somme de combinaisons [Résolu]

pokkiri23 · 12-09-2009 22:21:51

Salut je sais qu'il est un peu tard.. (il n'y a pas d'heure pour faire des maths =) )

donc voila un dernier exo pour aujourd'hui :

Calculer : n appartient N\ {0}(entier naturel privé de zéro)

SN = [tex]\sum^{p}_{k=o}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k}[/tex]

Voici mon raisonnement :

on sait que : [tex]\sum^{p}_{k=o}\binom{n}{k}[/tex] = [tex]{\left(1+1\right)}^{n}=\,{2}^{n}[/tex]

De même : [tex]\sum^{p}_{k=0}\binom{n-k}{p-k}\,=\,{\left(1+1\right)}^{n-k}=\,{2}^{n-k}[/tex]

Donc Sn = [tex]{2}^{n\,}\times \,{2}^{n-k}[/tex]

Je ne sais pas si c'est bon. Merci de votre aide et Bonne nuit !!!

Dernière modification par pokkiri23 (12-09-2009 22:28:44)

freddy · 13-09-2009 09:46:26

Bon matin !

Je corrige ton erreur, tu n'as pas vu que les deux combinaisons étaient liées par l'indice k.

pokkiri23 a écrit :

Calculer : n appartient N\ {0}(entier naturel privé de zéro)
[tex]S_{n,p} = \sum^{p}_{k=0}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k}[/tex]

non, tu n'as pas le droit de séparer les deux combinaisons car elles sont liées !

Voici mon raisonnement :

[tex]S_{n,p} = \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{(p-k)!(n-p)!}[/tex]

[tex]S_{n,p} = \binom{n}{p}\sum^{p}_{k=0}\binom{p}{k}[/tex]

Je te laisse finir ...

yoshi · 13-09-2009 09:50:47

Bonjour,

Ca, ça me chiffonne :

pokkiri23 a écrit :

on sait que : [tex]\sum^{p}_{k=o}\binom{n}{k}={\left(1+1\right)}^{n}=\,{2}^{n}[/tex]

En effet si n = 5 et p = 1, j'ai :
[tex]\sum^{1}_{k=o}\binom{5}{k}=\binom{5}{0}+\binom{5}{1}=1+5=6[/tex]
Et toi tu trouverais 2^5=32...

@+

[EDIT] grillé par freddy

freddy · 13-09-2009 09:54:27

Re,

je te rejoins yoshi, et j'ai envie de dire, comme toi, que

"Science sans conscience n'est que ruine de l'âne"

...

yoshi · 13-09-2009 09:57:28

Ah ! Ah !

Pauvre Boronali...

@+

pokkiri23 · 13-09-2009 10:13:24

Bonjour

Je ne comprends pas comment vous passez de la 1ere ligne :

[tex]S_{n,p} = \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{(p-k)!(n-p)!}[/tex]

à la deuxième ligne :

[tex]S_{n,p} = \binom{n}{p}\sum^{p}_{k=0}\binom{p}{k}[/tex]

Merci de votre explication

En ce qui concerne la remarque de yoshi, j'ai confondu avec [tex]\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}={\left(1+1\right)}^{n}={2}^{n}[/tex]
Merci quand même d'avoir fait la remarque. Cela me permet de comprendre mes fautes.

yoshi · 13-09-2009 10:27:53

Salut,

Sauf erreur :
[tex]S_{n,p} = \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{k!(n-k)!}\times\frac{(n-k)!}{(p-k)!(n-p)!}= \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{(n-p)!}\times\frac{1}{k!(p-k)!}[/tex]

Il me manque p!, que je rajoute en bas dans la 1ere fraction, et bien sûr en haut dans la seconde, d'où :
[tex]S_{n,p} = \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{(n-p)!}\times\frac{1}{k!(p-k)!}= \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{p!(n-p)!}\times\frac{p!}{k!(p-k)!}[/tex]

Soit :
[tex]S_{n,p} = \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{p!(n-p)!}\times\frac{p!}{k!(p-k)!}=\sum_{k=0}^p\binom{n}{p}\times\binom{p}{k}[/tex]

et
[tex]S_{n,p} =\binom{n}{p}\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}[/tex]

@+

pokkiri23 · 13-09-2009 10:42:03

Merci beaucoup yoshi, j'ai compris. Vous êtes vraiment formidables toi et freddy!!

yoshi · 13-09-2009 10:48:02

Bah,

Tout le mérite revient à l'auteur-compositeur... Moi je n'ai fait qu'"expanser" son raccourci !

+

pokkiri23 · 13-09-2009 10:55:08

Re

Donc pour finir

on a [tex]\sum^{p}_{k=0}\binom{p}{k}=\,{2}^{n}[/tex]

Donc Sn = [tex]{2}^{n}\binom{n}{p}[/tex]

Est ce bon? Merci de votre aide

yoshi · 13-09-2009 10:58:31

Heu....

Ce ne serait pas plutôt :

on a [tex]\sum^{p}_{k=0}\binom{p}{k}=\,{2}^{p}[/tex] ...

Tu ne crois pas ?

@+

pokkiri23 · 13-09-2009 11:07:25

oui désolé. c'est mon problème : je suis trop fixé sur mon cours. Je devrai me détacher un peu de celui-ci. Désolé pour l'erreur.Merci

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#1 12-09-2009 22:21:51

somme de combinaisons [Résolu]

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