Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Romeo et Juliette version 2009 - I

Bonjour,

Romeo (R) et Juliette (J) sont séparés par une rivière de 10 m de large.
Juliette est à 500 m du bord (D1) de la rivière, et Romeo lui est distant du bord (D2) de 1,500 km.
(D1) et (D2) sont parallèles
Les  perpendiculaires à(D1) passant par J et à (D2) passant par R sont distantes de 4 km.
La rivière est large de 10 m.
Romeo, Ingénieur des Ponts et Chaussées, décide de construire un pont, perpendiculaire à (D1) et (D2), sur la rivière pour que le trajet qui lui permette d'aller voir sa belle soit le plus court possible...
Où va-t-il construire ce pont ?
Quelle distance devra-t-il parcourir ?

Bon, freddy, va trouver ça en un simple claquement de doigts, comme d'hab... Mais ça ne doit se résumer à une discusion à 3 (ou 4) : il faudrait que 100 % des gagnants aient tenté leur chance...

Bientôt :
Romeo et Juliette version 2009 - II Le retour...

@+

Golgup

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Hello

Je trouve une valeure de 2,51km pour un pont bâtit à 375 métres de la perpendiculaire à(D1) passant par j ?

++

freddy

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Hi Yoshi,

ne t'inquiète pas, je fais comme toi, je laisse les autres tenter leur chance !

"A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire"

yoshi

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

'Lut,

375 m ? Et ton pont, tu l'as placé là sur quel(s) critère(s) ?

Disons que le pont s'appelle [CD] (vaudrait mieux pas finalement pour un pont , hein ?), C du côté de Juliette et D du côté de roméo, H le pied de la perpendiculaire abaissée de J sur (D1) et K celui de la perpendiculaire abaissée de R sur (D2).
Comme ça on sait de quoi on parle.
J'ai donc KD+ HC = 4 km, RK=1,5 km, JH=0,5 km et CD = 0,01 km...

Tu annonces donc CH = 375 m ?
Si on est d'accord sur les valeurs précédentes, la réponse est non.
De plus j'attends la distance RD + DC + CJ...

@+

Golgup

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Re,

damned! j'avais lu 1500 metre au lieu de 4km.. cette fois on a f(x)=[tex]10+\sqrt{1500²+{\left(4000-x\right)}^{2}}+\sqrt{x²+500²}[/tex] il ya plusieurs minimum.. dont RD + DC + CJ=4482 metres..  0_°

yoshi

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Re,

Nan, il n'y a qu'un seul minimum et un seul endroit où poser le pont.
Oui, avec 1,5 km CH = 375 m ; avec 4 km, CH = 1 km.
Valeur exacte du trajet R-D-C-J ?

Exercice programme de 4e pur sucre, l'ancien (pas celui d'il y a 20 ans, hein, celui qui a précédé le tien). Quelle méthode as-tu employé ? Tout ce que je vais poser comme énigme recevra,jusqu'à nouvel ordre, une solution très simple et non de niveau 1ere S/ES...

Bien qu'il n'y ait pas de médiatrice à utiliser ici, cet exercice faisait partie de la leçon " Régionnement du plan par une médiatrice"...

@+

PS : A la réflexion, si l'expression "plusieurs minimums" ne s'applique pas à la courbe que tu dois sûrement tracer, alors, c'est louche ! Moi, je parle d'UN minimum, de LA plus courte distance R-D-C-J possible...

[EDIT] Méthode de construction géométrique simple de [CD] ?

Dernière modification par yoshi (01-08-2009 19:40:38)

nerosson

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Salut, Yoshi,
Tu vas encore me dire « que ces explications sont compliquées ! ». Mais c'est toujours la même raison : je ne peux pas faire de figure !
Allons-y quand même !
Enfonçons joyeusement les portes ouvertes : la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. Donc, s'il n'y avait pas la rivière, le parcours serait le segment RJ. Celui-ci coupe l'axe central de la rivière en un point M. Pour que le parcours réel soit le plus voisin de la ligne droite, Roméo va construire un pont passant par M et touchant les rives en N et P.
Yoshi, j'espère que tu fais la figure à mesure ?  Le parcours sera RNPJ.
Les triangles rectangles JPD1 et  RND2 sont semblables dans le rapport de 1 à 3. Donc ND2 = 3 x PD1.
Donc, le pont sera à 3 kms de la perpendiculaire RD2 et à 1 km de la perpendiculaire JD1.
RN est l'hypoténuse du triangle RD2N.
Le carré de RN est égal à : (1,5 x 1,5) + (3 x 3) = 2,25 + 9 = 11,25.
Donc RN = racine de 11,25 = 3,354.
PJ est l'hypoténuse du triangle JD1P.
Le carré de JP est égal à : (0,5 x 0,5) + (1 x 1) = 0,25 + 1 = 1,25.
Donc JP = racine de 1,25 = 1,118.
Le parcours de Roméo (RNPJ) est : 3,354 + 0,010 + 1,118 = 4,482 kms.
Intuitivement, je sens qu'il y a quelque chose qui cloche. Dis-moi quoi, Yoshi.
A plus tard.

freddy

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Le chef indien dit : "moi, pas avoir compris la fin car avoir oublié le début ..."

nerosson

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Salut, Freddy,
Pan sur le bec, comme on dit au Canard enchaîné. Tu ne manques pas d'à propos.
Et tu m'as donné le plaisir de me moquer de moi-même.
Compliments.

yoshi

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

Bonsoir,

Allelluia, le Forum est revenu !
Fred va pas être content : 48 h d'indisponibilité, c'est du jamais vu !

Bon, ton idée de la ligne droite est bonne, c'est l'emploi que tu en fais qui est mauvais.
Pour montrer que ce n'est pas comme ça qu'on procède, voici le modus operandi correct.
Je procède à un glissement de terrain : si J est en haut et R en bas, je remonte tout le demi-plan de frontière (D2) contenant R, vers le haut, selon une direction perpendiculaire à (D1), en superposant (D2) et (D1), ce qui me donne un point R' tel que (RR') // (CD) et RR' = CD.
Je rappelle que le pont [CD] est perpendiculaire aux bords de la rivière, hein ?

Romeo occupe donc la position R'. Je trace la droite (JR') : elle coupe (D1) en C.
Depuis C je trace la perpendiculaire à (D2) qu'elle coupe en D.
Si j'examine le quadrilatère CDRR', qui par construction est non-croisé (sans cette précision, on ne peut pas utiliser la pté caractéristique qui suit. Le mieux est d'utiliser les vecteurs : [tex]\overrightarrow{RR'}=\overrightarrow{DC}[/tex] et là plus d'ambiguïté), j'ai deux côté parallèles et de même longueur : c'est donc un parallélogramme.
D'où RD = R'C.
Or le plus court chemin (sans le pont, ni la rivière) est : JR' = JC + CR'
Or CR' = DR
Donc JR' = JC + DR.
Et il n'y a pas besoin de se lancer dans des calculs fouillés comme ceux de Golgup...

ok ?

Quant à tes calculs, je les referai demain.
Effectivement, ils me semblent louches. En valeurs exactes, ton résultat et le mien ne peuvent être égaux, même si au mètre près, ils sont identiques...
Probablement parce que les 10 m de largeur de la rivière sont trop peu.
Ma méthode et la tienne ne peuvent pas donner la même valeur exacte qui est (en km) : [tex]2\sqrt 5 + 0,01[/tex].

@+

yoshi

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Re : Romeo et Juliette version 2009 - I

RE,

Finalement je n'ai pas pu attendre.
J'ajoute donc, en plus de ton point M, que la parallèle à (D1) et (D2) passant par R et la perpendiculaire à (D1) et (D2) passant par J se coupent O et que j'appelle A l'intersection de l'axe médian de la rivière de de (JO).
(JO) coupe (D1) en H. De même le pied de la perpendiculaire abaissée de R sur (D2) est K.
D'après le théorème e Thalès j'ai :
JA/JO = AM/OR
Je note x la largeur de la rivière.
J'ai JA = x/2 + /2 = (x+1)/2
JO = x + 2

D'où [tex]{AM \over 4}= \frac{\frac{x+1}{2}}{x+2}=\frac{x+1}{2(x+2)}[/tex]
Et [tex]AM=\frac{2(x+1)}{x+2}[/tex]
A partir de là, je calcule JP et RN
Le triangle JHP est rectangle en H :
[tex]JP^2 = HP^2+JH^2 = \frac{4(x+1)^2}{(x+2)^2}+{1 \over 4}[/tex]
Et JP :
[tex]JP=\sqrt{ \frac{4(x+1)^2}{(x+2)^2}+{1 \over 4}[/tex]

J'appelle B l'intersection de (PN) et de (OR).
Le triangle NBR est rectangle en B.
Et [tex]BR = 4 - \frac{2(x+1)}{x+2}=\frac{2(x+3)}{x+2}[/tex]
D'où :
[tex]NR^2 =BR^2+NB^2 = \frac{4(x+3)^2}{(x+2)^2}+{9 \over 4}[/tex]
Et
[tex]NR=\sqrt{\frac{4(x+3)^2}{(x+2)^2}+{9 \over 4}[/tex]
Avec cette notation, la longueur de TON plus court chemin est :
[tex]L_1 = x + \sqrt{ \frac{4(x+1)^2}{(x+2)^2}+{1 \over 4}}+\sqrt{\frac{4(x+3)^2}{(x+2)^2}+{9 \over 4}}[/tex],
tandis que la longueur du mien est : [tex]L_2=x+2\sqrt 5[/tex]
Pour x = 0, nous sommes d'accord, mais si au lieu de 10 m, je prends 1 km, alors :
* [tex]L_1 = 1+{\sqrt {73} \over 6} + {\sqrt{337}\over 6}[/tex]
* [tex]L_2=1+2\sqrt 5[/tex]
Soit 11,5 m de moins pour moi...

En principe, ces calculs sont justes...

@+