Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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Hello,

en me baladant sur la toile, j'ai découvert une petite pépite que je vous livre sans plus attendre.

Deux amis, statisticiens émérites, jouaient une partie d'un jeu qu'ils avaient mis au point pour échapper à la répression des fraudes.

Il s'agit de lancer un dé. Si un nombre pair sort, le premier A1 marque un point. sinon c'est A2. Le premier qui a atteint un total de point égal à T remporte les mises de départ. L'astuce consiste à transformer la valeur des mises en unités de valeur dont l'équivalence en dollar australien n'est connue que d'eux.

Le pot était composé ce jour là de 102.40 unités de valeur. Après 16 lancers, ils durent cesser de jouer. ls se répartirent le pot de telle sorte que A1 récupéra 72,65 unités de valeur. Il faut dire que ce dernier avait deux points d'avance sur son ami.

Quel principe ont ils utilisé et quelle était la valeur de T ?

Bon courage !

Dernière modification par freddy (23-09-2009 08:25:10)

nerosson

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Re : Retour à la source ...

Hugh, Freddy,
Contrairement au chef indien, il me semble avoir compris et retenu le début jusqu'au mot « départ ».
Mais après, ton langage de Golden Boy, c'est du grec pour moi.
Je déclare forfait.
Désolé.

freddy

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Re : Retour à la source ...

Hugh,

il faut ne pas trop accorder d'importance au dollar australien, mais se concentrer sur le reste du pb. Du moins, c'est mon humble avis.

(...)

freddy

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Re : Retour à la source ...

Bonsoir,

ce problème est basé sur la première incursion faite par Pascal en matière de probabilité. On se souvient qu'il a dû proposer à des amis comment répartir un "pot" lors d'une partie de tric trac interrompue. Pascal proposa de répartir les gains en fonction des probas respectives de gagner la partie (intrduction à la notion d'espérance mathématique).

En appelant Pierre celui qui marque un point chaque fois qu'un nombre pair sort, et Ignace l'autre, ce dernier eut droit à 29,05 % du pot.

Raisonnons de manière simple. Supposons que le nombre T soit égal à 10. On sait que Pierre a 9 points et Ignace 7. Pour qu'Ignace gagne, il faut qu'il gagne les trois lancers suivants. Puisque le dé est parfaitement équilibré, la proba. associée est égale à (1/2)**3, soit 12,5 %, inférieure à 29,05 %. Donc T est plus grand que 10.

Continuons de manière didactique et supposons que T = 11. Pour gagner, Ignace doit marquer 4 points et Pierre peut marquer 1 point au maximum. Donc le nombre de lancers conduisant à la fin de la partie est égal à 5.
Quelle est la probabilité qu'Ignace gagne ? Il faut convoquer la loi binomiale négative, de paramètres 5 essais, 4 succès (dont le dernier est le quatrième) et de proba p=1/2 pour y répondre. On trouve à nouveau 12,5 %.

De la même manière, il faut trouver combien vaut T en déterminant le nombre de tirage maximal ...

freddy

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Re : Retour à la source ...

Bonjour,

(suite et fin)

En généralisant, on voit bien apparaître le fait  pour que Ignace gagne, il faut

- qu'il marque p points, avec p = T - 7

ET

- que François ne gagne pas, c'est à dire que François a le droit de marquer au maximum q = T - 9 - 1 points

ET

- que le dernier tirage soit favorable à Ignace.

Les "spécialistes" auront identifié une loi binômiale négative dont les paramètres sont les suivants :
le nombre maximal de lancer de dés est égal à n = p + q = 2T - 17
et la probabilité de marquer un point = 50 %.

Par itérations successives, on cherche T tel que :

[tex] \sum_{k=0}^{q}\binom{p+k-1}{p-1}\times (\frac{1}{2})^{p+k}= 29,05\, \%[/tex]

qui est la somme des événements suivants : Ignace marque p points et François

- n'en marque pas,

- ou bien 1 seulement,

- ou bien seulement 2,

... ou bien q.

Ce qu'il faut bien voir est que Ignace et François marquent chacun (p-1) et q points dans un ordre quelconque, le dernier tirage étant en faveur de Ignace.

Sauf erreur, on trouve T = 15.

Salutations à Ph. F

Dernière modification par freddy (02-10-2009 11:41:42)