Petit défi made in home..

Golgup · 11-08-2009 00:24:41

Salut!

Soit [tex]p,q[/tex] premiers
Soit [tex]r=[/tex] [tex]or{d}_{a}\left(pq\right)=\left\{{r}_{\min }\Longleftrightarrow {{a}^{r}\equiv 1\left(mod\,pq\right)}_{}\right.[/tex]}
Soit [tex]M[/tex] un entier impair quelconque que vous choisissez.

Prouver qu'il existe toujours [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] vérifiants [tex]pq\equiv M\left(mod\,r\right)[/tex]

++!

yoshi · 11-08-2009 10:13:50

Bonjour,

C'est quoi : or ?
Moi j'ai vu que tu as écris : or {d}, le pékin moyen, lui qui n'a pas acsès à la source de ton message, lui, verra ord tout comme moi...
Et le seul ord que je connaissais était le mot-clé Python renvoyant le code ASCII (y compris étendu) d'un caractère.

Certes ton écriture LaTeX est très impressionnante, mais je n'y comprends rien et je n'ai pas trouvé trace de or{..} sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX.
Alors ?

@+

Golgup · 11-08-2009 10:46:12

Re,

Screenshot:

c'est bon?

+

Barbichu · 11-08-2009 10:49:06

Yop,
Non non, c'est bien [tex]\mathrm{ord}[/tex] qu'il voulait dire.
Il aurait dû formuler son problème ainsi :
On définit pour tout [tex]x[/tex] et pour tout [tex]a[/tex], [tex]\mathrm{ord}_a(x) = \min_{r \in \mathbb{N}} \left\{r\ /\ a^r \equiv 1 \mod x\right\}[/tex]

Soit [tex]M \in \mathbb{N}[/tex], prouvez qu'il existe [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] premiers tels que
[tex]pq \equiv M \mod \mathrm{ord}_a(pq)[/tex]

Et c'est là qu'on voit qu'il y a un bug : c'est quoi [tex]a[/tex] ?

++

Golgup · 11-08-2009 11:03:12

Hello !

Barbichu, que signifie le slash après r ??
Pour a et bien c’est la base que vous choisissez ex: [tex]or{d}_{5}\left(234\right)=12[/tex]

ah oui aussi ne pas oublié que M doit etre impair!!

Alors??

bye

Dernière modification par Golgup (11-08-2009 11:03:55)

Barbichu · 11-08-2009 11:12:39

Yop,

- Oui j'ai oublié "M impair".
- Le slash signifie "tel que".
- Non, tu n'as pas quantifié sur a, on ne sait pas si c'est :
* "pour tout M, il existe p q et a tels que ..."
* ou "pour tout M et a, il existe p et q tels que ..."
* ou "pour tout M, il existe p et q tels que pour tout a ..."
* ou "il existe a tel que pour tout M, il existe p et q tels que ..."

Ce qui fait 4 questions à répondre, dont on sait que la réponse est censée être vraie pour l'une d'entre elles, les autres étant des conséquences éventuellement triviale ou des généralisations éventuellement complexes de cette première.

++

Dernière modification par Barbichu (11-08-2009 12:02:15)

yoshi · 11-08-2009 11:33:15

Bien le bonjour,

Tant pis si je passe pour un débile mental, mais je repose ma question (rectifiée) c'est quoi : ord() ?
Si c'est 5 une base de numération (?) je ne vois pas comment on peut trouver douze, à moins que ce ne soit "un-deux"...
Donc j'en reviens à ord qui a l'air d'être un symbole mathématique, puisque Barbich a écrit
[tex]\mathrm{ord}[/tex], soit \mathrm{ord} sans les balises tex, qu'est-ce donc ?

@+

Golgup · 11-08-2009 11:40:49

Désolé

Je redonne définitivement l'énoncé:

Soit pour tout [tex]n[/tex] et [tex]a[/tex] [tex]\in \mathbb{N}[/tex] on définit [tex]or{d}_{a}\left(n\right)=[/tex] [tex]{r}_{\min }\in \mathbb{N}\,\left\{r/{a}^{r}\equiv 1\,\left(mod\,n\right)\right.[/tex]}
Soit [tex]M[/tex] un entier impair quelconque que vous choisissez.

Prouver qu'il existe toujours [tex]p[/tex] , [tex]q[/tex] premiers et [tex]a[/tex] vérifiants [tex]pq\left(mod\,or{d}_{a}\left(pq\right)\right)\equiv M[/tex]

++

Barbichu · 11-08-2009 11:43:07

Re,
ce n'est pas un symbole "connu", mais on le définit ici (j'ai bien mis le mot "définit" pourtant).
Il représente ici l'ordre de a dans le groupe multiplicatif de Z/pqZ.
(En général on redéfinit systématiquement un symbole suivant le contexte et on l'appelle souvent [tex]\mathrm{ord}[/tex] ou [tex]\omega[/tex])
++

Barbichu · 11-08-2009 11:47:32

Re,
d'ailleurs c'est [tex]r \in \mathbb{N}^*[/tex],
et on dit [tex]\min_{r \in \mathbb{N}^*}[/tex] et pas [tex]r_{min} \in \mathbb{N}^*[/tex],

Ok ! facile, je choisis a = 1, p = 3 et q = 5.
Comme quoi l'ordre est important ...
++

Golgup · 11-08-2009 11:53:22

Oui mais je ne suis pas parvenu à trouver une telle formulation avec LaTeX.

a>1.. : |

Mon défi a du mal à passer...

[aiditte] Yoshi la faute va à moi, je n'était pas clair des le début, excusez, pour être clair, l'ordre c'est ça: http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2219

Dernière modification par Golgup (11-08-2009 11:56:17)

Barbichu · 11-08-2009 11:59:36

Je résume :
On définit pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] et pour tout [tex]a \in \mathbb{N}^*[/tex], [tex]\mathrm{ord}_a(n) = \min \left\{r \in \mathbb{N}^* \ /\ a^r \equiv 1 \mod n\right\}[/tex]

Soit [tex]M \in \mathbb{N}[/tex] impair, prouvez qu'il existe [tex]a > 1[/tex], et [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] premiers tels que [tex]pq \equiv M \mod \mathrm{ord}_a(pq)[/tex]

C'est ça ?

Golgup · 11-08-2009 12:06:12

Oui!!

Merci

Barbichu · 11-08-2009 12:09:09

Bon, ben alors a = 5, p = q = 2 ...

Et puis comme je pars faire des courses :
* si tu me dis "avec a < pq", je te réponds : a = 3, p = q = 2 ...
* si tu me réponds "oui mais avec p et q premiers entre eux", je te dis : a=5, p=2 et q=3
* et si tu me dis "avec p et q différents de 2", je te dis : a=4, p=3 et q=5

t'es sûr d'avoir quantifié comme tu voulais ?

Dernière modification par Barbichu (11-08-2009 12:17:37)

Golgup · 11-08-2009 13:00:41

Hello,

Je suis de ceux qui pensent que la formalisation tendant vers l'infini d'un problème à caractère délibératif/amusant s'appelle la réponse, la définition ord_a(n) implique toute les bonnes conditions amenant a la recherche de celui ci (ex: a et n premier entre eux...)
Quant a vos dernières et avant dernières propositions, en quoi sont -elle troublantes??

++

Dernière modification par Golgup (11-08-2009 15:15:06)

freddy · 11-08-2009 15:03:02

Hello Golgup

Golgup a écrit :

Je suis de ceux qui pense que la formalisation tendant vers l'infini d'un problème à caractère délibératif/amusant s'appelle la réponse ...

Non, non, cela s'appelle de la rigueur.

Et on peut énoncer un sujet malicieux en restant rigoureux, aux autres de bien décoder pour résoudre la malice.

Sorry

Golgup · 15-08-2009 07:37:05

Hello guys!

Je rècapépéte depuis le bédu:

On définit pour tout [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] et pour tout [tex]a\in \mathbb{N}[/tex] , [tex]or{d}_{a}\left(n\right)=\min \left\{r\in \mathbb{N}\,/\,{a}^{r}\equiv 1\left(mod\,n\right)}\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]
Soit [tex]M\in \mathbb{N}[/tex] impair, prouvez qu'il existe toujours [tex]1<a<pq[/tex] , et [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] premiers strictement supérieurs à 2 tels que [tex]pq\equiv M\left(mo\,or{d}_{a}\left(pq\right)\right)[/tex]

Freddy, je suis d'accord et admet que ma réaction n'était pas égale.

ps: vu le commentaire #14 j'ai l'impression que Barbichu a déjà la réponse..(je me trompe??)

à plus tard!!

Dernière modification par Golgup (15-08-2009 23:07:47)

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