Forum de mathématiques - Bibm@th.net

martina88

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chiffrement affine

bonsoir,

dans mon exercice, il s'agit du codage de l'alphabet:
on assimile les 26 lettres de l'alphabet français: A, B, ..., Z aux nombres 0,1,...,25
on code alors un nombre x ainsi: le nombre codé f(x) est le reste de la division euclidienne de 41x+37 par 26
soit: f(x)congru à 41x+37 mod(26)        (désolée, je ne trouve pas le signe "congru à"!!!)
les questions:
1. coder le mot "ROIS"
2. Déterminer un entier n tel que 41n congru à 1 mod(26)
3. décoder alors le mot "ITOT" en expliquant soigneusement la méthode utilisée

c'est à la troisième question que ça se complique: j'ai trouvé une solution particulière de 41n+26v=1 pour la question2  et pour la 3, j'ai trouvé la solution générale.
maintenant, je ne sais pas quoi faire (une amie m'a conseillé de trouver une fonction réciproque avec la clé de déchiffrage: késako?)

j'avoue que je suis un peu perdue...

Martine

yoshi

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Re : chiffrement affine

Bonjour Martina88,

Et bienvenue sur BibMa@th...

Ton exercice c'est du codage par chiffrement par fonction affine f(x) = (ax+b) mod 26...
ROIS ---> GNBV

Si c'est bon alors :
FEVE <--- ITOT
Si  y = f(x) = 41x+37 alors [tex]x = f^{-1}(y)=\frac{y-37}{41}[/tex], c'est ça la fonction réciproque : elle permet de trouver x connaissant y.

J'ai écrit un programme de codage et de décodage (Forum Programmation), mais avec a et b compris entre  0 et 25...
Je cherche à comprendre le passage de 41n = 1 (26) au décodage de ITOT : mes prg ne ne servent pas de ça, il y a là qq ch à apprendre pour moi.
Le n c'est 7, mais après...
J'avance un peu : 41x+37 donne le même résultat modulo 26 que 15x+11, donc FEVE est juste...

@+

PS :
41x+37 = 8 (mod 26) (le 9e caractère de l'alphabet est I)
41x+37 = 8+26k avec k entier naturel.
41x = 8+26k-37
41x = -29+26k
41x-26k=-29
On trouve(x;k)=(5;9)
d'où x = 5 et caractère n° 5 (soit le 6e) ---> F
Mais je n'ai toujours pas le rapport avec la question 2...

hpmhvq

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Re : chiffrement affine

Hello,

Et ont sait que 41x+37 = 8 mod 26  ( pour la 1ere lettre)

Alors 41x=23 mod26

Or on sait que 41.7 =1 (mod26)
donc 41(7.23) = 23 mod 26

On en deduit M=(7.23) mod 26=5=f

Etc.. Pour les autres

@+

hpmhvq

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Re : chiffrement affine

J'aimerai savoir en quelle classe Martina est.

Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : chiffrement affine

Bravo jeune-homme,

Je n'avais pas vu le lien...
Je me permets de reprendre ta démo parce que je la trouve bien trop elliptique pour mon goût...
La question 2 demande de trouver n tel que 41n = 1 (26)
on a donc trouvé :
41 * 7 = 1 (26)
Par conséquent :
(41 * 7) * 23 = 1 * 23 = 23 (26)
Et donc :
41 * (23 *7) = 23 (26)
Or 41x+37 = 8 (26)
donc :
41x = -29 (26)
41x= -29+26*2 = 23 (26)
Résumé :
[tex]\begin{cases} 41 * x &= 23\;\;(26)\\41 * (23 *7) &= 23\;\; (26)[/tex]
D'où (pté de régularité) on identifie :
x = 23 * 7 (26)
donc x = 5

@+

martina88

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Re : chiffrement affine

Merci beaucoup!!!
J'espère avoir tout saisi... Il faut dire que je n'ai jamais fait de crytographie et que je me suis pas mal cassé la tête là-dessus :S
Je suis actuellement en Tle S (spécialité maths)...
Je vais tout de suite me mettre à décoder le reste, histoire de voir si j'y arrive !!!

Martina