Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

pokkiri23 · 12-09-2009 17:01:52

Bonjour

Donc voila comme promis un nouvel exo:

Calculer Sn : [tex]\sum^{}_{}{\left(i-j\right)}^{2\,}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i\,et\,j\,appartiennent\,\left[\left\|1\,;\,n\right\|\right][/tex]

Donc voilà ce que j'ai trouvé :

En utilisant le binôme de Newton on a [tex]{\left(i-j)\right)}^{2}=\sum^{}_{}\binom{2}{k}{i}^{2-k}{j}^{k}[/tex]

D'ou [tex]{\left(i-j)\right)}^{2\,}=\,\binom{2}{1}ij\,+\,\binom{2}{2}{j}^{2}[/tex]

donc : [tex]{\left(i-j\right)}^{2}=\,2ij+{j}^{2}[/tex]

et enfin on a donc :
[tex]Sn\,=\,\sum^{}_{}\left(2ij+{j}^{2}\right)[/tex]

Voila mais je ne sais pas si c'est bon. Merci de votre aide
Cordialement

freddy · 12-09-2009 17:39:56

Salut,

je reprends ton code et modifie ce qu'il faut :

Calculons : [tex]S_n = \sum^{i = n}_{i = 1}\sum^{j = n}_{j = 1}(i-j)^2[/tex]

On a : [tex](i-j)^2=i^2 +j^2-2ij[/tex]

et [tex]\sum^{n}_{q = 1}\,\big(\sum^{n}_{p = 1}p^2\big) = n\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Il faut bien faire attention à ça : on somme n fois une constante ...

Donc [tex]S_n =2\times \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6}- 2\times \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

soit [tex]S_n =n^2(n+1)\times (\frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2})[/tex]

[tex]S_n =\frac{n^2(n^2-1)}{6}[/tex]

Dernière modification par freddy (14-09-2009 00:19:22)

pokkiri23 · 12-09-2009 18:33:57

Re

ok merci je vais refaire l'exo pour voir si j'ai compris.

Dernière modification par pokkiri23 (12-09-2009 19:18:14)

pokkiri23 · 12-09-2009 19:25:27

Re

il y a juste une chose que je ne comprends

comment [tex]ij\,=\,\frac{{n}^{2}{\left(n+1\right)}^{2}}{4}[/tex]

car dans mon cours il y a [tex]ij\,=\,\frac{{n}^{2}{\left(n+1\right)}^{2}}{4}[/tex] [tex]=\,\sum^{n}_{k=1}{k}^{3}[/tex]

Merci de ton explication

freddy · 12-09-2009 19:48:40

pokkiri23 a écrit :

Re
il y a juste une chose que je ne comprends
comment [tex]ij\,=\,\frac{{n}^{2}{\left(n+1\right)}^{2}}{4}[/tex]
car dans mon cours il y a [tex]ij\,=\,\frac{{n}^{2}{\left(n+1\right)}^{2}}{4}[/tex] [tex]=\,\sum^{n}_{k=1}{k}^{3}[/tex]
Merci de ton explication

il faut lire [tex]\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\,ij\,=\sum_{i=1}^n i\,\sum_{j=1}^n\,j\, = \,\frac{{n}^{2}{\left(n+1\right)}^{2}}{4}[/tex]

pokkiri23 · 12-09-2009 20:30:10

ok merci j'ai compris.

pokkiri23 · 13-09-2009 22:26:16

Bonjour , Jai refait l'exo et je me suis aperçu de quelque chose :

pour n=2, la somme donne (1-1)²+(1-2)²+(2-1)²+(2-2)² = 2 alors que [tex]S_n =-\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{6}[/tex] pour n=2 donne -8.

De plus on obtient un résultat manifestement négatif, pour une somme de carrés : ce n'est donc pas possible.
Pouvez m'expliquer cette incohérence s'il vous plaît. Merci et bonne soirée.

Dernière modification par pokkiri23 (13-09-2009 22:37:10)

freddy · 13-09-2009 23:35:17

Salut,

exact, j'ai corrigé, voir plus haut #2.

J'ai honte, et pourtant j'avais bien vu le signe ...

Oublions vite, ciao !

Dernière modification par freddy (14-09-2009 00:16:52)

pokkiri23 · 14-09-2009 06:06:04

Bonjour,

Ce n'est pas grave, cela arrive à tout le monde de faire des erreurs. Merci pour la correction.A+

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#1 12-09-2009 17:01:52

Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

#2 12-09-2009 17:39:56

Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

#3 12-09-2009 18:33:57

Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

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Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

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Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

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Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

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Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

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Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

#9 14-09-2009 06:06:04

Re : Combinaisons : calcul du Somme [Résolu]

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