Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Barbichu

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Le grenadier et le soldat

Bonjour,

Un grenadier est face à 5 trous, alignés de gauche à droite devant lui.
Il désire éliminer un soldat, qui se cache dans l'un des 5 trous.
Le soldat peut passer d'un trou à l'autre sans que le grenadier ne le voit.
Il se déplace systématiquement d'un trou à un trou directement voisin chaque fois qu'une grenade vient d'exploser.

Y a-t'il une stratégie qui permette au grenadier de tuer le soldat ?
Si oui laquelle, sinon pourquoi ?

Enjoy

freddy

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Re : Le grenadier et le soldat

Une idée rapide (inspiration théorie des jeux) :
Équilibre en stratégie mixte, pas pure. Donc chercher la loi de proba qui va gouverner les tirs de grenades face à la marche aléatoire droite gauche du soldat => processus stochastique.
Je reviens ++

tibo

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Re : Le grenadier et le soldat

Bonjour,

juste une idée aussi
On peut numéoter les trous de 1 à 5
Si le soldat s'amuse à changer de trous directement voisin lui aussi à chaque tir de grenade,
alors si la parité est différentes, le grenadier n'aura jamais le soldat
Par contre si la parité est la même, il suffit que le grenadier lance succecivement dans les trous 1, 2, 3, 4, 5; et le soldatsera forcement touché

donc je propose comme stratégie de lancer dans l'ordre :1-2-3-4-5-1-2-3-4-5

Barbichu

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Re : Le grenadier et le soldat

Bravo ! On peut faire légèrement mieux et ne tirer que 6 grenades...

Damien

Invité

Re : Le grenadier et le soldat

Bonjour,

Ce problème a de quoi ravir ceux qui n'aiment pas le gaspillage, bien qu'il soit légèrement morbide...

Remarques sur le problème :

En reprenant l'idée de la parité du numéro des trous (numérotés de 1 à 5 de gauche à droite), on peut remarquer que :
- tout mouvement du soldat d'une position [tex]{p}_{1}[/tex] à une position [tex]{p}_{2}[/tex] entraîne un changement de parité de sa position : [tex]{p}_{1}[/tex] paire entaîne [tex]{p}_{2}[/tex] impaire et inversement,
- les positions (1) et (5) sont intéressantes pour "coincer" le soldat : en étant dans une de ces positions son prochain déplacement est déterminé (déplacements (1)->(2) ou (5)->(4)).

Raisonnement :

* Supposons que la position initiale du soldat, notée [tex]{p}_{initiale}[/tex], soit paire :
- jetons une grenade en (2), l'histoire ne continue que si le soldat était en (4) -> le soldat se déplace en (3) ou en (5),
- pour le coincer lançons une grenade en (3), si le soldat était en (5) il est maintenant en (4),
- dernière grenade en (4)...

La suite partielle 2-3-4 (ou 4-3-2, ce qui ne change rien au raisonnement précédent si (5) devient (1)) est fatale aux soldats pour lesquels [tex]{p}_{initiale} [/tex] est paire.

* Étudions l'effet d'une de ces deux suites partielles sur un soldat de [tex]{p}_{initiale}[/tex] impaire :
- si le soldat a survécu à cette suite de trois lancés, il va obligatoirement se retrouver dans un trou de numéro pair,
- on se retrouve dans le premier cas et il suffit d'appliquer à nouveau une suite partielle pour avoir une solution au problème...

Résultat:

Les suites (ou stratégies) :
- 2-3-4-2-3-4
- 2-3-4-4-3-2
- 4-3-2-2-3-4
- 4-3-2-4-3-2

ou en condensé les suites de la forme :
[tex]a-m-b-a'-m-b'[/tex] avec [tex](a, b, a', b')\in\{2, 4\}, a\neq b, a'\neq b'[/tex], et [tex]m=3[/tex] ([tex]m[/tex] pour milieu)

sont des stratégies économiques au problème.

Commentaires :

En toute rigueur, il faudrait raisonner de la même façon en commençant par [tex]{p}_{initiale}[/tex] impaire puis [tex]{p}_{initiale}[/tex] paire, pour construire au final les mêmes solutions et garantir que ce sont les solutions les plus économiques !

Fred

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Re : Le grenadier et le soldat

Bonjour,

  Dans le raisonnement de Damien, je ne comprends pas cette phrase :

- jetons une grenade en (2), l'histoire ne continue que si le soldat était en (4)

Pourquoi ne peut-il pas être en 1, 3,4,5?

Fred.

Barbichu

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Re : Le grenadier et le soldat

Re,
tu as juste loupé une phrase Fred : "Supposons que la position initiale du soldat [...] soit paire",
le raisonnement de Damien est nickel
++

Fred

Administrateur

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Re : Le grenadier et le soldat

Désolé!!! Très jolie solution!

Fred.