exo diffice de combinaison [Résolu]

pokkiri23 · 13-09-2009 11:57:25

Salut a tous les forumeurs,

Bon voila un dernier exo sur les combinaisons un peu plus dur que les autres.

Voici l'énoncé :

Calculer [tex]\sum^{n}_{k=0}{k}^{2}\binom{n}{k}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,on\,pourra\,poser\,{k}^{2}=\,k\left(k-1\right)+k[/tex]

Dans cet exercice je ne sais par où commencer :

Si je commence par [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)+k\,\binom{n}{k}[/tex]

après on a [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)+k\left(\frac{n!}{k!\left(n-k)\right)!}\right)[/tex]

2eme méthode : on coupe la somme en deux [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)\binom{n}{k}+\sum^{n}_{k=0}k\binom{n}{k}\,[/tex]

et comme [tex]k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}[/tex]

on a donc [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)\binom{n}{k}+\sum^{n}_{k=0}n\binom{n-1}{k-1}[/tex]

Mais après je suis bloqué, je ne sais pas comment avancé et par où commencer. Merci de votre aide. Cordialement

yoshi · 13-09-2009 12:33:56

Bonjour,

Je vais voir ça...
Cela dit, pour moi, il manque des parenthèses, j'écrirais plutôt :
[tex]\sum_{k=0}^n\big(k(k-1)+k\big)\,\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0} k(k-1)\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^n k\,\binom{n}{k}[/tex]

Seule l'écriture de ce que tu appelles ta "2e méthode" est cohérente.

@+

hpmhvq · 13-09-2009 13:25:13

Je propose:

[tex]\sum^{n}_{k=0}k²\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k²\,\,+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)+k\,+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\times \sum^{n}_{k=0}\left(k-1\right)\,+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\times[/tex][tex]\frac{k\left(k+1\right)-2k}{2}[/tex][tex]+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{\left(k²+k\right)\left(k²-k\right)}{2}+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}[/tex][tex]=\frac{{2}^{n+1}\left(k²+k\right)\left(k²-k\right)}{2}[/tex]

aurevoir

pokkiri23 · 13-09-2009 14:00:36

bonjour

Merci de votre réponse,

Cependant pouvez vous s'il vous plaît m'expliquer ces étape :

[tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)+k\,+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\times \sum^{n}_{k=0}\left(k-1\right)\,+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\times[/tex][tex]\frac{k\left(k+1\right)-2k}{2}[/tex][tex]+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}[/tex]

Je ne comprends pas ce que devient le "+k" entre la 1ere étape et la 2eme. De plus Je ne comprends pas le [tex]\frac{k\left(k+1)-2k\right)}{2}[/tex] .

Merci de votre explication.

hpmhvq · 13-09-2009 14:26:34

Re,

NON! je ne sait pas pourquoi, j'ais confondu n avec k, malheur! je recommence tout:

[tex]\sum^{n}_{k=0}k²\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k²\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\times k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{2}[/tex] [tex]\times \sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}[/tex] [tex]\frac{{2}^{n}{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{4}[/tex]

Je crois que c'est bon

Dernière modification par hpmhvq (13-09-2009 14:49:32)

thadrien · 13-09-2009 14:27:46

Euh....... ça m'a pas l'air tout à fait juste. Surtout que le k est sensé disparaitre du résultat final.

Je te donne quelques pistes pour te débloquer :

1) A partir de quel valeur de k les termes de ta somme sont non nuls ? Ca peut éviter des problèmes de signe ultérieurs.

2) La formule que tu cites est applicable à la première des deux sommes, et même deux fois de suite.

3) Ensuite, je te laisse continuer...

pokkiri23 · 13-09-2009 14:33:14

ok pour moi aussi c'est bon. Cependant juste une question : dans l'enoncé le "on pourra poser k²=k(k-1)+k" ne sert donc à rien? Merci

pokkiri23 · 13-09-2009 14:44:14

hpmhvq a écrit :

Re,
NON! je ne sait pas pourquoi, j'ais confondu n avec k, malheur! je recommence tout:

[tex]\sum^{n}_{k=0}k²\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k²\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\times k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{2}[/tex] [tex]\times \sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{2}^{n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{2}[/tex]
Je crois que c'est bon

Re

Ne pense pas que c'est plutôt cela?? :

[tex]\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{4}\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}[/tex]

Merci

hpmhvq · 13-09-2009 14:52:02

Oui désolé je l'ai corrigé dans #5

pokkiri23 · 13-09-2009 14:52:41

ok merci j'avais pas. Encore une fois merci.

hpmhvq · 13-09-2009 15:06:44

Non il y a erreur, je vais revoir, navré

pokkiri23 · 13-09-2009 15:12:25

Pour moi le résultat est bien [tex]\frac{{2}^{n}\times \left(n{\left(n+1\right)}^{2}\right)}{4}[/tex]. A voir...

hpmhvq · 13-09-2009 15:20:04

Non il est de [tex]\frac{{2}^{n}\times n\left(n+1\right)}{4}[/tex] mais je bloc aussi à un endroit..

Dernière modification par hpmhvq (13-09-2009 15:21:47)

pokkiri23 · 13-09-2009 15:41:06

ok je cherche aussi de mon coté alors .

pokkiri23 · 13-09-2009 16:21:14

Pour moi
[tex]\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{4}\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}[/tex]

car [tex]\sum^{n}_{k=0}k\ =\,\frac{n\left(n+1\right)}{2}[/tex]

d'ou le résultat [tex]\frac{{2}^{n}{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{4}[/tex].

C'est donc à vérifier. Merci de votre aide. Cordialement

hpmhvq · 13-09-2009 16:33:09

Par quels liens la compréhension est t-elle liée à la logique?

Tu ne peux pas séparer le carré du coeff binomial.. c'est une fonction..

Je travail dessus.
a plus tard

pokkiri23 · 13-09-2009 17:18:15

d'accord moi aussi. A plus tard

freddy · 13-09-2009 19:08:27

Salut,

je mets mes pieds dans ceux de Yoshi :

yoshi a écrit :

[tex]\sum_{k=0}^n\big(k(k-1)+k\big)\,\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0} k(k-1)\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^n k\,\binom{n}{k}[/tex]
[tex]=\, n(n-1)\sum^{n-2}_{k=0} \binom{n-2}{k-2}+n\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}[/tex]

et voilà, je te laisse finir !

pokkiri23 · 13-09-2009 19:21:55

Salut,

Merci pour ta réponse, mais je ne comprend pas comment tu passes de :

[tex]\sum^{n}_{k=0} k(k-1)\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^n k\,\binom{n}{k}[/tex]

à

[tex]=\, n(n-1)\sum^{n-2}_{k=0} \binom{n-2}{k-2}+n\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}[/tex]

Merci de votre aide.

freddy · 13-09-2009 20:18:08

Re,

yoshi t'a déjà montré l'astuce dans une de tes précédentes questions.

Tu es en quelle classe dans ton brillant lycée parisien ?

(...)

Dernière modification par freddy (13-09-2009 20:18:01)

pokkiri23 · 13-09-2009 20:28:36

D'accord je vais voir sa alors. Je suis en Terminale S dans un lycée de Paris mais c'est plutôt le prof qui est assez dur : il a dit qu'il ne fait pas le programme de Terminale mais celui de prépa. La moyenne de la classe au premier Ds était de 1.5.

freddy · 13-09-2009 20:33:06

Quelle est ta spé ?

De toute façon, ton prof a pour consigne de secouer les branches pour que les fruits les plus solides restent. Question de taux de réussite au bac. Donc accroche toi, ça va se calmer.

Dernière modification par freddy (13-09-2009 20:36:00)

pokkiri23 · 13-09-2009 20:41:28

Je suis en spé maths. Merci beaucoup pour tes conseils. Je sais très bien qu'il faut persévérer pour réussir. C'est comme dans la boxe : il faut savoir prendre des coups =). En tout cas, je pense que ce forum doit aider de nombreuses personnes à progresser! Merci

pokkiri23 · 13-09-2009 21:54:57

Re,

J'ai revue l'astuce de yoshi mais je ne vois pas comment l'appliquer ici. Donc je ne comprends toujours pas comment on passe de [tex]\sum^{n}_{k=0} k(k-1)\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^n k\,\binom{n}{k}[/tex]

à

[tex]=\, n(n-1)\sum^{n-2}_{k=0} \binom{n-2}{k-2}+n\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}[/tex].

Merci de votre aide.
Cordialement.

Dernière modification par pokkiri23 (13-09-2009 21:54:53)

freddy · 14-09-2009 00:15:00

pokkiri23 a écrit :

Re,
J'ai revue l'astuce de yoshi mais je ne vois pas comment l'appliquer ici. Donc je ne comprends toujours pas comment on passe de [tex]\sum^{n}_{k=0} k(k-1)\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^n k\,\binom{n}{k}[/tex]
à
[tex]=\, n(n-1)\sum^{n-2}_{k=0} \binom{n-2}{k-2}+n\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}[/tex].
Merci de votre aide.
Cordialement.

Re,

[tex]\sum^{n}_{k=0} k(k-1)\frac{n!}{k!(n-k)!}+\sum_{k=0}^n k\,\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]

[tex]=\,n(n-1)\sum^{n-2}_{k=0}\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}+n\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[/tex]

Ça va ?

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