équation aide

Golgup · 09-10-2009 19:42:45

Bonjour,

Dans un exercice il est demander de prouver que [tex]\forall A\,\in {\mathbb{N}}^{\times }\,:\,\left(A,r\right)\left({B}_{x}-1\right)=r\left(x-1\right)[/tex] ou [tex]\left(A,r)\right)[/tex] désigne le PGCD de [tex]A[/tex] et [tex]r[/tex] puis ou [tex]r[/tex] est tel que [tex]{a}^{r}\equiv 1\left(mod\,n\right)\,pour\,n'importe\,quel\,n[/tex] [tex]et\,{B}_{x}\,est\,la\,x\,eme\,solution\,de\,l"équation\,{a}^{A}\equiv {a}^{AB}\left(mod\,n\right)\,pour\,A,\,a\,et\,n\,posés[/tex]és

Merci de l'aide a+

Dernière modification par Golgup (09-10-2009 19:43:21)

freddy · 09-10-2009 23:24:03

Salut Holdup,

il vient d'où et appartient à qui, le B ?

...

Golgup · 09-10-2009 23:29:54

Hi,

Le B est juste la solution à l"équation a^(A)=a^(AB)[n] il appartient a N

freddy · 09-10-2009 23:33:24

Re,

Et il vient d'où le a et il appartient à qui ?

...

Golgup · 09-10-2009 23:48:47

Le a est simplement la base prenons par exemple a=2

Golgup · 10-10-2009 07:51:16

Re,

Exemple:

On pose [tex]a[/tex] =5 et [tex]A[/tex] =322 puis [tex]n[/tex] =1234 (tous trois pris au hasard)

il en résulte [tex]r[/tex] =616

Maintenant, trouvons B tel que [tex]{5}^{322}={5}^{322B}\left(mod\,1234\right)[/tex]

Il existe plusieurs solutions avec:
[tex]{B}_{1}=1[/tex] (trivial)
[tex]{B}_{2}=45[/tex]
[tex]{B}_{3}=89[/tex]
[tex]{B}_{4}=133[/tex]
etc...
On prend cette derniere et on remplace par l'équation à prouver:
[tex]\left(A,r\right)\left({B}_{x}-1\right)=r\left(x-1\right)[/tex]

donc

[tex]\left(322;616\right)\left({B}_{4}-1\right)=616\left(4-1\right)[/tex]

[tex]14\times 132=616\times 3[/tex]

Il me faut prouver cette equa dans ces posées conditions..

Thank

Golgup · 10-10-2009 10:08:54

Re,

Et voilà ce que j'ai fais:
1) on a pour tout [tex]k[/tex] entier, [tex]{a}^{A}\equiv {a}^{A+rk}\left(mod\,n\right)[/tex]

et puisque si [tex]{a}^{A}={a}^{AB}\left(mod\,n\right)[/tex] , alors [tex]{a}^{A}\equiv {a}^{{A}_{1}+{A}_{2}+{A}_{3}+...{A}_{B}}\left(mod\,n\right)[/tex] . Si on pose [tex]T={A}_{2}+{A}_{3}+{A}_{4}+...{A}_{B}=A\left(B-1\right)[/tex] alors [tex]{a}^{A}\equiv {a}^{A+T}\left(mod\,n\right)[/tex] et d'après 1) ceci implique [tex]T=rk[/tex] et par voie de conséquence ; ) yoshi) [tex]A\left(B-1\right)=rk[/tex].Je sens bien qu'il y une histoire de pgcd là.. mais après.. ?

+

Dernière modification par Golgup (10-10-2009 10:10:49)

yoshi · 10-10-2009 10:40:53

Salut,

Je ne vois pas ce que je viens faire là-dedans ??? Mais, puisque tu m'interpelles...
Réflexion personnelle, et donc ça n'engage que moi : j'ai rarement un énoncé aussi merdique, où on pose le problème d'abord en explicitant les variables, après au fur et à mesure (ajoute encore à cela le mélange Majuscules/minuscules...) ; un coup à filer la migraine à qui le lit.
Les réactions de freddy ne trompent pas.

Un point de détail :
Pas d'accord avec :
[tex]AB =A_1 + A_2 +\cdots\+A_B[/tex]
Pour moi :
[tex]A\times B = \underbrace{A + A + A +....+A}_{B\;termes\; A}[/tex] (1)
D'autre part, si (avec [tex]a,h,k,n\;\in\,\mathbb{N}^*[/tex]) :
[tex]a^{hk}\equiv a^h\;\;(n)[/tex] alors [tex]a^{hk}-a^h=a^h(a^k-1)\equiv 0\,\;(n)[/tex]
J'ai donc deux voies de recherche :
[tex]a^h\equiv 0\;\;(n)[/tex] a^h est donc un multiple de n,
[tex]a^k - 1\equiv 0\;\;(n)\Leftrightarrow a^k\equiv 1\;\;(n)[/tex] a^k est multiple de n + 1.

Ce qui ne m'avance pas plus (parce que ton énoncé me donne des boutons et que je me demande s'il est niveau TS) et toi non plus (probablement) hélas...
Pour toutes ces raisons, mon cerveau rechigne à en faire plus : j'ai probablement atteint mes limites...

Restent Fred, freddy et tout autre visiteur un peu plus pointu que moi !

@+

[EDIT] (1) Je vois que ça revient au même

freddy · 10-10-2009 11:37:56

Golgup a écrit :

Bonjour,
Dans un exercice il est demandé de prouver que :
[tex]\forall A\,\in {\mathbb{N}}^*\,:\,\left(A,r\right)\left({B}_{p}-1\right)=r\left(p-1\right)[/tex]
où
[tex]\left(A,r\right)[/tex] est le PGCD de A et r ;
r est tel que : [tex]a^r\equiv 1\left(mod\,n\right)[/tex] pour n'importe quel n entier non nul ;
et [tex]B_p[/tex] est la p eme solution de l'équation [tex]a^A\equiv a^{AB}\left(mod\,n\right)[/tex] pour A, a et n entiers donnés.
Merci de l'aide a+

Salut,

j'ai essayé de nettoyer le code, transformé x (qui désigne souvent un réel) en p, qui désigne plutôt un entier et aventure une idée.

Ne chercherais tu pas à prouver l'expression générale d'une formule à partir d'un ou qques exemples qui marchent ?
Ne serais tu pas un thésard (Ph D) ?
Pour t'aider, si tant est qu'on en ait le temps, je pense que tu devrais être plus explicite et précis sur ce que tu cherches à prouver.

A te lire.

Fred · 10-10-2009 20:13:22

Salut

Ecrire [tex]a^r\equiv 1\ (mod\ n)[/tex] pour tout entier n n'a pas de sens.
Si n est très grand, [tex]a^r[/tex] ne sera jamais congru à 1 modulo n...

Fred.

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#1 09-10-2009 19:42:45

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