Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sedah

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[Résolu] ex 1

Bonsoir j 'aurai besoin de vous SVP pour me corriger mon exercice 1 de mon dm
SVP
MERCI :)

ABCD est un rectangle de cotés AB=7cm et AD=5cm Sur chaque cotés on a placé les points M,N,P et Q tels que AM=BN=CP=DQ= x  avec 0<(=) x<(=) 5

1)Demontrer que MNPQ est un parallelogramme
2)Calculer en fonction de x , l 'aire s(x) de MNPQ
Verifier que s(x)=2(x-3)²+17
3) la fonction s 'est un enchainement de 3 fonctions f,g et h dans cet ordre
donner en fonction de x , l 'expression de chacune de ces 3 fonctions
4)Soit a et b 2 reels superieurs à 3 tel que a<b
comparer par enchainement des fonctions f, g et h les images s(a) et s(b)
en deduire la variation de s sur l 'intervalle [3;5]
5)Demontrer que 17 est le minimun de la fonction s sur l 'intervalle [0;5]
pour quelles valeures de x est -il atteint ?
quel est le maximum de s sur l 'intervalle [0;5]
6)Donner une representation graphique de cette fonction , apres avoir dressé un tableau de valeur
Dresser le tableau de variation de la fonction s
7) calculer la valeur de x telle que S(x)=25 ?
En deduire l 'intervalle sur lequel S(x) >= 25 ( faire un tableau de signe )
verifier graphiquement

mes resulats
1)MNPQ est un parallélogramme ?
M appartient à [AB]
N appartient à [BC]
P appartient à [CD]
Q appartient à [AD]
tel que la longueur des cotés appelé x est comprise entre 0 et 5
et que AM=BN=CP=DQ
Donc si AM=BN=CP=DQ et que les 4 cotés  d 'un quadrilatere sont egaux alors MNPQ est un parallelogramme
2) je sais que l 'air d 'un parallelogramme c 'est base * hauteur
mais je suis pas arrivée
verifier que s(x)=2(x-3)²+17
s(x)=2(x-3)(x-3)+17
s(x)=2(x²-6x+9)+17
s(x)=2x²-12x+18+17
s(x)=2x²-12x+35
3)
si la fonction s(x) = 2(x-3)²+17
alors
f(s)=(x-3)
g(s)=(x-3)²
h(s)=2(x-3)²+17
4)
pour f(s)=x-3
a<b
a-3<b-3
f(a)<f(b)
donc f est croissante sur R+

pour g(s) = (x-3)²
a<b
(a-3)<(b-3)
(a-3)²<(b-3)²
g(a)<g(b)
g est croissante sur R+

pour h(s)= 2(x-3)²+17
a<b
(a-3)<(b-3)
(a-3)²<(b-3)²
2(a-3)²<2(b-3)²
2(a-3)²+17<2(b-3)²+17
h(a)<h(b)
h est croissante sur R+

Sur l intervalle [3;5] la courbe f(s)=2(x-3)²+17 est croissante

5) 17 minimun atteint à ?
f(s)=17
2(x-3)²+17=17
2(x-3)²+17-17=0
2(x-3)²=0
2(x-3)(x-3)=0
2=0 impossible
ou
x-3=0
x=3

17 est le minimun il est atteint au point 3 , de plus la fonction est affine et 17 est l 'ordonnée à l 'origine point par lequel la courbe coupe l 'axe des ordoonées.
le maximum dee l 'intervalle [0;5] est 35 atteint au point 0 ( je l 'ai fait graphiquement mais je voudrais bien savoir comment on procede par le calcul SVP merci)

6) j 'ai fais la courbe
voici mon tableau de variation

  x                     -infini                    3                           +infini

s(x)                       decroissant        17       croissant

s(x) est croissant de -infini à 3 puis elle est croisante de 3 à plus l 'infini .

7)s(x)=25
je me rapelle plqu je sais qu 'il faut factoriser mais je vois pas ocmment avec le 17
est ce que vous pourrize jsute m 'aider mais pas plus
merci
s(x)>=0

MERCI

yoshi

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Re : [Résolu] ex 1

Salut Sedah,

Bin, si je me contente" de t'aider, mais pas plus", on en a pour un moment, parce que cet exercice, contrairement au précédent, est très "touffu" !

1. Encore une fois, une démonstration s'appuie sur des règles... Quelle règle as-tu-utilisé pour MNPQ parallélo ? Aucune !  Blablabla ! Je sais, c'est désagréable à lire...
4 côtés égaux ? Lesquels ? Quels sont les côtés égaux du parallélogramme et pourquoi ?
Je te signale qu'un quadrilatère qui a 4 côtés égaux est un losange et donc par contrecoup, un parallélogramme. Mais le contraire est loin d'être vrai... En l'occurence ici, ça n'est vrai que pour une position précise : M,N, P et Q milieux des côtés.
Or, ton exo done AM=BN=CP=DQ = x qui est une valeur inconnue. Donc, il est impossible de prouver que MNPQ a ses côtés de même longueur...
4 côtés égaux [b]deux à deux[b], ok :
Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Tu dois donc prouver que :
MQ = NP et que MN = QP.
Tu vas le prouver en comparant les carrés pour utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AMQ et CPN, puis MBN et QDP
AM = CP ,
puis BC = AD, or BN = DQ, donc BC  - BN = AD - QD, donc  CN = AQ
Et maintenant tu prouves que MQ² = PN², donc...
Et tu recommences pour MN = PQ...

2. Aire du parallélo. Moi non plus si j'essaye base * hauteur, je n'y arrive pas non plus...
Heureusement, si tu colories ton parallélogramme, tu vois qu'il reste 4 zones blanches dans ton rectangle : nos 4 triangles rectangles précédents... Vois-tu comment tu vas calculer cette aire s(x) ?
Lorsque ce sera fait, tu développeras et tu réduiras et tu tomberas sur s(x) = 2x² - 12x + 35
A ce moment tu pourras placer ta vérification (qui est juste).

3. Non. Regarde donc le corrigé de ton précédent DS...
Si tu dis que :  f(x) = x - 3 et g(x)=(x-3)², alors on a :
x --f--> (x-3) l'image est le nombre (x-3) tout entier, c'est pour cela que je l'ai mis entre parenthèses,
et j'applique g à (x-3), c'est à dire que (x-3) devient un antécédent pour g. Que fait g à un antécédent ? Toi tu dis que l'on prend l'antécédent on lui enlève 3 et le résultat est élevé au carré, soit [(x-3)-3]² = (x-6)²...
Au passage, qu'est devenu le 2 de 2(x - 3)² ?
x |--f--> f(x)= x - 3  d'accord
mais x |--g--> 2x²... g(x)=2x²  : on prend l'antécédent, on l'élève au carré et on le multiplie par 2...
Ainsi quand l'antécédent est (x-3) on fait (x-3)² puis 2(x-3)²...
donc x |--f--> x - 3 |--g--> 2(x - 3)².
A toi de continuer avec h...

4. On en reparlera quand tu auras réglé les problèmes du 3)...
g et s sont faux, alors...
D'autre part, tu ne pouvais pas écrire g(s) = (x-3)² ; c'était soit g(s)= (s-3)², soit g(x) = (x-3)²... pas les deux...

5) Dans le 4) on a prouvé qu'avec a et b tels que 3<a<b on arrive à s(a)<s(b)... et plus précisément à 17<s(a)<s(b) qui montre que 17 est minimum sur [3 ; 5]..
Maintenant on demande sur [0 ;5]... Donc, tu dois montrer que si 0<a<b<3 alors 17<s(b)<s(a) s décroissante sur [0 ; 3] et 17 mini...
Pour quelle valeur de x, s(x) minimum -- ok, c'est bon...
Maximum atteint quand ? Pour le voir si tu colories l'intérieur du parallélo, il te faut déplacer M, N, P et Q de telle façon qu'il n'y ait plus de pertes (plus de zones blanches !)...
Tu ne peux pas tracer de courbe depuis -oo..s(x) est l'aire du parallélo et le domaine de définition de ta fonction f est [0 ; 5] : x est une longueur et n'est donc pas négative...
Par raisonnement déjà vu : s(x)=2(x-3)²+17
17 ne changera pas et 2 non plus pour que s(x) soit maximum, il faut que (x-3)² soit maximum et donc que |x - 3| maximum, donc pour x = 0 .

6) RAS

7) Ca aussi, déjà vu...
Tu poses s(x)=25, soit  2(x-3)²+17=25
Tu passes le 25 dans le 1er membre, tu réduis...
tu divises le tout par 2 et obtiens une différence de 2 carrés que tu factorises
Tu résous l'équation...
pour la suite c'est s(x)>= 25 tu reprends ta forme factorisée et tu résous cette fois (..-..)(..-..) >= 0

@+

sedah

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Re : [Résolu] ex 1

bonjour Yoshi et merci :)
donc voici ce que j 'ai pu faire grace à vos conseils qui m 'ont ete precieux :):)
est ce que c 'est bon ?? car lors des calculs aucun ne correspond .?

1) pour MNPQ parallelogramme ?
dans le triangle AQM rectangle en A
QM²=AQ²+AM²
QM²=(x)²+(x)²
QM²=2x²
dans le triangle PCN rectangle en C
PN²=PC²+CN²
PN²=(x)²+(x-5)²
PN²=x²+(x-5)(x-5)
PN²= 2x²-10x+25

dans le triangle QDP rectangle en D
QP²=QD²+DP²
QP²=(5-x)²+(x-7)²
QP²=(5-x)(5-x)+(x-7)(x-7)
QP²=25-5x-5x+x²+49-7x-7x+x²
QP²= 2x²-24x+74
QP²=2(x²-12x+35)

dans le triangle MNB rectangle en B
MN²=MB²+BN²
MN²=(x-7)²+(x)²
MN²=(x-7)(x-7)+(x)²
MN²=x²-7x-7x+49+x²
MN²=2x²-14x+49

voila ce que j 'ai si je fais les calculs :(

2) aire
aire de ABCD
base *hauteur
= 7*5
aire ABCD = 35cm²
pour aire de MNPQ j 'ai fais
(5-x)²+(7-x)²
(5-x)(5-x)+(7-x)(7-x)
25-5x-5x+x²+49-7x-7x+x²
2x²-24x+74
2(x²-12x+35)

pour la 5
bon j 'ai refait à partir de f , g et h la courbe est croissante sur les 3
mais pour 17 j 'ai pas compris comment il faut faire .
est ce qu 'il faut que je fasse a<b
pour f(s) = (x-3)
a<b
a-3<b-3
f est croissante ?
et pour le maximum sur [0;5 ] c 'est 35 atteint à 0 je l 'ai fais graphiquement

7)S(x) = 25
2x²-12x+35=25
2x²-12x+35-25=0
2x²-12x+10=0
x²-6x+5=0
x²-6x+9=4
(x-3)²=4
(x-3+2)(x-3-2)=0
(x-1)(x-5)=0
x-1=0
x=1

x-5=0
x=5

S=1 et 5

pour le tableau de signe

             x            -infini             1                5            +infini
x-1                            -            0     +                +
x-5                          -                      -          0        +
(x-1)(x-5)               +             0        -         0      +

S= ]-infini;1[ U ]5;+infini[

et graphiquement c 'est ça
MERCI :)

Dernière modification par sedah (15-04-2009 13:49:28)

yoshi

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Re : [Résolu] ex 1

RE,

1. Il n'y a même pas besoin de calculs...
Il y a deux fois deux triangles identiques :
J'ai écrit :

Tu dois donc prouver que :
MQ = NP et que MN = QP.
Tu vas le prouver en comparant les carrés pour utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AMQ et CPN, puis MBN et QDP
AM = CP,
puis BC = AD, or BN = DQ, donc BC  - BN = AD - QD, donc  CN = AQ
Et maintenant tu prouves que MQ² = PN², donc...
Et tu recommences pour MN = PQ...

--> AM=CP =x
--> Puisque BN = x, alors NC = (5 - x) et puisque DQ = x, alors (AQ = 5 - x), donc on a bien CN = AQ
Donc AM² + AQ² = CP² + NC² =x²+ (5 - x)²
Or ABCD étant un rectangle, Les angles A et C sont droits et les triangles QAM et PCN sont rectangles en A et C.
Donc d'après le théorème de Pythagore :
AM² + AQ² = QM²  et CP² + NC² = PN² .
Or, on sait maintenant que AM² + AQ² = CP² + NC².
Donc QM² = PN² et, comme ce sont des longueurs, QM = PN
Tu as écrit  (x - 5)² mais c'est (5- x)² : ce sont des carrés ça ne change rien au résultat, n'empêche que ton prof te le ferait remarquer...

Tu fais la même chose pour les triangles MBN et QDP
MB = DP = (7 - x)  et  BN = QD = x

2) Non...
Tu vois bien que si tu as le rectangle ABCD entre les mains, pour qu'il ne reste plus que le parall"logramme MNPQ, tu dois décoiper (donc enlever les 4 trianles rectangles
Aire MNPQ = Aire ABCD - (Aire AMQ+Aire MBN+ Aire NCP+Aire QDP)
ou encore Aire MNP = Aire ABCD - (2*Aire AMQ + 2*Aire MBN)
Aire ABCD = 7 * 5
2*Aire du triangle rectangle AMQ = AM*AQ = 2x*(5-x)
2*Aire du triangle rectangle MBN = BN*BM = 2x*(7-x)

Et ces 3e et 4e questions ? Où en es-tu ?

5) Je te répète que tu ne peux pas écrire f(s) = x-3 : c'est soit f(x) = x -3n, soit f(s) = s - 3.
Ici, c'est f(x) = x - 3...
Bon, il y a deux façons de faire...
1. Méthode en deux fois...
Intervalle [3 ; 5]
hs(x)=2(x-3)²+17 et 3<a<b...
On ajoute-3 à tous les membres
0<a-3<b-3
Comme les nombres sont positifs, ils sont dans le même ordre que leurs carrés ;
0<(a-3)²<(b-3)²
La multiplication par un réel positif ne change pas l'ordre :
0<2(a-3)²<2(b-3)²
On ajoute 17 à tous les membres :
17<2(a-3)² + 17<2(b-3)²+17
Puis intervalle [0 ; 3]
Avec 0 <a < b < 3
---> -3 < a- 3 < b -3 < 0
Les nombres sont négatifs donc dans l'ordre inverse de leurs carrés :
---> 0<(b-3)²<a-3)²< (-3)²
---> 0 < 2(b-3)² <2(a -3)² < 18
Et enfin 17 < 2(b-a)² +17 < 2(a-3)²+17 < 35
soit 17<s(b)<s(a)<35
La fonction est décroissante sur [0 ; 3] de minimum 17, de maximum 35

Autre méthode
Prouver que quel que soit x de [0 ; 5] on a toujours s(x)>=17
Soit  2(x-3)²+17>=17 ou encore 2(x-3)² >0 et enfin (x-3)² >0 ce qui est toujours vrai : un carré est toujours positif ou nul...

7) Ca me gêne énormément que tu travailles sur ]-oo; +o[...
x représente une longueur de plus le maximum possible pour x est 5 (le point N tel que BN = x  reste entre B et C donc  0<= x <=5).
Moi, je tracerais le tableau entre 0 et 5...
La formulation de l'énoncé peut prêter à cette confusion. d'autant que si on reste entre 0 et 5, il y a une subtilité :

    x      | 0      1        5|
-----------|------------------|
 x - 1     |    -   0    +    |
-----------|--------|---------|
 x - 5     |    -   |    -   0|
-----------|--------|---------|
s(x)-25    |    +   0    -   0|

En effet, on veut s(x) >=25, c'est à dire s(x)-25>=0
Dans ce cas on a S = [0 ; 1] U {5}
L'intervalle [0 ; 1] plus  le nombre 5...

Evidemment, ça ne va pas être possible, sinon je t'aurais dit d'aller voit ton prof et lui dire que : x ètant une longueur telle 0 < = x <= 5 et s(x) l'aire du parallélogramme qui vaut au maximum 35, tu te demandes si sa question veut te faire étudier les variations sur ]-oo ; +oo[...

@+

sedah

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Re : [Résolu] ex 1

bonjour Yoshi et merci :)
j 'ai compris et la questio n1 et terminé par contre j 'ai  un souci à la 2 pour calculer l 'air
voici ce que j 'ai fait en suivant vos methodes c 'est que je tombe pas sur le meme resultat donc lequel est bon et où est mon erreur ??SVP

si je fais aire MNPQ=aire ABCD-( aire AMQ+aireMBN+aireQDP+airePCN)
=   35-(10x-2x²+14x-2x²+14x-2x²+10x-2x²)
=35-(-8x²+48x)
=35+8x²-48x
=8x²-48x+35

si je fais avec l 'autre formule j 'ai
aire MNPQ=aire ABCD-(2*aire AMQ+2*aire MBN)
               =      35-[2*(10x-2x²)+2*(14x+2x²)]
                =  35-(20x-4x²)+28x+4x²)
= 35-(20x-4x²+28x+4x²)
=35-(20x+28x)
35-(48x)
35+48x

voila mon probleme lequel est bon et ou est mon erreur ? SVP

yoshi

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Re : [Résolu] ex 1

Salut sedah,

:-((
Les deux sont fausses :
Aire ABCD = 7*5=35
Aire AMQ = (AM*AQ)/2 = [x(5-x)]/2 ---> 2* Aire AMQ = x(5-x) = 5x - x²
Aire MBN = (BN*MB)/2 = [x(7-x)]/2 ---> 2* Aire MBN = x(7 - x) = 7x - x²
Aire NCP =  (CP*CN)/2 = [x(5-x)]/2
Aire DQP = (DQ*DP)/2 =  [x(7-x)]/2

Et tu vois que Aire AMQ + Aire NCP = 2*Aire AMQ et Aire MBN + Aire DQP = 2*

Donc aire MNPQ = 35 - [x(5-x)+x(7-x)]
A toi de jouer...

Pour tes erreurs.
Tu as écrit :
1ere méthode :

aire MNPQ=aire ABCD-( aire AMQ+aireMBN+aireQDP+airePCN)
=   35-(10x-2x²+14x-2x²+14x-2x²+10x-2x²)
=35-(-8x²+48x)
=35+8x²-48x
=8x²-48x+35

Quand tu écris 2*(10x-2x²), c'est la même erreur que l'autre méthode pour le calcul de l'aire d'un triangle rectangle... en fait c'est 2*[x(5-x)]/2 = x(5-x) = 5x - x²
un triangle rectangle, c'est la moitié d'un rectangle : c'est aire rectangle/2 =( L*l)/2 et dans le cas du triangle rectangle, c'est : (côté angle droit * autre côté de l'angle droit)/2...
Et toi tu écris 10-2x² quand moi j'écris  [x(5-x)]/2, c'est à dire (5x - x²)/2 qui est 4 fois (!) plus petit que ce que tu trouves...
Pour 14x-2x² c'est la même erreur, en réalité c'est  (7x - x²)/2...
Si je divise 8x²-48x par 4, je tombe sur 2x²-12x

2e méthode :
tu as écrit :

aire MNPQ=aire ABCD-(2*aire AMQ+2*aire MBN)
               =      35-[2*(10x-2x²)+2*(14x+2x²)]
                =  35-(20x-4x²)+28x+4x²)
= 35-(20x-4x²+28x+4x²)
=35-(20x+28x)
35-(48x)
35+48x

2*(10x-2x²) c'est la même erreur sur la formule de l'aire du triangle rectangle, en réalité il faut trouver 2[x(5-x)]/2 = x(5-x) =5x - x²
Et pour 2*(14x+2x²), tu auras deviné que c'est encore la même erreur... Mais tu as trouvé que c'était encore mieux de rajouter une faute d'étourderie : en toute bonne logique, avec l'erreur de formule, mais sans la faute d'étourderie, tu aurais dû écrire :  2*(14x-2x²) - et non + !

Et c'est là que je m'aperçois que, MOI, j'avais écrit (message #4) :

2*Aire du triangle rectangle AMQ = AM*AQ = 2x*(5-x)
2*Aire du triangle rectangle MBN = BN*BM = 2x*(7-x)

Je ne me suis pas relu, j'aurais dû écrire :
2*Aire du triangle rectangle AMQ = AM*AQ = x*(5-x)
2*Aire du triangle rectangle MBN = BN*BM = x*(7-x)

J'ai donc aussi fait une faute d'étourderie due aux différentes corrections effectuées pour rendre mes explications de plus en plus claires et il arrive à ce moment-là, que j'oublie de rectifier quelque chose... Et patatras... !
Ce n'est pas la première fois, ni, hélas, la dernière...

Mais quand même, tu ne t'es donc pas posé la question, sachant que j'ai écrit AM*AQ = 2x*(5-x), que AM = x et AQ = 5-x :
<< Bon sang ! Mais d'où sort donc ce 2 ? C'est faux ! >>

Sedah, tu ne dois pas faire confiance aveuglément : devant un corrigé, fais marcher ta cervelle ! ;-)

@+

sedah

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Re : [Résolu] ex 1

bonjour Yoshi
oui en effet je comprend mieux maintenant lol les resulats correspondent excusez moi c 'est vrai j 'aurai du faire attention mais je ne n 'allais  tout de meme pas vous contre dire alors que vous en savez plus que moi, de meme que je vous fait confiance vous savez ce que vous faites malgré cette petite maladresse lol .Maintenant c 'est bon j 'ai fait les calculs des 2 methodes et le resulats correspond j 'ai : 4x²-24x+35
c 'est ça ?
merci :)

yoshi

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Re : [Résolu] ex 1

Salut,

Bin, non !
Cette fois, j'ai pourtant bien écrit :

Aire AMQ = (AM*AQ)/2 = [x(5-x)]/2 ---> 2 Aire AMQ = x(5-x) = 5x - x²
Aire MBN = (BN*MB)/2 = [x(7-x)]/2 ---> 2* Aire MBN = x(7 - x) = 7x - x²

Donc Aire MNPQ = 35 -[x(5-x)+x(7-x)]=35 -(5x-x²+7x-x²)=2x²-12x+35

Il y a donc encore une multiplication par 2 en trop qui traîne quelque part dans tes calculs...
Vérifie ! Si tu ne la trouves pas, reviens !

Ce n'est pas une question d'en savoir plus : c'est tellement facile de se tromper quand "on fait directement au propre " : personne ne peut se vanter de ne jamais se tromper... ;-) C'est pour cela qu'il faut être vigilant !

@+

sedah

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Re : [Résolu] ex 1

bonsoir :)
cette fois c 'est bon :)
MERCI BEAUCOUP
en fait finallement c 'est facile :)
MERCI à VOUS :):):)