combinaison [Résolu]

pokkiri23 · 11-09-2009 17:14:54

Bonjour , je n'arrive pas à résoudre cette équation. Merci de votre aide.
[tex]\sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}[/tex]

yoshi · 11-09-2009 17:21:22

Bonjour pokkiri,

Quelle équation ?

@+

thadrien · 11-09-2009 17:38:02

yoshi a écrit :

Quelle équation ?

Celle-là, mais TeX est en rade : \sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}.

pokkiri23 · 11-09-2009 17:38:32

Bonjour j'ai utilisé l'editeur d'équation mais il ne marche pas.

somme (k) n!/k!(n-k)! (2k-1). La somme va de k=1 à n. Le C remplace les parenthèses du symbole combinaison.
Merci

pokkiri23 · 11-09-2009 17:40:46

désolé j'ai fait une faute de frappe. à la fin c'est 2^k-1. La question est de calculer cette somme. Merci beaucoup de votre aide.

yoshi · 11-09-2009 18:03:45

Salut,

C'est pas Latex qui est en rade, ni l'Editeur d'équation de Fred, mais le serveur extérieur à qui s'adresse Bibm@th pour traduire les formules en jolies images.
Fred est averti, il va régler ça, mais pas avant demain ou après-demain : il n'est pas là pour l'instant. On ne peut que subir en attendant...
Donc qq ch comme ça... ?

 _n_    n    (k - 1)

\   k  C    2^

/__     k

k=1

Mais qui dit équation, dit signe égal pour avoir deux membres... Là, je n'en vois pas.
Donc où placer le égal ?

@+

PS Je n'avais pas vu ton rectificatif... n (k -1)
Donc, il ne s'agit d'une équation, mais de calculer la somme des produits : k.C * 2^
k
C'est ça ?

freddy · 11-09-2009 18:06:49

Salut,

en général, dans ce type deproblématique, on ne s'aventure pas à calculer la somme comme un "bourrin", mais on se souvent du développement de (a+b)^n par exemple.

On a (a+b)^n = somme (k=0 à n) de c(n,k)*a^(n-k)*b^(k).

Par comparaison avec la demande initiale, on voit ce qu'il faut enlever ou ajouter et le calcul est terminé.

Bon courage.

pokkiri23 · 11-09-2009 18:23:11

Salut

Il s'agit de calculer la somme ( de k=a à n) de (k)* (k parmi n) * 2^k-1. Merci

pokkiri23 · 11-09-2009 18:55:27

Peut-être essayer de se ramener à une formule du binôme de Newton??

yoshi · 12-09-2009 11:23:04

Salut,

Bon ( ce n'est pas étonnant) freddy sembla voir eu l'illumination...
J'avoue que pour l'instant, après 5 min de recherche, je n'ai toujours pas la solution quand même :-(

Oui, il semble t'avoir suggéré de partir du développement de (a + b)^n. Voilà l'état de mes réflexions.
Il a écrit :
[tex](a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\;b^{k}[/tex]
Donc, si je remplace b par 2 :
[tex](a+2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\;2^{k}[/tex]
1. Toi tu pars de k=1, lui de 0. Le terme correspondant à k = 0 est a^n
D'où :
[tex](a+2)^n - a^n= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\;2^{k}[/tex]
2. Toi tu as 2^{k-1}. J'écris donc :

[tex]\frac{(a+2)^n - a^n}{2}= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\;2^{k-1}[/tex]
3. Et c'est là où j'achoppe. Lui, il a a^{n-k} là où toi, tu as simplement k.

@+

pokkiri23 · 12-09-2009 12:38:42

ok merci pour ta réponse. Je vais voir ce que sa donne. Merci

freddy · 12-09-2009 13:32:23

Salut,

je pense que la bonne somme à calculer est la suivante (et je me sers du code de Yoshi) :

On cherche
[tex]\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\,2^{k}-1[/tex]
On a :
[tex](a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\;b^{k}[/tex]
on pose a=1 et b=2 et on obtient :
[tex]3^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\;2^{k}= 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\,2^{k}[/tex]
Donc :
[tex]\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\,2^{k}-1 = 3^n - 2[/tex]

C'est bon ?

Dernière modification par freddy (12-09-2009 13:35:50)

yoshi · 12-09-2009 13:44:19

Re,

Bon je vais peut-être dire une bêtise, mais toi tu calcules :
[tex]\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\,2^{k}-1[/tex]

Et il me semble que pokkiri23 attend :
[tex]\sum_{k=1}^n k\,\binom{n}{k}\,2^{k-1}[/tex]

Deux différences : le facteur k est absent chez toi et le -1 pas placé au même endroit. Relation de cause à effet ?

Ou il y a quelque chose qui m'échappe ou bien tu as calculé autre chose...

@+

freddy · 12-09-2009 13:50:55

Re,

j'ai bien vu le k de la formule, mais pokkiri a fait plusieurs modifs que je ne sais pas laquelle retenir.

Bon, j'y retourne ...

(...)

yoshi · 12-09-2009 13:59:24

Re,

Exact, tantôt le -1 est un exposant (message #1), tantôt il ne semble pas l'être (cf messages #5 et #8 : absences de parenthèses).
Te casse pas la tête, attendons plutôt la version définitive...

@+

freddy · 12-09-2009 14:08:43

Re,

je tiens une piste :

[tex]\sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}=n \sum^{n-1\,}_{p=\,0}\binom{n-1}{p}{2}^{p}[/tex]

car [tex]k\binom{n}{k}= \frac{n(n-1)\,!}{(k-1)!(n-k)!}= n\binom{n-1}{k-1}[/tex]

donc

[tex]\sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}=n\,3^{n-1}[/tex]

sauf erreur, bien sûr.

Dernière modification par freddy (12-09-2009 14:08:46)

pokkiri23 · 12-09-2009 14:18:30

C'est aussi ce que j'ai trouvé. Merci et si certains trouvent encore d'autres résultats , c'est avec plaisir . Merci, ce forum est vraiment très bien avec des réponse très rapides. Continuons et nous progresserons!!! Peut être a tout l'heure parce que je fais plein d'exercice niveau prépa alors que je suis qu'en terminale car je suis dans un des "grands lycée" de Paris. Je vous remercie énormément de votre aide.

pokkiri23 · 12-09-2009 14:22:16

freddy a écrit :

Re,
je tiens une piste :
[tex]\sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}=n \sum^{n-1\,}_{p=\,0}\binom{n-1}{p}{2}^{p}[/tex]
car [tex]k\binom{n}{k}= \frac{n(n-1)\,!}{(k-1)!(n-k)!}= n\binom{n-1}{k-1}[/tex]
donc
[tex]\sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}=n\,3^{n-1}[/tex]
sauf erreur, bien sûr.

L'expression de départ est bien celle de freddy. Désolé car j'avais fais de nombreuses modifications.

pokkiri23 · 12-09-2009 14:42:57

Par contre j'ai une dernière chose à vous demander. Pouvez vous s'il vous plaît m'écrire en français les étapes que vous avez utilisées pour trouver le résultat comme sa se me souviendrai du raisonnement . Merci d'avance

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 11-09-2009 17:14:54

combinaison [Résolu]

#2 11-09-2009 17:21:22

Re : combinaison [Résolu]

#3 11-09-2009 17:38:02

Re : combinaison [Résolu]

#4 11-09-2009 17:38:32

Re : combinaison [Résolu]

#5 11-09-2009 17:40:46

Re : combinaison [Résolu]

#6 11-09-2009 18:03:45

Re : combinaison [Résolu]

#7 11-09-2009 18:06:49

Re : combinaison [Résolu]

#8 11-09-2009 18:23:11

Re : combinaison [Résolu]

#9 11-09-2009 18:55:27

Re : combinaison [Résolu]

#10 12-09-2009 11:23:04

Re : combinaison [Résolu]

#11 12-09-2009 12:38:42

Re : combinaison [Résolu]

#12 12-09-2009 13:32:23

Re : combinaison [Résolu]

#13 12-09-2009 13:44:19

Re : combinaison [Résolu]

#14 12-09-2009 13:50:55

Re : combinaison [Résolu]

#15 12-09-2009 13:59:24

Re : combinaison [Résolu]

#16 12-09-2009 14:08:43

Re : combinaison [Résolu]

#17 12-09-2009 14:18:30

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#18 12-09-2009 14:22:16

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#19 12-09-2009 14:42:57

Re : combinaison [Résolu]

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