Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Des chapeaux et des hommes

Re,

D'après Sam LOYD.
Autre niveau que le jeu de dés (pour moi !).
A la fin d'une réception particulièrement arrosée, de retour au vestiaire, six hommes, l'esprit particulièrement trouble, doivent récupérer leur chapeau...
Quelle est la probabilité pour que, ces six hommes reprenant donc leur chapeau au hasard, aucun ne prenne celui qui lui appartient ?

@+

Barbichu

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Re : Des chapeaux et des hommes

Re, je brûle de donner la réponse là aussi, mais je vais me retenir ;) du coup. à +

Barbichu

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Re : Des chapeaux et des hommes

Par contre je suis curieux de connaître la méthode de Sam LOYD, parce que la mienne est rapide mais non élémentaire...

yoshi

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Re : Des chapeaux et des hommes

Re,

Pas d'explications... Juste une formule sèche avec ce commentaire :
Le nombre de façons de prendre n chapeaux sans que personne n'ait le sien est donné par :
..................................
Plus n augmente et plus la probabilité se rapproche de 1/e.
On pourra se référer à l'ouvrage de W. Rouse Ball : << Mathemztical recreations >> p. 46 pour une étude de ce problème et des applications à des problèmes analogues concernant les correspondances de cartes entre deux paquets battus.

@+

freddy

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Re : Des chapeaux et des hommes

Bonsoir,

c'est égal au nombre de dérangements (ensemble des permutations sans point fixe). Cf le crible de Poincaré ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ncare.html

De façon simplifiée, chacun peut choisir un chapeau parmi les cinq autres, le sien exclu. Par définition d'une probabilité, il faut calculer le nombre de cas favorables (relatif à l'événement étudié)  rapporté au nombre de cas possibles.

On a manifestement 6! = 720 cas possibles, et [tex] D_6 = 6!\times\sum_{k=0}^6 \frac{(-1)^k}{k!}\,= 265 [/tex] cas favorables.

La proba. recherchée = 36,81 %.

Dans le calcul du nombre de dérangements, on reconnait le début du Dev en série entière de exp(x) au point -1. D'où la valeur limite si n est très très grand.

++

Dernière modification par freddy (27-04-2009 00:02:58)

Barbichu

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Re : Des chapeaux et des hommes

Ok, c'était bien ça ma méthode non élémentaire ...

gatha

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Re : Des chapeaux et des hommes

bjr. ai-je raison de penser que le 1er a 1/6  chance de trouver le bon chapeau, le second 1/5 chance de tomber sur le sien ..., sauf que le dernier aurait 1/1 de récupérer le sien. ce qui est stupide.
scuse