Quand s'arrêter ? (bis)

freddy · 03-07-2009 10:51:31

Bonjour,

autre sujet de stratégie optimale d'arrêt d'un jeu :

"quand convient il d'arrêter une séquence de tirages à pile ou face pour maximiser le nombre moyen de faces obtenues ?"

Bigre ...

nerosson · 04-07-2009 15:36:44

Salut, Freddy,
Comme toujours, tu es trop savant pour moi. Voudrais-tu expliciter la fin de ta phrase (pour...) afin qu'elle soit claire pour le vulgum pecus. Merci.
Salut

yoshi · 04-07-2009 16:32:47

'lut,

je plussoie...
Qu'est-ce que tu entends par "maximaliser" ?
Qu'est-ce que "le nombre moyen" ? le % de "face" obtenu sur le nombre total de lancers ?

J'aurais tendance à dire qu'à partir de 60%, ce n'est pas (plus) la peine que TU tentes le diable, surtout si c'est TA paye qui est en jeu...

@+

vbnul · 04-07-2009 19:20:15

Voila comment je comprends la question : connaissant le nombre de tirages et le nombre d'évènements « face », faut il arrêter ou continuer les tirages ?

Soit Xi des variables de Bernoulli iid, je continuerais ssi [tex]P(X_{i+1}=1/ \sum_{i}\frac{X_i}{n}) \geq \frac{1}{2}[/tex]

Dernière modification par vbnul (05-07-2009 08:50:50)

freddy · 05-07-2009 10:08:40

vbnul a écrit :

Voila comment je comprends la question : connaissant le nombre de tirages et le nombre d'évènements « face », faut il arrêter ou continuer les tirages ?
Soit Xi des variables de Bernoulli iid, je continuerais ssi [tex]P(X_{i+1}=1/ \sum_{i}\frac{X_i}{n}) \geq \frac{1}{2}[/tex]

Oui sur la première remarque, et non pour la seconde puisque les var sont iid, elles sont donc indépendantes ...

freddy · 05-07-2009 10:21:34

yoshi a écrit :

'lut,
je plussoie...
Qu'est-ce que tu entends par "maximaliser" ?
Qu'est-ce que "le nombre moyen" ? le % de "face" obtenu sur le nombre total de lancers ?
J'aurais tendance à dire qu'à partir de 60%, ce n'est pas (plus) la peine que TU tentes le diable, surtout si c'est TA paye qui est en jeu...
@+

Salut les enfants,

maximaliser n'est pas le bon terme, c'est maximiser, à savoir : je m'arrête quand je sais que je peux plus augmenter le nombre de face obtenu par rapport au nombre de tirages (nombre moyen de face), ce qui peut se traduire aussi de la manière suivante : si le premier jet est Face, je stoppe, car je sais que le nombre moyen ne peut être supérieur à 1 (en notant Pile = 0).

Sinon, si j'ai eu Pile, je rejoue, car le nombre moyen est égal à 0.
Si j'obtiens Face au second tir, le nombre moyen = 1/2. Puis je améliorer ce nombre en rejouant ou dois je m'arrêter ?

Je vais mieux expliciter les deux sujets, je reconnais que j'ai eu un peu de mal parfois à comprendre mon copain.

yoshi · 05-07-2009 10:35:57

Bon matin,

freddy a écrit :

puisque les var sont iid,

iid ? kezako ?

D'autre part, c'est bien beau de balancer des formules, mais rien de mieux pour écoeurer les non-spécialistes pour qui ce n'est pas parlant...
Un peu, comme si totalement ignare en matière d'automobile, et ayant un garagiste de haut vol, je vais le voir pour lui poser cette simple question (et question simple)
<< A partir de quelle pression, les pneus Avant de ma voiture peuvent être considérés comme sous-gonflés ? >>
Et il me répond avec une magnifique formule comprenant
- la variable autoroute ou pas,
- la variable masse du véhicule,
- la variable pneu avant/pneu arrière
- la variable nombre de passagers
- la variable type de jantes

etc...

Moi, à ce moment, je peux lui dire qu'il a perdu un client...
Donc, messieurs, redescendez sur terre s.v.p !

Je vais vous simplifier la tâche :
Supposons que j'aie fait 1000 tirages, pour chacun de ces pourcentages de 'face' dois-je arrêter ou pas ?
40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60

Et quel mon pourcentage de chances d'améliorer mon score avec
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 tirages supplémentaires ?

Bien à vous,

@+

vbnul · 05-07-2009 13:20:28

Oui j'ai juste donné une formule qui me semblait pertinente car je n'avais pas le courage de faire les calculs.
Pas la peine de le prendre aussi mal.

nerosson · 05-07-2009 13:28:14

Salut à tous,
je ne voudrais fâcher personne, ni nuire à la bonne ambiance qui règne sur les forums de Bibmaths, mais j'ai parfois l'impression que certains correspondants sont un peu influencés par le célèbre axiome "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?".
Deux interprétations à la question :
a - à partir de quand est-on sûr qu'on ne peut plus améliorer son pourcentage de "face" ? Réponse : jamais, sauf quand on tire face au premier coup (tu l'as dit Freddy)
b - à partir de de quel moment est -on sur d'améliorer son pourcentage de "face" Réponse : quand on n'a que des "pile" (tu l'as dit aussi Freddy).
Autre interprétation, qui doit être la bonne : à partir de quel moment, étant donné le pourcentage obtenu, est-il raisonnable d'arrêter ? Etant donné ce qui s'appelle je crois "la loi des grands nombres" (j'espère que je ne dis pas de bêtise), qui dit que le rapport "face-pile" tend vers 50/50, Il me paraît raisonnable d'arrêter dès qu'on est, si peu que ce soit, au dessus de 50%.
Salutations.

freddy · 05-07-2009 13:41:48

Hey les keums, calmos, keep cool !!! :-)

Bon, "var iid" = variables aléatoires réelles identiquement et indépendamment distribuées. C'était ma réponse à vbnul, j'avais oublié que d'autres pouvaient la lire.

Yoshi, pour la pression des pneus, je pense que le mécano avait oublié de demander si le réservoir était plein ! :-)

Nerosson, pas raisonnable, sauf si tu sais exprimer en langage formel ce qui est raisonnable.

Enfin, le plus important : le temps s'écoule sans qu'on puisse le remonter. Chaque fois que j'ai joué, je ne peux pas faire "undo".

Je vais exposer dans un autre sujet "amusant" de manière plus claire cette question de la problématique du temps qui passe (sans repasser).
A chaque étape on doit choisir, et quand on a choisi, on ne peut plus revenir en arrière.

ed · 05-07-2009 20:00:39

Si le but est de maximiser la frequence d'apparition d'une face, il faut s'arrêter de jouer dés que cette fréquence est supérieure ou égale à 0.5

Par exemple, si l'on recherche Face.
- Soit on obtient Face au premier coup et on s'arrête.
- Sinon on continue de jouer jusqu'à ce que la fréquence des Faces égale 0.5.

Pour la mise en forme mathématique, on se place au n ieme tirage et on suppose que l'on a obtenu x Face.
La fréquence (ou proba) d'apparition des Face est [tex]\frac{x}{n}[/tex]

Au tirage suivant, avec equiprobalité de l'évenement Face, la fréquence deviendra [tex]\frac{1}{2}\times \frac{2x+1}{n+1}[/tex]

On continue de jouer tant que [tex]\frac{x}{n}\leq \frac{1}{2}\times \frac{2x+1}{n+1}[/tex]

c'est à dire tant que [tex]x\leq \frac{n}{2}[/tex]

freddy · 06-07-2009 12:43:23

yoshi a écrit :

Bon matin,
freddy a écrit :
puisque les var sont iid,
iid ? kezako ?
D'autre part, c'est bien beau de balancer des formules, mais rien de mieux pour écoeurer les non-spécialistes pour qui ce n'est pas parlant...
Un peu, comme si totalement ignare en matière d'automobile, et ayant un garagiste de haut vol, je vais le voir pour lui poser cette simple question (et question simple)
<< A partir de quelle pression, les pneus Avant de ma voiture peuvent être considérés comme sous-gonflés ? >>
Et il me répond avec une magnifique formule comprenant
- la variable autoroute ou pas,
- la variable masse du véhicule,
- la variable pneu avant/pneu arrière
- la variable nombre de passagers
- la variable type de jantes
etc...
Moi, à ce moment, je peux lui dire qu'il a perdu un client...
Donc, messieurs, redescendez sur terre s.v.p !
Je vais vous simplifier la tâche :
Supposons que j'aie fait 1000 tirages, pour chacun de ces pourcentages de 'face' dois-je arrêter ou pas ?
40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60
Et quel mon pourcentage de chances d'améliorer mon score avec
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 tirages supplémentaires ?
Bien à vous,
@+

Hi tutti,

réponse : je pense qu'il faut viser plus haut que le strict 50 % (supposons que ce nombre moyen soit multipié par 200.000 euros ...).

1000 tirages est trop, tu te seras sûrement arrêté avant.

Reprenons !

Premier tirage : Face => stop, j'ai gagné 200.000 euros, je ne peux que perdre ensuite.

Premier tirage : Pile donc je rejoue, et j'obtiens Face. Dois je m'arrêter ?

J'ai 1 chance sur deux de faire Pile et une chance sur deux de faire face.

Si j'obtiens pile, à l'évidence, je rejoue, puisque je peux faire la séquence PPFF et gagner 1/2, ou bien PPFP et ne gagner que 1/4 .

Si j'obtiens face, je gagne 2/3 de 200.000 euros. Puis je faire mieux ?

A priori oui, car je peux obtenir encore Face et gagner 3/4, mais aussi obtenir un Pile et ne gagner que 1/2 seulement. Dans ce cas, je vais rejouer et avoir soit PPFFF soit 3/5 de gain ou bien avoir PPFPP soit 1/5 de gain. Or 3/5 < 2/3 => j'ai donc intérêt à stopper après la séquence PFF et continuer si PPF.

Si j'ai obtenu la séquence PPFP, il est évident que je continue.

Si j'obtient PPFPF, je gagne donc 2/5. Dois je continuer ? Je peux espérer PPFPFF et gagner 1/2. Si je suis dans ce cas, dois je rejouer ? Je peux espérer PPFPFFF et gagner 4/7 mais aussi avoir PPFPFFP et gagner 3/7 <1/2. Je vais donc stopper ... Et ainsi de suite.

Ce qui, par effet collatéral, invalide quelque peu la solution de Ed.

Dernière modification par freddy (07-07-2009 12:38:00)

freddy · 06-07-2009 14:43:51

[grognement]

Remarque particulière aux remarques générales :

je comprends et partage qu'il nous soit reprochés d'user parfois d'un vocabulaire de spécialistes dans certains sujets peu connus, j'ai quand même envie de renverser l'argument et de dire que dans bons nombre de problèmes évoqués, il m'arrive de chercher un peu partout pour avoir le sens des mots évoqués quand le vocabulaire ne m'est pas familier... voire je demande sans suspecter un tant soit peu le rédacteur de vouloir épater la vulgate ...

Nous tombons dans la fameuse question de savoir ce qui fait partie ou non du patrimoine commun des rédacteurs : qui sait quoi sur quoi ? N. Bourbaki répondrait : personne, mais cela n'empêche pas d'avancer.

"Nous nous enrichissons de nos différences, non point de nos ressemblances". (Un célèbre inconnu).

Voilà, j'ai dit.

[/grognement]

freddy · 17-07-2009 14:10:47

Hello,

la stratégie conjecturée, mais non encore démontrée, est de stopper le jeu dès que j'ai un nombre de un nombre de Face = nombre de pile + 1 ET deux Face obtenues consécutivement.

En effet, dans ce cas, nous avons un nombre moyen de Face = [tex] \frac{p+1}{2p+1} [/tex] au bout de n = 2p+1 lancers, avec p >0.

Rejouer conduit à préférer un gain espéré inférieur au gain certain, car [tex] \frac{2p+3}{2(2p+2)} \le \frac{p+1}{2p+1} [/tex], ce qui n'est pas rationnel.

Dernière modification par freddy (22-07-2009 15:36:34)

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#1 03-07-2009 10:51:31

Quand s'arrêter ? (bis)

#2 04-07-2009 15:36:44

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#3 04-07-2009 16:32:47

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