]0 \le a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1}\le b_n[/tex]

On notera au passage que les deux suites sont convergentes (l'une croissante et majorée par l'autre, décroissante et minorée par la première) et partagent donc la même limite L (le dernier calcul montre que leur distance se réduit jusqu'à la valeur nulle).

Bb

Dernière modification par freddy (14-10-2009 10:41:51)