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cécile

Invité

[Résolu] somme double

Quelle sont les 2 manières de calculer la somme S
S=sigma [pour (i+j) allant de 0 à n] de (i+j) pour établir la relation suivante:
2+3x2+....+(n+1)n=[n(n+1)(n+2)]/3

A rappeler que sigma de i² pour i allant de 0 à n =n (n+1)(2n+1)/6

Merci de la réponse et du détail des 2 façons

JJ

Invité

Re : [Résolu] somme double

2+3x2+....+(n+1)n = (1+1)+(2*2+2)+(3*3+3)+...+(n*n+n) =
= (1+2+3+...+n) + (1+2*2+3*3+...+n*n) =
= n(n+1)/2 + n(n+1)(2n+1)/6 =
= n(n+1)((1/2)+(2n+1)/6) = n(n+1)(n+2)/3
et :
2+3x2+....+(n+1)n =(2*2-2)+(3*3-3)+(4*4-4)+...+((n+1)*(n+1)-(n+1)) =
= (2*2+3*3+...+(n+1)*(n+1)) - (2+3+...+(n+1) =
= ( (N*(N+1)*(2N+1)/6) -1) - ( (N*(N+1)/2)) -1)  avec N=n+1
= (((n+1)*(n+2)*(2n+3)/6) -1) - (((n+1)*(n+2)/2) -1))   =
=(n+1)(n+2)(((2n+3)/6) - (1/2)) =
= (n+1)(n+2)(2n/6) = n(n+1)(n+2)/3

JJ

Invité

Re : [Résolu] somme double

2+3x2+....+(n+1)n = (1+1)+(2*2+2)+(3*3+3)+...+(n*n+n) =
= (1+2+3+...+n) + (1+2*2+3*3+...+n*n) =
= n(n+1)/2 + n(n+1)(2n+1)/6 =
= n(n+1)((1/2)+(2n+1)/6) = n(n+1)(n+2)/3
et :
2+3x2+....+(n+1)n 2*2-2)+(3*3-3)+(4*4-4)+...+((n+1)*(n+1)-(n+1)) =
= (2*2+3*3+...+(n+1)*(n+1)) - (2+3+...+(n+1) =
= ( (N*(N+1)*(2N+1)/6) -1) - ( (N*(N+1)/2)) -1)  avec N=n+1
= (((n+1)*(n+2)*(2n+3)/6) -1) - (((n+1)*(n+2)/2) -1))   =
n+1)(n+2)(((2n+3)/6) - (1/2)) =
= (n+1)(n+2)(2n/6) = n(n+1)(n+2)/3