DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

dizzie · 25-03-2009 17:07:24

Bonjour, j'ai un DM sur les suites à rendre la semaine prochaine et je n'arrive pas à terminer l'exercice 2:

Soit f une fonction de N dans N :
pour n un entier, f(2n) = n et f(2n+1) = 3n+2.

question 1/ montrez que si n s'écrit sous la forme [tex]n = 2^a 3^b[/tex], avec a et b des entiers et a non nul, alors f(n) est divisible par [tex]3^b[/tex].
(Ca c'est pas dur j'ai réussi mais je le met quand même pasque ça peut peut etre aider pour la suite de l'exo)

On définit la suite (Un) avec U0 un entier non nul (quelconque) et Un+1 = f(Un).
question 2/ Montrez que la suite Un ne converge pas.
(Ca aussi j'ai réussi, par l'absurde, si ça converge, alors c'est égal à un entier toujours le meme a partir d'un certain rang, et c'est pas possible car f(x)=x <=> x=0 et U0 non nul)

question 3/ Montrez qu'il existe n tel que Un=1.

J'ai essayé de faire une récurrence mais ça marchait pas :p

Si qqun peut m'aider... merci

Fred · 25-03-2009 17:50:18

Bonjour,

Je crois que ton prof vous a fait une blague.A condition de changer le 3n+2 en 3n+1,
c'est le problème de Syracuse : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … acuse.html

Cela dit, peut-être qu'avec 3n+2 au lieu de 3n+1, c'est faisable...

Fred.

dizzie · 25-03-2009 20:12:38

J'ai vérifié c'est bien 3n+2 et pas 3n+1. Apparement c'est un exo tiré d'un sujet de Bac... donc j'espère quand même que c'est faisable pour nous!

yoshi · 26-03-2009 11:22:58

Bonjour,

Oui, ça marche... Et ce qui reste une conjecture avec 3n+1 voir le lien "conjecture de Syracuse" de Fred, se démontre (enfin je crois) avec 3n+2...
Quelques prémisses :
1. Tout nombre pair, puissance de 2, aboutit à 1 pour un nombre n d'itérations,
2. Tout nombre pair non puissance de 2 est le produit d'un nombre pair par un nombre impair, et après un certain nombre de divisions, le quotient sera un nombre impair.
Ca c'est facile à prouver.

Je vais passer en revue les premiers nombres impairs :

  n   |    2n+1   |     3n+2    |   2^k   |   2^k - 2   |    C_i     | m = 4*C_{i-1}+1  |

------|-----------|-------------|---------|-------------|------------|------------------|

  0   |      1    |        2    |    2^1  |  0 = 6 * 0  |      0     |                  |

  1   |      3    |        5    |         |             |            |                  |       

  2   |      5    |        8    |    2^3  |  6 = 6 * 1  |      1     |       1          | 

  3   |      7    |       11    |         |             |            |                  |

  4   |      9    |       14    |         |             |            |                  |

  5   |     11    |       17    |         |             |            |                  |

  6   |     13    |       20    |         |             |            |                  |

  7   |     15    |       23    |         |             |            |                  |

  8   |     17    |       26    |         |             |            |                  |

  9   |     19    |       29    |         |             |            |                  |

 10   |     21    |       32    |    2^5  | 30 = 6 * 5  |      5     |       5          |

 ...  |           |             |         |             |            |                  |

 42   |     85    |      128    |    2^7  |126 = 6 * 21 |     21     |      21          |

 ...  |           |             |         |             |            |                  |

170   |    341    |      512    |    2^9  |510 = 6 * 85 |     85     |      85          |

Qu'est-ce que je fais avec ce tableau ? Je cherche une loi qui permettrait de montrer, s'il existe k, et à quelle condition, tel que 3n+2 = 2^k, alors 2n+1 aura pour image un nombre puissance de 2 qui aboutira à 1.
Si 3n+2 est une puissance de 2 alors 2^k -2 est divisible par 3 et plus précisément par 6 : 2^k - 2 = 6 * (4*m + 1)..

Mon tableau prouve que c'est vrai pour k impair et pour des valeurs simples.
Je suppose que 2^k - 2 = 6m et je vérifie pour 2^(k+2) - 2 :
2^(k+2) - 2 = 4 * 2^k - 2 = 4*(6m+2) - 2 = 24m + 8 - 2 = 24m + 6 = 6(4m+1)

Donc si k impair, 2^k - 2 est bien un multiple de 3, et donc il existe bien n tel 3n+2 = 2^k qui aboutira à 1 après divisions successives...
Et si k pair ?
k = 2h
Il faudrait prouver que 2^k n'est jamais égal à 3n+2.
Mais je ne crois pas que ce soit nécessaire, parce que l'énoncé demande de prouver l'existence d'un n tel que U_n = 1.
Il me semble que c'est fait...
Bon, ceux qui ont eu ça au Bac, n'ont pas dû rigoler.

A toi de voir si tu peux tirer quelque chose de ça... Mon souci c'est que ne vois pas (dans un délai raisonnable) le lien avec la question 1. et ça me gêne !

Toute autre lumière sur le sujet bienvenue.

@+

freddy · 27-03-2009 22:59:23

Bonsoir !

Beau sujet, normalement soluble assez facilement si posé au Bac.

Bravo pour les réponses aux questions 1 et 2. Bien sûr, elles préparent 3.

Suggestion : réécrire l'application de N dans N sous la forme :

si p est pair, alors f(p)=p/2

si non, alors f(p) = 3p/2 +1/2 nombre nécessairement entier.

Donc prenons Uo pair et supposons que les images successives par f restent paire => on aura bien à un moment donné Un=Uo/2^n =1 par le théorème de factorisation. QED

Si Uo est impair ou bien si, Uk est impair, regarder comment il s'écrit en puissance de 3 et de 2. Bien regarder les bifurcations pair/impair.

On se souviendra qu'on est dans N, donc la soluce est au bout du stylo ...
Bon courage.
Je repasse demain soir !

PS : je trouve l'idée de Yoshi sympa, mais inexploitable dans le contexte d'un examen.

Dernière modification par freddy (27-03-2009 23:04:19)

jean françois. · 29-03-2009 16:45:09

Salut freddy, je suis désolé de te dire que tes conseils induisent plus dizzie en erreur qu'autre chose. Certes l'exercice est du niveau du Bac mais ce n'est pas pour autant qu'il faut le prendre de haut et croire que n'importe quelle idée de piste va marcher. En outre la tienne ne fonctionne pas, et la récurrence est bien plus adaptée (mais tu semble penser que N est un ensemble inadapté à la récurrence... !?!).

Dizzie, si tu utilise une récurrence sur U0, en distinguant 3 cas (je te laisse deviner lesquels... attention à ne pas rester trop concentré sur le problème de la parité... qui complique plus les choses je pense), tu peux parvenir à résoudre le problème de manière raisonnable.

PS: essaie de trouver une fonction g telle que g(f(n)) soit intéressant à exprimer ;-)... j'en dis pas plus!

freddy · 29-03-2009 23:51:54

Bonsoir Jean François, je tiens à votre disposition quelques beaux sujets d'arithmétique où une application automatique du raisonnement par récurrence mal maîtrisé conduit à de belles absurdités.

Dans cette branche des mathématiques, il faut avoir une compréhension profonde de ce qu'on fait, alors qu'il suffit en Analyse d'avoir des "techniques" qui marchent bien.

Bien à vous.

freddy · 01-04-2009 13:46:48

jean françois. a écrit :

Salut freddy, je suis désolé de te dire que tes conseils induisent plus dizzie en erreur qu'autre chose. Certes l'exercice est du niveau du Bac mais ce n'est pas pour autant qu'il faut le prendre de haut et croire que n'importe quelle idée de piste va marcher. En outre la tienne ne fonctionne pas, et la récurrence est bien plus adaptée (mais tu semble penser que N est un ensemble inadapté à la récurrence... !?!).
Dizzie, si tu utilise une récurrence sur U0, en distinguant 3 cas (je te laisse deviner lesquels... attention à ne pas rester trop concentré sur le problème de la parité... qui complique plus les choses je pense), tu peux parvenir à résoudre le problème de manière raisonnable.
PS: essaie de trouver une fonction g telle que g(f(n)) soit intéressant à exprimer ;-)... j'en dis pas plus!

Hi Jean François, pourriez vous nous montrer SVP, j'avoue sécher sur ce problème et me demander en quoi il diffère de la conjecture de Syracuse.

Merci d'avance.

jean françois · 01-04-2009 21:17:22

Tiens donc, mister freddy a supprimé son post d'il y a 3 jours dans lequel il annonçait tout fièrement une jolie démonstration de la question 3!!!

Pourquoi l'avoir supprimé si c'était une démonstration dans laquelle tu avais "une compréhension profonde de ce que tu faisais"?

jean françois · 01-04-2009 21:19:21

... et pourquoi dire que tu sèches désormais sur une démonstration que tu as déjà pensée, faite, et écrite en public?

dizzie · 01-04-2009 21:30:58

bonsoir tout le monde. merci pour vos contributions. Yoshi désolé... mais j'ai pas tout suivi de ta démo, notemment les divisions par 3 d'une puissance de 2, erreur de frappe je suppose? merci quand meme :))

En effet freddy avait posté une démonstration mais en voulant la réécrire au propre il manquait des cas et donc ça ne marchait pas du tout, j'ai bien essayé de compléter mais rien n'y a fait :p

En fait j'ai pris une suite Vn construite selon les conseils de jeanfrançois en multipliant Un selon sa congruence modulo 2 (la fonction g dont tu (jeanfrançois) parlais). Et en effet après quelques essai perdus j'ai trouvé une transformation qui permet de résoudre le problème rapidement! ça parait si simple quand on l'écrit... mais si dur quand on a le problème sous les yeux à blanc! merci à jean françois sans les conseils duquel j'aurais sans doute pas avancé du tout :-p

Fred · 01-04-2009 21:58:01

Bonsoir dizzie,

C'est étrange qu'à l'X on ait besoin de résoudre pour la semaine prochaine un DM de spé maths de Terminale????
Mais je suppose que Jean-François a pu t'expliquer tout cela de vive voix!

Fred.

freddy · 02-04-2009 09:01:49

dizzie a écrit :

bonsoir tout le monde. merci pour vos contributions. Yoshi désolé... mais j'ai pas tout suivi de ta démo, notemment les divisions par 3 d'une puissance de 2, erreur de frappe je suppose? merci quand meme :))
En effet freddy avait posté une démonstration mais en voulant la réécrire au propre il manquait des cas et donc ça ne marchait pas du tout, j'ai bien essayé de compléter mais rien n'y a fait :p
En fait j'ai pris une suite Vn construite selon les conseils de jeanfrançois en multipliant Un selon sa congruence modulo 2 (la fonction g dont tu (jeanfrançois) parlais). Et en effet après quelques essai perdus j'ai trouvé une transformation qui permet de résoudre le problème rapidement! ça parait si simple quand on l'écrit... mais si dur quand on a le problème sous les yeux à blanc! merci à jean françois sans les conseils duquel j'aurais sans doute pas avancé du tout :-p

Bonjour Dizzie,

en effet, je pensais avoir trouvé (niveau bac je me suis dit, et il y a urgence, et j'ai fait confiance à une intuition tardive et ...), et me suis trompé. J'ai commis un péché d'orgueil, je le reconnais bien volontiers. Puis, j'ai un peu plus réfléchi au pb, j' ai trouvé une autre approche avant minuit et , re belote, re péché d'orgueil ... Alors, j'ai commencé à cogiter. Mais j'étais "content" de ma sous suite réelle positive,monotone décroissante , convergente vers 0. J'ai donc viré l'erreur.... J'avoue que les problèmes du Monde sont moins difficiles.
Bien entendu, j'ai vérifié sur ordinateur que ça marchait (27 et 257 mettent un certain temps pex)... et j'ai choisi de demander la solution, car j'aurais bien aimer voir. J'ai compris que je ne l'aurais pas.
Je vais donc chercher (je suis un peu obstiné) compte tenu de votre remarque.
A propos, c'est comment l'histoire du rocher pas loin du Capitole (lol).

yoshi · 02-04-2009 09:43:50

Bojour,

Oui, dizzie, j'avais laissé des coquilles, mais elles devraient être corrigées déjà depuis un certain temps (je vais revérifier), c'était 2^k - 2 divisible par 3, et non 2^k (on le voyait avec le tableau). Désolé...
Dizzie, la conjecture de Syracuse (Il y a une prime qui court toujours pour la démonstration...) :
[tex]\forall a \in \mathbb{N^*}; U_0 = a[/tex]
[tex]U_{n+1}={U_n \over 2}[/tex] si n est pair
[tex]U_{n+1}=3U_n +1[/tex] si n est impair
On peut trouver n tel que Un = 1.
Voir aussi pour plus de détails, outre Bibm@th, http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse
La différence avec ton problème : le 3Un+1 au lieu du 3Un + 2, ce qui fait que la démonstration que j'ai proposée, ne marche plus...

Et pour ce que j'ai fait, ça marche... Je vais voir toujours dans mon style "tordu", si je peux venir à bout dela partie que j'ai déclarée non nécessaire...
Bon, je suis curieux de voir la démo de Jean-François...

@+

PS

Freddy a écrit :

A propos, c'est comment l'histoire du rocher pas loin du Capitole (lol) ? Freddy

Si c'est une vraie question, voilà la réponse :
La roche : ce n'est pas une roche quelconque, c'est la "Roche tarpéienne" : c'était dans la Rome antique, le (un ?) lieu d'où l'on précipitait les condamnés à mort...
Capitoli proxima : il s'avère que cette "Roche tarpéienne" était très proche du Capitole où siégeaient les "puissants" de l'époque..
L'ensemble de la sentence (en français : il n'y a qu'un pas du Capitole à la "Roche tarpéienne") est là pour rappeler qu'aussi puissant (et ici "calé") que l'on soit, on n'est pas pour autant à l'abri des gaffes et de la sanction (ici : on vous met le nez dans vos erreurs)...
La preuve, je pensais avoir nettoyé les coquilles dans ma démo : il en restait encore une et j'en ai aussi profité pour placer une ou deux virgules rendant mon texte plus lisible.

freddy · 02-04-2009 10:59:19

Merci Yoshi, mais c'était un private joke, je sais depuis longtemps que nul n'est à l'abri d'erreurs. Ce qui compte est de savoir vite les reconnaître et de les corriger.

dizzie et jean françois · 02-04-2009 11:04:00

Salut... bon d'accord on a la même adresse IP lol!
j'aurais pu continuer avec "non mais c'est l'adresse du proxy la même pour tout le monde, et je suis juste la fille d'un des militaires qui vivent ici ;-)... et je suppose que jean-françois est un élève ou un prof, que je ne connais pas."

mais bon...

un pti poisson d'avril !

PS: la question 3 C'EST la conjecture de syracuse, la suite étant sous sa forme "compressée" (le cas Up impair donnant nécessairement Up+1 pair)

freddy · 02-04-2009 11:14:02

J'ai un copain de travail (ENS ULM 72) qui avait bcp travaillé sur cette conjecture dans sa jeunesse. En particulier, il avait cherché à développer un argument statistique. Ca n'a rien donné ...
Interrogé ce matin, il m'a vite dit qu'il ne voyait pas l'écart entre 3x+1 et 3x+2 !
Bon, je retourne bossser, j'ai un métier qui me fait vivre ...

Fred et Yoshi : c'est quoi déjà, un fake ? (lol)

yoshi · 02-04-2009 13:02:41

B'jour,

Bin, dans mon cas, ce qui possible dans ma démo avec 3n + 2 et donc 2^k - 2 ne marche plus avec 3n+1 et donc 2^k - 1...

@+

yoshi · 02-04-2009 13:40:54

B'jour,

Bin, dans mon cas, ce qui possible dans ma démo avec 3n + 2 et donc 2^k - 2 ne marche plus avec 3n+1 et donc 2^k - 1 et réciproquement...

dizzie a écrit :

PS: la question 3 C'EST la conjecture de syracuse, la suite étant sous sa forme "compressée" (le cas Up impair donnant nécessairement Up+1 pair)

La question 3) ne peut pas être la conjecture de Syracuse, compressée ou non, puisque cela reste encore une conjecture, donc non prouvée... Comment peut-on demander cette preuve, à des élèves de TS, même spé Maths, et au Bac en prime, alors que tant de mathématiciens "confirmés" se sont cassés les dents dessus depuis des décades ?

Même avec Syracuse normal, Up impair donne nécessairement Up+1 pair :
Up = 2k+1 donc U_{p+1}=3(2k+1)+1 = 6k+3+1 = 6k+ 4 = 2(3k+2) pair
Alors que dans le cas du pb : si V_p = 2k+1 alors V_{p+1}=3k+2 qui n'est pair que si k est lui même pair...
La question 3 demande la même conclusion que la conjecture de Syracuse, ça oui...

@+

PS

Fred et Yoshi : c'est quoi déjà, un fake ? (lol)

Un autre private joke, I presume ?

Fred · 02-04-2009 13:49:51

Yoshi.... je ne crois pas que cet exo ait été posé au bac ou ailleurs....
C'est juste une blague de potaches!

Fred.

yoshi · 02-04-2009 15:39:34

Re,

Ah ? Fred, Merci..
Bin, blague ou pas, je trouve l'exo intéressant...
Donc, hommage à l'homonyme de celui dont le prénom avec un y en lieu et place du "e", était toujours suivi de Gillespie : j'ai même trouvé la partie manquante.
Et c'est là que ça devient drôle, non ? ...
Peut-être tout grands qu'ils soient, Dizzy ne leur dit-il rien ?

J'avais écrit :

Donc si k impair, 2^k - 2 est bien un multiple de 3, et donc il existe bien n tel 3n+2 = 2^k qui aboutira à 1 après divisions successives...
Et si k pair ?
k = 2h
Il faudrait prouver que 2^k n'est jamais égal à 3n+2.

si k pair, peut-on avoir 3n+2 = 2^k ?
Je pose k = 2h
Si 2^{2h} = 3n + 2 alors 2^{2h} - 2 = 2(2^{2h -1} - 1) = 3n
Donc la question devient : à quelle condition 3n est-il pair ? Pour n pair...
Je pose n = 2nn et je simplifie par 2.
Alors, maintenant la problématique est : existe-t-il k et nn tels que 2{2h - 1} - 1 = 3nn ?

 
 k  | h  |  2h - 1  |  2^{2h-1}  |   2^{2h - 1} -1  |        3nn        |

----|----|----------|------------|------------------|-------------------|

 2  | 1  |     1    |     2      |         1        |          X        |

 4  | 2  |     3    |     8      |         7        |   7 = 6 * 1 + 1   |      1 = 4 * 0 + 1

 6  | 3  |     5    |    32      |        31        |  31 = 6 * 5 + 1   |      5 = 4 * 1 + 1

 8  | 4  |     7    |   128      |       127        | 127 = 6 * 21 + 1  |     21 = 4 * 5 + 1

10  | 5  |     9    |   512      |       511        | 511 = 6 * 85 + 1  |     85 = 4 * 21 + 1

12  | 6  |    11    |  2048      |      2047        | 2047 = 6 * 341 + 1|    341 = 4 * 85 + 1

14  | 7  |    13    |     2      |         1        |

16  | 8  |    15    |     2      |         1        |

18  | 9  |    17    |     2      |         1        |

20  |10  |    19    |     2      |         1        |

Et j'ai bien une récurrence... Pour k pair, j'ai ma réponse.

Maintenant, peut-être ces "grands" potaches ont-ils fait une blague un peu avance sur le 1er avril (ou en retard, c'est selon) à l'instar du "peintre" Boronali, et ont-ils inventé, tel M. Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir, un problème de Maths sans le vouloir ?

En tout cas, je suis bon public, j'applaudis : clap ! clap ! clap !

Ce fut très intéressant...
En avez-vous d'autres, comme ça ?
Plus court, Jeunes gens sauriez-vous répondre à cette question existentielle : "Comment, connaissant le clair de lune, trouver le clair de l'autre ? " ;-) Vous avez 20 min...
Réf : Bizuthage INSA LYON 1966

@+

freddy · 02-04-2009 17:43:21

Bonsoir Yoshi,

Propositions :

qui est Claire ? qui éclaire ? Et puis, méfions nous : la lune de l'une peut faire de l'ombre à l'autre ...

Pour la question sur le Fake, c'était effectivement une question qui n'appelle aucune réponse.

yoshi · 02-04-2009 17:51:02

'lut,

Contre-propositions intéressantes...
Et comme c'était une question d'oral, on peut aussi imaginer :
"Comment, connaissant le clair de lune, trouver le clerc de l'autre ? ", de là imaginer ce brave clerc en lycanthrope, il n'y a qu'un... pas ;-)

@+

dizzie et jean françois · 02-04-2009 22:46:04

bonsoir, yoshi quand je dis que c'était une connerie et que c'EST le problème de syracuse, là, c'est vrai.

En fait, à la base, le problème de syracuse étant un peu trop connu, il fallait le "déguiser". donc au lieu de n, j'ai noté 2n et 2n+1, et au lieu des étapes "*3+1" et "/2" (qui suit forcément une étape "*3+1") j'ai "compressé" en "(*3+1)/2)" et en prenant n la moitié (-0.5) , ça donne le "*3+2", qui laisse croire en une variante de la conjecture de syracuse => http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse cf "autres formulations".

bon celà dit, en regardant, sur le plan informel, ce qui argumente la descente de la suite, c'est le fait que la congruence modulo 2 est chaotique, "aléatoire" en un sens... et que donc, si on regarde l'"espérance" de ce qui se passe, on voit que la suite "descend" forcément en terme de probabilités. ça ne peut hélas être une preuve.
Cependant, ça m'a inspiré à chercher d'autres suites qui respectent ces même conditions de chaoticité et "d'espérence de décroissance". Sans aller chercher bien loin, avec un petit algorithme de test, j'ai trouvé que si on remplace le *3+1 (de la version classique) par *3+3, et bien on retombe systématiquement sur 3 12 6 3 12 6 ....etc. (mais pour *3-1 ou *3+5 on trouve tout un tas de cycles différents).

Donc là pour le coup il y a un problème éventuellement faisable, c'est à dire montrer que pour *3+3 on retombe sur ce cycle. (ou alors trouver un contre exemple (u0 > 100 000) ?) peut-être que c'est "aussi dur" que syracuse, peut-être que c'est équivalent....?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 25-03-2009 17:07:24

DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#2 25-03-2009 17:50:18

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#3 25-03-2009 20:12:38

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#4 26-03-2009 11:22:58

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#5 27-03-2009 22:59:23

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#6 29-03-2009 16:45:09

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#7 29-03-2009 23:51:54

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#8 01-04-2009 13:46:48

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#9 01-04-2009 21:17:22

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#10 01-04-2009 21:19:21

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#11 01-04-2009 21:30:58

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#12 01-04-2009 21:58:01

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#13 02-04-2009 09:01:49

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#14 02-04-2009 09:43:50

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#15 02-04-2009 10:59:19

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#16 02-04-2009 11:04:00

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#17 02-04-2009 11:14:02

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#18 02-04-2009 13:02:41

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#19 02-04-2009 13:40:54

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#20 02-04-2009 13:49:51

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#21 02-04-2009 15:39:34

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#22 02-04-2009 17:43:21

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#23 02-04-2009 17:51:02

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

#24 02-04-2009 22:46:04

Re : DM spé maths sur les suites récurrentes [Résolu !?]

Pied de page des forums