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Fred

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La pièce fausse

Bonjour,

  Puisque vous avez brillamment réussi le défi des pièces, en voici un autre (très classique!).
Vous avez 12 pièces, d'apparence identique, mais une est fausse.
Vous disposez aussi d'une balance de Roberval (à plateau).
Combien vous faut-il de pesées pour déterminer quelle est la fausse pièce, et si elle est plus lourde
ou plus légère que les autres?

Fred.

PS: Je sais, c'est un problème très classique!

yoshi

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Re : La pièce fausse

Bonjour,

En très classique, je connaissais mais on me disait si la fausse pièce était plus légère ou plus lourde...
Il me semble bien qu'on avait dans ce cas 3 pesées pour 13 pièces...
Mais là il faut encore déterminer si la pièce est + légère ou + lourde : ça doit, en principe, allonger la solution.

@+

freddy

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Re : La pièce fausse

'jour ,

TRES classique en effet.

On peut aller jusqu'à 14 pièces je crois, et on y arrive en trois pesées, selon la théorie

PLus sympa est le sujet : et si on avait n pièces identiques dont une n'a pas le même poids, combien de pesées pour la détecter ?

A démontrer par les "petits jeunes" !

Ciao belli

Dernière modification par freddy (06-05-2009 11:04:58)

freddy

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Re : La pièce fausse

Bonjour,

12 pièces, regroupées en trois paquets : le premier contient les pièces 1, 2, 3, et 4, le second, les pièces 5, 6, 7 et 8 et le troisième, les pièces 9, 10, 11 et 12.

Première pesée : #1 contre #2.

H1 #1 plus lourd que #2

Seconde pesée : (1,2,5) contre (3,4,6)

H11 : le paquet (1,2,5) est plus lourd que le paquet (3,4,6)

donc on exclut les pièces 3, 4 et 5 qui ne conviennent pas.

Troisième pesée : 1 vs 2

Soit 1 ou  2 est la pièce recherchée ( + lourde), sinon 6 est la pièce plus légère.

H2 : #1 a le même poids que #2, la pièce recherchées est dans #3.

Seconde pesée : (1,9) vs (10, 11)

H21 (1, 9) plus lourd que (10, 11)

donc soit 9 est + lourde, soit 10 ou 11 est + légère

troisième pesée : (9,10) vs (1,2)

selon l'orientation de la balance, soit 9 est plus lourde, soit 10 est plus légère.

H3 : H1 #1 plus léger que #2

On permute les paquets et on se ramène a H1.

Dernière modification par freddy (10-05-2009 11:38:50)

Fred

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Re : La pièce fausse

Bravo Freddy.
Le point clé,  c'est qu'une balance de Roberval ne donne pas deux informations, mais 3 informations :
plus léger, plus lourd, poids égal.
Ainsi, en 3 pesées, on peut espérer récolter 3^3=27 informations.
Avec 12 pièces, on a 2*12=24 possibilités. Comme 24<27, on a su le faire.

Cela dit, avec 13 pièces, même si 2*13=26<27, on ne peut pas déterminer laquelle est la plus légère ou la
plus lourde en 3 pesées. En effet, le découpage en plusieurs parties ne se fait pas bien (par exemple,
si on commence comme Freddy avec un bloc de 4, un bloc de 4, un bloc de 5, et si on sait que la pièce
est dans le bloc de 5 après la première pesée, alors on ne peut plus conclure en 2 pesées car 10>9).
Mais, si on dispose de 13 pièces et d'une autre dont on sait qu'elle est juste, alors on peut le faire en 3 pesées.

Fred.

freddy

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Re : La pièce fausse

Merci mon homonyme.

Pour les remarques, je suis d'accord, j'ai répondu de mémoire et j'avais oublié un point majeur que j'ai retrouvé ensuite.

Mais le plaisir de trouver est toujours le même.

semper fides