Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pokkiri23

Membre

Inscription : 11-09-2009

Messages : 48

fonction bijective

Bonjour à tous,

J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre. Merci d'avance de votre aide.
Voici l'énoncé :Soit f l'application de R vers  [tex]]-1;1[[/tex] définie par  [tex]\forall x\in R[/tex]
f(x)=  [tex]\frac{x}{1+\left|x\right|}[/tex] .
Montrer que f est une bijection et déterminer sa réciproque.

Voila mon raisonnement : on montre que f est surjective avec un antécédant unique donc on résoult y=f(x). Puis on étudie 2 cas: lorsque x est positif et lorque x est négatif.
Qu'en pensez vous?
Merci

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : fonction bijective

Salut,

je m'y serais pris autrement.

Tout d'abord, on voit bien que f(-x) = -f(x) => donc graphe symétrique par rapport à l'origine => restriction de l'étude sur R+.

Ensuite, considérons deux réels x et y tels que :

[tex] y > x \ge 0[/tex]

on a

[tex] f(y)-f(x) = \frac{y(1+x) - x(1+y)}{(1+x)(1+y)} = \frac{y-x}{(1+x)(1+y)} > 0 [/tex]

Donc la fonction est strictement monotone croissante sur R+ => elle est bijective. Par symétrie, elle est aussi bijective sur R-. Elle est donc bijective de R sur son F(R)= ]-1, +1[. Elle admet une fonction réciproque g telle que :

[tex] \forall x \in \R\,,\, g(f(x)) = x [/tex]

Je te laisse déterminer avec rigueur la réciproque définie sur ]-1, 1[.

Tu devrais trouver qque chose du genre :
[tex]g(y)= \frac{y}{1-|y|} \,\,\, \forall y \in ]-1, 1[[/tex]

Dernière modification par freddy (24-09-2009 09:57:34)

pokkiri23

Membre

Inscription : 11-09-2009

Messages : 48

Re : fonction bijective

merci de ton aide. je retourne faire l'exo. A++