Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour,

Si vous voulez une belle démonstration, il faudra que vous la fassiez vous même.

Je m'avoue un peu surpris...
N'est-ce pas à l'auteur d'une "théorie révolutionnaire" de fournir toutes démonstrations souhaitées pour que les "avocats du diable" puissent y chercher une faille ?

Ce raisonnement est le mien je ne risque pas de le retrouver sur wikipédia, à moins de le recopier mais déjà qu'il a du mal à passer sur bibmath

(Mis en gras par moi-même)
Qu'est-ce à dire ? Es-tu en train de dire qu'on t'aurait-on censuré ou bien que que tes idées ne trouvent pas ici les échos que tu les estimes devoir mériter ?
Dans le 1er cas, qui ? quand ?
Dans le 2e cas, alors c'est bien regrettable pour toi. As-tu envisagé la possibilité que ta théorie ou celle que tu as fait tienne puisse être séduisante, mais erronée (je ne me prononce pas, ne m'en estimant pas capable) ?

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Yoshi - Modérateur -

Dernière modification par yoshi (06-01-2009 14:21:13)

titus

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour.

J'ai réfléchi, eh oui çà m'arrive, je pense que le problème se situe au niveau des concepts, vous analysez Cantor avec les concepts de Cantor.
Je vais donc donner mes concepts, vous pourrez les critiquer.
L'infiniment grand, par exemple N, ne peut être atteint, encore moins dépassé, dans ce contexte l'infini est une direction pour une droite, on ne se rapproche pas d'une direction, et un horizon pour un ensemble, l'horizon étant la résultante de toutes les directions vers lesquelles l'ensemble s'accroit.
Bien sur l'infini plus un et l'infini moins un n'ont pas de sens.
Plaçons nous dans l'intervalle [0,1], pour Cantor l'intervalle est divisible à l'infini et même davantage, cherchons pourquoi il y a une limite et ce quelle est ?
Prenons r1 et 0, si ils sont extrêmement proche, on peut se douter que les premières décimales de r1 seront une suite de zéro, plus cette suite sera longue plus r1 sera proche de 0 et à l'infini r1 sera infiniment proche de zéro, l'infini (pour la longueur des décimales) est donc la limite et comme elle ne peut être atteinte, il y aura toujours un intervalle entre r1 et zéro.
Il est inutile de couper l'infini en morceaux, les formules seront plus simples et j'en profiterais, mon geste n'est pas gratuit, il y aura sans doute du travail de remise en forme et en ces temps incertains, c'est plutôt une bonne chose, puisque nous en sommes au confidences, je n'ai pas de titre.

Bien cordialement,

___________________________
Titus

Dernière modification par titus (06-01-2009 17:12:10)

Barbichu

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut,
je vais répondre point par point à la quasi-totalité de ton message #25.

Je t'invite à répondre à mes interrogation et principalement, plus particulièrement et plus soigneusement, celles qui sont en gras ci-dessous. Car c'est là que tu fais gravement erreur (à mon humble avis bien sûr).
(Inutile de s'attarder sur les passages que je n'ai pas cité ou sur les endroit où j'ai répondu "ok")

Je prends un segment de droite AB de 15 cm, j'y place les points B, C, D et E au hasard (les intervalles sont différents) mais dans cet ordre, j'ai donc 5 intervalles et un intervalle moyen de 3 cm.

OK

La somme de ces intervalles donne 15 cm, le produit de l'intervalle moyen par le nombre d'intervalles donne 15 cm,

Par définition, en effet.

Si je place une infinité de points sur le segment, j'aurai une infinité d'intervalles,

Soit, en supposant que tu ais une bonne façon de les définir, oui.

un de plus pour être précis, j'aurai quand même un intervalle moyen non nul (le plus petit des intervalles est bien sur lui aussi non nul mais comme il n'intervient pas dans le raisonnement on n'en parlera pas davantage)
L'intervalle, même le plus petit est non nul parce que les nombres sont distincts.

Pour un nombre fixé de point, oui.

Sinon, il va falloir me définir une bonne notion de "plus petit" (attention, c'est dur à définir).
Et tu pourras alors te rendre compte que ce "plus petit intervalle" qui ne représente en fait plus du tout une longueur d'intervalle, mais une borne inférieure, peut très bien être nul (et en fait, l'est !).
(Cf la suite au sujet de "l'intervalle moyen", ci-après en gras-italique)

On peut placer le segment sur la droite des réels, A correspond à zéro et B correspond à l'entier naturel 15.
Les points correspondent aux nombres entiers ou réels.
Intervalles et longueurs sont synonymes dans ce cas.

proposition 1 Il y a toujours un intervalle entre deux points r1 et r2 (exemple ici l'intervalle AR1 est égal à r1, l'intervalle R1R2 est égal à AR2-AR1 soit r2-r1) les nombres sont distincts.
proposition 2 La puissance du continu est indépendante de la longueur du segment, mon segment de 15 cm fait donc l'affaire.

Ok
(même si les termes employés n'ont pas le sens habituel, je te comprends et j'approuve)

proposition 3 Je divise mon segment de 15 cm par
l'intervalle moyen exprimé en cm, je ne le calcule pas bien sur,
je sais qu'il existe et qu'il est non nul (l'intervalle)

Non, tu ne sais pas s'il est nul, car si tu considères une infinité de points, la notion de "somme d'intervalles" dans le sens où tu l'entends disparaît complètement et ton "intervalle moyen" qui est en fait la moyenne des longueurs des intervalles (somme infinie aussi, ne pouvant être considéré comme un intervalle en lui-même, mais une limite) et se retrouvera être en fait ... nul quelque soit la manière (correcte, i.e. bien définie) dont tu procèdes.

proposition 4 En divisant mon segment par
l'intervalle moyen (non nul) je trouve à un près le nombre de
points, ce nombre ne peux pas être plus grand que l'infini
dénombrable. 
Je ne fais pas de théorème, que des propositions,
chacun ses limites.

"Théorème", "Propositions", ce ne sont que des appellation.
L'important est d'en avoir la preuve. Je viens de te présenter une faille.

Si vous voulez une belle démonstration, il faudra
que vous la fassiez vous même.  Ce raisonnement est le mien je ne
risque pas de le retrouver sur wikipédia, à moins de le recopier
mais déjà qu'il a du mal à passer sur bibmath.

Non. Je ne peux pas définir pour toi les objets que tu utilises.
Ni faire les démonstrations sur des objets qui ne sont pas suffisamment bien définis.

je ne vois pas en quoi il faut un vrai travail de
formalisation pour sommer tous les intervalles même s'ils sont
infinis et constater qu'ils font 15 cm,

Je ne suis pas d'accord, il faut trouver la notion de somme infini.
Elle est loin d'être aussi évidente que celle de somme de deux éléments.
Par contre, je suis d'accord pour dire que toute notion raisonnable de somme infini devrait faire en sorte que la somme des longueurs de tous tes intervalles fasse 15cm.

À présent, calcule moi le-dit "intervalle moyen", et prouve moi le plus rigoureusement que tu peux qu'il est non nul.
Alors que moi j'affirme le contraire, je m'engage à te dire où tu aura commis erreur selon moi.
(pour la notion "d'intervalle moyen", cf ci-dessus en gras-italique)

d'ailleurs je ne vois pas pourquoi je devrais subir une formalisation alors que Cantor en a été privé de son vivant.

Je ne sais pas si c'est vrai, mais ce n'est pas une excuse. De nos jours, on ne fait plus des maths comme on fait la cuisine, surtout des maths de ce niveau là ... Si tu veux savoir à quoi ressemble ce genre de formalisations :
"Logique mathématique 1 & 2" René Cori, Daniel Lascar, dans le tome II, le chapitre 7, explique la théorie des ensembles.
Tu le trouveras (je pense) dans n'importe quelle bibliothèque où il y a des rayons de maths.

Je peux faire un effort pour référencer mes sources, mais cela ne peut être que dans le futur, car jusqu'ici je n'ai jamais collectionné les adresses des sites.

Toute personne envisageant sérieusement de parler de mathématique, se doit de savoir faire ou de savoir citer une démonstration des faits qu'il avance.
Sinon, ce n'est plus de la science ...

Bien cordialement,

PS : Ce qu'il faut que je sois sûr que tu comprennes est que ce que tu appelles "intervalle moyen" ou "plus petit intervalle", ne correspond plus du tout à l'intervalle entre deux points.
D'ailleurs traditionnellement un "intervalle" est un segment, ce que toi tu appelles "intervalle" correspond la longueur de ce segment.
Avec la définition traditionnelles, la traduction de ton "intervalle moyen" devient "la moyenne des longueurs des intervalles (segments)", qui est une quantité qui ne représente plus forcement la longueur d'un quelconque des intervalles (segments) qu'on a considéré pour faire cette moyenne.

Dernière modification par Barbichu (06-01-2009 18:38:22)

titus

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour.

Avez vous lu le message 27, où j'explique pourquoi un intervalle ne peut pas être égal à zéro à cause de la limite que représente l'infini.

Un autre exemple, je divise un nombre par 2 à l'infini, vous pouvez remplacez 2 par  [tex]\sqrt{3}[/tex] si vous voulez, ce nombre tend vers l'infiniment petit, dans un calcul ce nombre peut quelquefois être considéré comme nul mais pas dans mon raisonnement sinon pour l'exemple 5 divisé par 2 puissance 100000, si vous arrondissez, comment faites vous l'opération inverse pour retrouver 5.

Donc quand vous dites que mon intervalle moyen est nul vous voulez dire infime ou nul, car ce n'est pas du tout la même chose, si cet intervalle moyen ne peut pas correspondre à un intervalle du segment ou alors par le simple fait du hasard, c'est normal puisque c'est une moyenne.
Etes vous d'accord que l'on ne peut pas atteindre l'infini et encore moins le dépasser?
Si oui, êtes vous d'accord que l'intervalle entre zéro et r1 ne peut être nul (message 27)
Si tous les intervalles sont non nuls R est dénombrable,
Si vous n'acceptez pas la première proposition,  c'est que vous avez hérité des concepts de Cantor, dès lors vous n'êtes plus objectif ni impartial pour juger Cantor puisque vous l'avez déjà accepté dans votre raisonnement.
Si R est dénombrable les fractales ne vont pas disparaitre par contre beaucoup de choses vont devenir plus simples.
Pour prendre des images, est-ce-que je peux trouver l'entier naturel le plus grand, pour moi la réponse semble évidente, non j'en trouverais toujours un plus grand ([tex]\infty[/tex]+).
prenons deux nombres r1=0,9994351....et 1, on peut supposer que plus la suite de 9 est longue plus l'intervalle entre ces deux nombres est petit, est-ce-que je peux trouver la suite la plus longue, non bien sur j'en trouverais toujours une plus longue.
donc il y aura toujours un intervalle infime entre r1 et 1.
Donc avant d'aller plus loin, qu'entendez vous par intervalle nul ?
Qu'est-ce-que j'entends par intervalle ?
http://algo.inria.fr/séminars/sem03-04/lhote-slides.pdf
page 52 sur 117

___________________________________
Titus

Dernière modification par titus (07-01-2009 03:35:26)

yoshi

Modo Ferox

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut,

Déclaration préliminaire.
Dire que "les profs de maths" sont illogiques, au prétexte que l'un d'entre eux, qui avait dit te recontacter ne l'a pas fait, n'est ni logique ni approprié. Au passage (je ne me suis pas senti visé), je ne t'ai pas encore répondu sur Syracuse, non parce que je suis illogique (ex prof de maths), mais parce que je n'ai toujours pas pu formuler clairement mes réticences. Ca viendra, sois-en sur...

Maintenant j'en viens au fond.
1. A tes yeux, ce que je vais dire ne pourra donc être suspect de parti-pris pour Cantor, puisque j'avoue ne connaître de lui que sa "diagonale". Mais il n'empêche que ton argument n'est pas recevable parce que retournable à ton endroit.
2. Bien sur que 5 divisé par 2 puissance 10000 n'est pas nul, ni 5 divisé par 2 puissance n, n état un nombre aussi grand que tu veux pourvu que tu le nommes. Ce n'est qu'une histoire de limites : si n tend vers l'infini alors le résultat tend vers 0
3. Si j'ai bien compris l'argument de Barbichu, à l'infini, 0 a un suivant, impossible à nommer cependant. Il est distinct de 0, tout en étant le suivant : ainsi l'intervalle entre les deux est nul (désolé de ne pas avoir lu ton lien, mais là où je suis présentement et pour une semaine, je ne peux pas lire les pdf (et n'ai pas accès à LaTeX non plus que ce soit direct ou via l'interface de Fred). Amha, nier l'existence de ce suivant, revient à nier l'existence du précédent, donc de 0, mais aussi de son propre suivant. Et on retombe sur un paradoxe.
4. Au détour d'une phrase, j'ai relevé une déclaration qui sent le soufre ou je me trompe : "R est dénombrable", une discussion a déjà été fermée qui portait là-dessus. Après plusieurs mois, chacun campait sur ses positions, l'argument de son contempteur avait pourtant sérieusement battue en brêche et onavait affaire à un diaogue de sourds : tu peux faire recherche si tu veux Je précise que le défenseur de cette argumentation avait déjà subi le même sort ailleurs (ce n'est pas un argument non plus).

@+

Barbichu

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour,
je vais répondre à yoshi sur un point sur lequel je n'ai apparemment pas été clair
(et ce faisant partiellement aux "questions" que j'ai posées en gras dans mon dernier message.)

3. Si j'ai bien compris l'argument de Barbichu, à l'infini, 0 a un suivant, impossible à nommer cependant. Il est distinct de 0, tout en étant le suivant : ainsi l'intervalle entre les deux est nul (désolé de ne pas avoir lu ton lien, mais là où je suis présentement et pour une semaine, je ne peux pas lire les pdf (et n'ai pas accès à LaTeX non plus que ce soit direct ou via l'interface de Fred). Amha, nier l'existence de ce suivant, revient à nier l'existence du précédent, donc de 0, mais aussi de son propre suivant. Et on retombe sur un paradoxe.

Absolument pas. 0 n'a pas de suivant à distance nulle.
Non, ce que je dis c'est que lorsqu'on partitionne l'intervalle [0,1] en une infinité d'intervalles, désignés la par la famille [tex]\{I_s, s\in E\}[/tex] où [tex]E[/tex] est un ensemble infini permettant d'indicer ces intervalles (en admettant qu'on ait donné un sens correct à ceci), on peut trouver parmis ces intervalle un intervalle de longueur arbitrairement petite.
Autrement dit, pour tout [tex]\varepsilon > 0[/tex], il existe [tex]s \in E[/tex], tel que [tex]L(I_s) < \varepsilon[/tex] (où [tex]L[/tex] est la fonction qui donne la longueur d'un intervalle)
(Preuve :
raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe  [tex]\varepsilon > 0[/tex] tel que pour tout [tex]s \in E[/tex],on ait [tex]L(I_s) > \varepsilon[/tex].
Soit [tex]n = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor +1[/tex]. Et soient [tex]s_1,\ldots,s_n \in E[/tex].
* On a, d'une part [tex]\bigcup_{i=1}^n I_{s_i} \subset [0,1][/tex], d'où   [tex]L(\bigcup_{i=1}^n I_{s_i}) \leq L([0,1]) = 1[/tex].
* D'autre part  [tex]L(\bigcup_{i=1}^n I_{s_i}) =\sum_{i=1}^n L(I_{s_i})[/tex] (tous les [tex]I_s[/tex] étant disjoints)
donc  [tex]L(\bigcup_{i=1}^n I_{s_i}) > n \epsilon > 1[/tex] (contradiction))

On va supposer maintenant, pour ne pas avoir (trop) de problème pour définir une moyenne d'un nombre infini d'objets, que [tex]E=\mathbb{N}^*[/tex].
Si on fait le calcul de la moyenne des longueurs des intervalles [tex]M = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{s=0}^n L(I_s)[/tex]
On se rend vite compte que  [tex]\sum_{s=1}^n L(I_s) < 1[/tex], car les [tex]\{I_s, s\in E\}[/tex] forment une partition de [tex]E[/tex].
D'où  [tex]\frac{1}{n} \sum_{s=1}^n L(I_s) < \frac{1}{n}[/tex] et en passant à la limite, on trouve [tex]M \leq \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} = 0[/tex]. D'où [tex]M=0[/tex] (car M est positif, trivial ?)

++

titus

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour.

"Les profs de math sont illogiques", je trouvais ce jeu de mot amusant, quand à ne pas te sentir visé, qui t'a dit que tu l'étais, donc je te propose de revoir notre malentendu et en réponse tu sors les armes, si tu crois m'impressionner.

Merci pour la réponse claire pour syracuse, est-ce-que je pourrais représenter syracuse en fractale avec géolab, vol en altitude en nombres impairs, exemple 7-11-17-13-5 serait représentée par un trait, il faudrait aller au minimum jusqu'à  1 million, pour voir si le nombre d'étapes est stable.

0.0000...001, dire que ce nombre tend vers 0 quand la suite des zéros tend vers l'infini est vrai pour un calcul, pas pour un raisonnement.
0 n'a pas de suivant, s'il en avait un tu pourrais mettre 1000 nombres entre zéro et ce nombre et recommencer sans fin.

R est dénombrable, déclaration qui sent le soufre, tu veux dire que c'est une hérésie et que tu es le grand prêtre chargé de me bruler.

Une discussion a été fermée, rassure toi je l'ai suivie même si je ne m'en suis pas mêlée. Le web pullule de ce genre de preuves. Cantor et ce qui est venu après forment un édifice dont certaines parties sont inattaquables mais les fondations sont loin d'être aussi solides et si elles s'écroulent le reste suivra.

@+

Titus
PAX ROMANA

Dernière modification par titus (07-01-2009 13:03:31)

titus

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour.

Réponse à #28 et #31

Chercher l'intervalle le plus petit n'a pas de sens, c'est un segment, on peut toujours le diviser par 1000 et sans fin, donc impossible à calculer

Un intervalle est strictement supérieur à zéro, deux nombres dont le premier milliard de décimales est commun ont la suite de leurs décimales différente jusqu'à l'infini, condition suffisante pour la preuve : (i>0) l'infinité des décimales communes ne peut pas être atteint, on atteint pas l'infini.

Dans l'intervalle [0,1] la somme des intervalles i1+i2+i3+...i[tex]\infty[/tex]=1
Le nombre d'intervalles est un entier.
Ce nombre est aussi celui des points à un près. 
Le segment 1 divisé par le nombre de points (-1) donne l'intervalle moyen (rationnel)
Le segment 1 divisé par l'intervalle moyen donne le nombre de points à un près.
Comme on connait le segment et que l'intervalle moyen est borné, on peut borner le nombre de points.
L'intervalle moyen im>0
soit p le nombre de point, p=[tex]\frac{1}{im}=\infty[/tex]dénombrable
p est le nombre de réels sur l'intervalle [0,1]
Je vous laisse tirer les conclusions.

Bien amicalement

__________________________
Titus

Barbichu

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut,
je relève de nombreuses contradictions dans ton discours.
Je ne sais pas exactement ce que tu entends par ton rituel "on ne peut pas atteindre l'inifini".
Je vais cependant l'interpréter dans la suite.

Chercher l'intervalle le plus petit n'a pas de sens, c'est un segment, on peut toujours le diviser par 1000 et sans fin, donc impossible à calculer

"diviser sans fin ?" => impossible "on ne peut pas atteindre l'inifini"

Un intervalle est strictement supérieur à zéro, deux nombres dont le premier milliard de décimales est commun ont la suite de leurs décimales différente jusqu'à l'infini, condition suffisante pour la preuve : (i>0) l'infinité des décimales communes ne peut pas être atteint, on atteint pas l'infini.

L'argument ne me convainc pas.

Dans l'intervalle [0,1] la somme des intervalles i1+i2+i3+...i[tex]\infty[/tex]=1

Comment peux-tu exhiber une infinité d'intervalles alors que tu ne te permets pas d'"atteindre l'inifini".

Le nombre d'intervalles est un entier.

Mais ???? Comment peux-tu dire qu'il y en a un nombre entier, alors tu viens d'en "compter" une infinité ... (tu es bien allé jusqu'à i[tex]\infty[/tex] que je sache)

Bon supposons quand même (pour finir la critique de ton message) qu'il y en ait un nombre entier et tout et tout ...

Ce nombre est aussi celui des points à un près. 
Le segment 1 divisé par le nombre de points (-1) donne l'intervalle moyen (rationnel)
Le segment 1 divisé par l'intervalle moyen donne le nombre de points à un près.
Comme on connait le segment et que l'intervalle moyen est borné, on peut borner le nombre de points.

Cf ma dernière ligne

L'intervalle moyen im>0
soit p le nombre de point, p=[tex]\frac{1}{im}=\infty[/tex]dénombrable

QUOI ? im < 0 implique que 1/im est réel, un point c'est tout ...
Rien d'infini (que tu ne peux pas atteeindre d'ailleurs)

p est le nombre de réels sur l'intervalle [0,1]

NON, p est le nombre d'extrémités de tes intervalles (dont tu dis qu'ils sont finis), tu n'as jamais dit que tu considérais les intervalles entre TOUS les points de [0,1].
Et si c'est ce que tu voulais dire, comment peux-tu affirmer qu'il y en a un nombre fini sans le démontrer !!! Et comment le définis-tu (car ça pose un VRAI problème)

++

Dernière modification par Barbichu (07-01-2009 17:25:07)

titus

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour.

Définition de mon rituel "on ne peut pas atteindre l'infini"
Prenons l'ensemble N, c'est un ensemble infini donc illimité, est-ce-que je peux  l'atteindre, c'est à dire arriver à la limite de cet ensemble ?

"Diviser à l'infini" exemple [tex]\frac{1}{100{0}^{x}}[/tex] quand x tend vers l'infini, poser une fraction n'est pas interdit, pourquoi dites vous "impossible on ne peut pas atteindre l'infini" je ne vois pas le lien, cela veut juste dire que diviser est toujours possible. Mais peut-être n'ai-je pas été assez clair.

De toute façon j'arrête pour ce soir et demain je ne suis pas là, j'aimerais que vous me confirmiez que vous êtes sérieux, je commence à avoir des doutes, quand je vois "comment peux-tu dire que ce nombre est un nombre entier", pour compter il faut utiliser des ordinaux et les ordinaux sont des nombres entiers ou comment peux-tu exhiber une infinité d'intervalles alors que tu ne te permets pas d"atteindre l'infini.

Le nombre de points et le nombre d'intervalles sont égaux à un près, si je mets des points sur [0,1] je peux à tout moment en rajouter donc j'en ai l'infini, ici le nombre de points tend vers l'infini, atteindre l'infini a un autre sens, cela veut dire arriver à sa limite.

Quand je dis im>0 cela veut dire immédiatement supérieur à zéro ou le successeur de zéro ou encore que im tend vers zéro sans l'atteindre de façon que p ait la valeur maximum et je trouve pour p l'infini dénombrable. Vous dites que j'ai un raisonnement léger, moi je dirais que vous avez la main lourde, si vous rayer les phrases à mesure que je les écris on ne va pas avancer très vite.

L'argument qui ne vous convainc pas, deux nombres voisins ont leurs premières décimales communes (sauf exception par exemple pour 0.999...et 1), à quel moment décidez-vous que l'intervalle devient une borne sachant que la longueur des décimales communes tend vers l'infini et que celui-ci n'a pas de limites, pour deux nombres qui deviennent de plus en plus proches.
Avant la borne toutes les décimales sont communes, après la borne avec une décimale, je distingue 10 nombres, avec deux, cent nombres, avec trois, mille nombres, et vous dites que l'argument ne vous convainc pas pour justifier que i est le successeur immédiat de zéro (i tend vers zéro) (mais il est toujours supérieur à zéro), une borne sera toujours divisible donc il n'y a pas de bornes il n'y a que des intervalles (pour ce raisonnement), je prend i le plus petit possible pour trouver p égal à l'infini non dénombrable de Cantor mais je ne trouve que l'infini dénombrable.

Amicalement

_________________
Titus

Dernière modification par titus (08-01-2009 05:04:31)

sinuspax

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut Barbichu,

Quelle preuve rigoureuse a-t-on aujourd'hui de l'existence d'ensembles "indénombrables" ? Merci de me répondre avec le minimum de symboles (comme si j'avais sept ans).

SPX

sinuspax

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Re : conjecture de cantor-titus

Bon, sans doute que ma question est déplacée.
A Titus : si tu remplaces le vieux concept d'infini continu (= l'infini contient tous ses éléments en même temps) par le concept d'infini discret (= l'infini contient tous ses éléments un par un), ta théorie de R dénombrable est très plausible.

SPX

Regala

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour

A Sinuspax: tu ne comprends pas non plus. Ce n'est pas une question de plausibilité, mais une question de réalité. La présence de la notion d'infini dans un contexte implique de très grosses restrictions, ou du moins de prendre des gants. Or, il ne le fait pas, mélange les concepts, considère que l'infini est un nombre comme les autres. Mais non, c'est une notion limite. Et se baser sur les ordinaux pour justifier le fait de définir des horreurs telles que i1+i2+... sans avoir prouvé que la somme existe, c'est de la cuisine, que même des physiciens s'efforcent de laisser de côté pour essayer de justifier. Ce n'est pas le tout de "sentir" que sa théorie peut être plausible. D'ailleurs elle est peut-être plausible, mais elle aboutit à un résultat faux, donc elle est fausse.

Pour répondre à ta question qui ne me semble pas déplacée, mais seulement faussement naïve (héhé), il existe des ensembles indénombrables. R est indénombrable. Il suffit de le construire. Certains pourraient considérer que ça se mord la queue... je ne pense pas, l'édifice est cohérent à l'échelle de ma compréhension (et sans aucun doute au-delà). Il est peut-être possible de construire une théorie des ensembles où l'ensemble des réels est dénombrable, mais cela va au-delà du manque de rigueur qui siège dans les affirmations de Titus.

Il n'y a rien, ce ne sont pas des mathématiques, mais du pur scepticisme anti-science, caractérisé par un sentiment diffus de complot...
De plus, je le trouve très insultant vis-à-vis de personnes qui, à mon très très humble avis, ont fait leurs preuves (en ce qui concerne le sieur Barbichu, je sais où il en est exactement), avec cette très jolie image que je reformule: "Tu es influencé par Cantor, Cantor te possède, maintenant tu n'es plus objectif". Ecrire ce genre de choses, c'est faire insulte à des hordes de vrais scientifiques, et je trouve ça très attristant mais caractéristique de ce scepticisme maladif. Il y a une différence entre remise en question de l'acquis et défonçage maladif de ce qui a été prouvé et reprouvé maintes et maintes fois.

J'espère avoir aussi répondu à ta précédente question tout-à-fait pertinente, même si je suis loin d'avoir le niveau de connaissances d'autres lecteurs de ce forum. La clé avant tout est de ne tenir pour acquis ni ce qu'on nous dit, ni ce qu'on ressent pour vrai, parce que malheureusement avec la rigueur que j'ai pu observer dans les manipulations des notions d'infini, j'en déduirais que toute intégrale (même sur R ou sur un intervalle non borné) est nulle. Ce serait quand même triste. Mais tenir pour faux quelque chose qu'on vous prouve (Barbichu a quand même démontré certaines choses précises ici) devant vos yeux, relève de la malhonnêteté scientifique. Bonne journée.

titus

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour Sinuspax.

La preuve de l'existence d'ensembles indénombrables est donnée par la diagonale de Cantor.
Pour l'infini actuel et l'infini potentiel déjà connu d'Aristote, Aristote opte pour l'infini potentiel et Démocrite opte pour l'infini actuel, de nos jours, ce sont surtout les mathématiciens et les cosmologistes qui utilisent l'infini actuel.
De toute façon ce ne sont que des concepts ou des images pour cerner la réalité, on ne leur en demande pas plus.
Pour montrer que R est dénombrable, il suffit de constater que la diagonale est fausse, on peut considérer qu'elle peut être mise sous forme de syllogisme.
Soit une liste de nombres appartenant à un ensemble (D,Q,R ou un sous ensemble de R) dans [0,1]
Le nombre créé à partir de la diagonale est aléatoire par construction, il ressemble à un élément de R
Si les nombres de cette liste ressemblent à des nombres aléatoires alors cet ensemble est non dénombrable.

Même s'il n'y a aucune corrélations, c'est la preuve de Cantor.
L'autre preuve, je l'ai donné à Barbichu, je sais qu'il me répondra donc je n'ai juste qu'à attendre, je lui laisse le temps.
http://www.réunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/l'infini_en_mathématiques.htm
http://agamath.ifrance.com/l infini math.pdf

Titus

Barbichu

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut,

De toute façon ce ne sont que des concepts ou des images pour cerner la réalité, on ne leur en demande pas plus.

Euh, on demande d'un concept qu'il soit parfaitement défini, avant de commencer à l'exploiter sérieusement.
Et si on ne sais pas, ou si on ne veut pas le faire, on dit au moins quelles propriétés vont être utilisées.

Pour montrer que R est dénombrable, il suffit de constater que la diagonale est fausse, on peut considérer qu'elle peut être mise sous forme de syllogisme.

Ce que tu dis est un sophisme. Prouver que la preuve d'une proposition A est fausse ne permet pas de prouver que A est fausse !!!!

Soit une liste de nombres appartenant à un ensemble (D,Q,R ou un sous ensemble de R) dans [0,1]
Le nombre créé à partir de la diagonale est aléatoire par construction, il ressemble à un élément de R
Si les nombres de cette liste ressemblent à des nombres aléatoires alors cet ensemble est non dénombrable.

Même s'il n'y a aucune corrélations, c'est la preuve de Cantor.

C'est marrant, cette preuve n'a rien à voir avec celle que je connais...
Il n'est pas question d'aléatoire normalement ....

L'autre preuve, je l'ai donné à Barbichu, je sais qu'il me répondra donc je n'ai juste qu'à attendre, je lui laisse le temps.

Celle dont j'ai donné une preuve du contraire dans mon message #31 ??

http://www.réunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/l'infini_en_mathématiques.htm
http://agamath.ifrance.com/l infini math.pdf

Ces articles ne sont pas des articles de math, mais des articles sur l'histoire de maths, ce qui est fondamentalement différent. Et ils ne corroborent aucune de tes théories.

NB pour sinuspax :
Je suis en accord avec la réponse de Regala : à partir du moment où tu peux construire R, tu obtiens la preuve qu'il existe des ensembles indénombrables.

++

Dernière modification par Barbichu (11-01-2009 02:02:30)

sinuspax

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour,

Et merci à tous de vos réponses. Je sais que la diagonale de Cantor prouve quelque chose, mais pas forcément ce qu'on voudrait qu'elle prouve, à savoir qu'il existe un ensemble plus grand que N. Pourquoi conclure du fait qu'il est impossible de ranger les réels dans une liste quelconque, pourquoi conclure de ce fait qu'il existe un ensemble R "plus grand" ?  Cet ensemble a-t-il un sens en tant qu'ensemble ?... Et s'il n'en avait pas ?  Ne peut-on classer les réels autrement, par segmentation croissante, mais toujours dénombrable ?
Est-il logique que Aleph-O ne puisse être dénombré par aucun entier ?  Comment le cardinal de N, indénombrable ("transfini"), peut-il être le cardinal d'un ensemble dénombrable ?
N'y a-t-il pas là une simple extrapolation de la part de Cantor ?
J'aimerais des réponses claires et précises à ces questions, non dictées par l'école mais par la raison.

Amclmt

SPX

Barbichu

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut

Et merci à tous de vos réponses. Je sais que la diagonale de Cantor prouve quelque chose, mais pas forcément ce qu'on voudrait qu'elle prouve, à savoir qu'il existe un ensemble plus grand que N. Pourquoi conclure du fait qu'il est impossible de ranger les réels dans une liste quelconque, pourquoi conclure de ce fait qu'il existe un ensemble R "plus grand" ?  Cet ensemble a-t-il un sens en tant qu'ensemble ?... Et s'il n'en avait pas ?

Oui, cet ensemble peut être construit, j'ai donné à tibo le principe de la démonstration sur ce même forum ( http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2141 ) il y a peu de temps
et la page http://fr.wikipedia.org/wiki/Constructi … bres_réels l'explique également.

Ensuite l'argument de Cantor est un raisonnement par l'absurde. Il dit que si on arrivait à énumérer tous les éléments de [0,1], on pourrait s'en servir construire un nouveau nombre réel (non présent dans l'énumération), ce qui est contradictoire avec le fait qu'on ait pût tous les énumérer.
R n'est donc ni fini, ni équipotent à N, il ne peut donc s'injecter dans N (alors que N s'injecte dans R).
R est donc "strictement plus gros"

Ne peut-on classer les réels autrement, par segmentation croissante, mais toujours dénombrable ?

Ce dernier résultat prouve que non ...

Est-il logique que Aleph-O ne puisse être dénombré par aucun entier ?

Par "dénombré par un entier", tu entends "fini" ?
Aleph-0 est le cardinal de N, il est dénombrable, pourquoi serait-il fini ? Quel rapport avec R ?

Comment le cardinal de N, indénombrable ("transfini"), peut-il être le cardinal d'un ensemble dénombrable ?

"transfini" ne signifie pas indénombrable. C'est l'adjectif qui qualifie les ordinaux/cardinaux qui ne sont pas finis.
En particulier le plus petit cardinal transfini est aleph-0 qui est dénombrable.

N'y a-t-il pas là une simple extrapolation de la part de Cantor ?

La démonstration de Cantor a été vérifiée et revérifiée depuis, c'est une valeur sûre.

J'aimerais des réponses claires et précises à ces questions, non dictées par l'école mais par la raison.

J'espère que ça te convient.

++

titus

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour Barbichu.

Ceci est mon dernier message, inutile que je perde davantage mon temps, tu n'as pas répondu à mon message # 35 mais à celui que j'adressais à Sinuspax, devant tous tes titres j'avais pensé que tu serais intéressé par la question ou que tu connaitrais une personne qui le soit, ma foi prométhéenne s'en relèvera.
Tu m'as dissuadé d'enlever cette discussion, je pars, inutile de tergiverser c'est sans appel. Le prix pour rester devient prohibitif voire rédhibitoire.
Une dernière pour en rire avant de se quitter, tu pourras me critiquer je ne serais plus là.
Les sous ensembles de R : R0,R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9 comme ils sont de ma fabrication brut de décoffrage, pas de sites pour me soutenir.
Les éléments de R0 ont leur première décimale égale à zéro.
Les éléments de R1 ont leur première décimale égale à un etc...en suivant bien cet ordre sinon çà marche pareil mais c'est moins clair,une horreur. Ensuite il suffit de les passer au supplice de la diagonale, les règles sont connues, tous les sous ensembles sont dénombrables et seul R est non dénombrable donc ma réhabilitation est proche car si j'ai bien compris il suffit de dire que R est indénombrable pour être cité et je fais plus j'explique pourquoi Cantor ne peut trouver un tel nombre, l'ensemble où se trouve ce nombre est l'ensemble vide.
Entre nous la bijection aussi est fausse mais comme je pars je garde quelques cartes en main, même donner un nombre (dénombrer) pour un ensemble infini n'a pas de sens, mais je devais procéder par étapes et comme la première n'a pas aboutie, vous ne connaitrez pas le reste.
En ce qui me concerne, fin de discussion.

Titus

Regala

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Re : conjecture de cantor-titus

bonjour,

juste pour signaler: tes différents R0, R1, R2, R3,..., R9 ne sont pas plus dénombrables que R.

Regala

sinuspax

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour,

Merci Barbichu de tes réponses.
En admettant que l'ensemble R soit valide (encore une fois, il faut partir d'un infini "absolument" infini), il y a le problème des successeurs. Le successeur de PI, par exemple, a les mêmes décimales que PI (toujours dans ce concept d'infini). Peut-être qu'une démo existante prouve qu'ils sont différents, mais pas l'observation. Si les réels appartiennent à un ensemble, il faut abandonner dans ce cas le principe de successeur/prédécesseur, qui est une propriété de N.
Par "dénombré par un entier" j'entendais évidemment "fini". Aucun entier fini ne peut dénombrer Aleph-0 (= 1 suivi d'une infinité de zéros). Ou, dit autrement, Aleph-0 n'appartient pas à N. Dans ce cas, comment peut-il être le cardinal de N ? 
"Transfini" est juste un mot pratique pour qualifier des "entiers infinis". Or, un entier infini n'appartenant pas à N, comment peut-il  "dénombrer" N ?
Je pense que les mathématiques (comme la philosophie et les arts) sont surtout une affaire de représentation. Quelque chose de vrai exprimé dans un code inadapté paraîtra "faux". Inversement, quelque chose de faux exprimé dans le bon code pourra paraître "vrai".

SPX

Barbichu

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut sinuspax,

Je vais prendre ton message en partant de la fin.

Je pense que les mathématiques (comme la philosophie et les arts) sont surtout une affaire de représentation. Quelque chose de vrai exprimé dans un code inadapté paraîtra "faux". Inversement, quelque chose de faux exprimé dans le bon code pourra paraître "vrai".

C'est pour cela qu'il existe une représentation des mathématiques dans laquelle tout ce que l'on peut écrire est vrai. L'étude de ce phénomène est un des buts de la logique mathématique, qui s'efforce de formaliser les mathématiques et en tire des propriétés sur la structure des représentation, mais aussi sur leur interprétation.
C'est à partir d'une formalisation à l'extrême que l'on construit la théorie des ensembles moderne (ZF). Et dans cette théorie, la notion d'infini apparaît comme une définition d'un phénomène (le fait de ne pas être équipotent à un ordinal fini).

En admettant que l'ensemble R soit valide (encore une fois, il faut partir d'un infini "absolument" infini)

Oui, il est "valide", ou plutôt défini très formellement par une construction bien connue et sûre. Pas besoin de se poser de questions sur l'infini pour vérifier une telle définition, il suffit d'appliquer des définitions et propriétés qui remontent toutes aux axiomes de la théorie des ensembles.

il y a le problème des successeurs. Le successeur de PI, par exemple, a les mêmes décimales que PI (toujours dans ce concept d'infini). Peut-être qu'une démo existante prouve qu'ils sont différents, mais pas l'observation. Si les réels appartiennent à un ensemble, il faut abandonner dans ce cas le principe de successeur/prédécesseur, qui est une propriété de N.

La fonction successeur est un symbole de l'arithmétique de Peano.
En théorie des ensembles elle [la fonction successeur] est définie pour avoir un sens pour les ordinaux (/!\ ce n'est pas un symbole, mais une construction).
Et par contre cette fonction n'a absolument aucun sens pour les réel.

Autrement dit : la fonction successeur connue pour l'arithmétique ne s'applique pas aux les réels.

Par "dénombré par un entier" j'entendais évidemment "fini". Aucun entier fini ne peut dénombrer Aleph-0 (= 1 suivi d'une infinité de zéros). Ou, dit autrement, Aleph-0 n'appartient pas à N. Dans ce cas, comment peut-il être le cardinal de N ? 
"Transfini" est juste un mot pratique pour qualifier des "entiers infinis". Or, un entier infini n'appartenant pas à N, comment peut-il  "dénombrer" N ?

Par définition : Aleph0 = omega = N = ensemble de tous les ordinaux finis (rien à voir avec "1000...") = ensemble de tous les entiers naturels
Par définition : Card E = unique cardinal équipotent à E (pas seulement entier donc !)
Application : Card N = unique cardinal équipotent à N = N = Aleph0
"Entier infini" n'a aucun sens, on dit "ordinal transfini", le mot "entier" (ou plutôt "entier naturel") est réservé à un "ordinal fini".
Par définition : dénombrable = équipotent à N

On en déduit que si E dénombrable, alors il est équipotent à N, donc son cardinal est celui de N, c'est à dire Aleph0.

C'est bon ?

++

sinuspax

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Re : conjecture de cantor-titus

Merci Barbichu, mais, non, je ne suis pas "satisfait". Je crois que tu es un virtuose de ta matière, que tu connais "à fond" ton domaine, et je t'en apprécie d'autant plus. Mais tout ce que tu me dis renvoie à priori à une certaine représentation des mathématiques contemporaines (c'est vrai dans cette représentation), pas nécessairement à une "vérité mathématique" incontournable.

Amclmt, Sinus

Regala

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Re : conjecture de cantor-titus

Merci Barbichu, mais, non, je ne suis pas "satisfait". Je crois que tu es un virtuose de ta matière, que tu connais "à fond" ton domaine, et je t'en apprécie d'autant plus. Mais tout ce que tu me dis renvoie à priori à une certaine représentation des mathématiques contemporaines (c'est vrai dans cette représentation),

Bonsoir,

tu marques un point. Tout ceci est basé sur la théorie ZF (C ?) des ensembles. Et il est peut-être (je n'en sais rien) possible de construire une autre théorie, que celle-ci décrite par Cantor principalement, tout aussi cohérente, et qui donnerait un résultat contraire, sur divers points précis. Mais, cette théorie, il faut la construire, et affirmer qu'elle existe parce que vous "sentez" que c'est possible, ce n'est pas de la science, ce ne sont pas des mathématiques, rien à part de pures spéculations. A un moment, il faut prendre un bout de papier et un bout de crayon. Et reprendre toutes les étapes nécessaires qui ont été parcourues par ces mathématiciens.
Mais visiblement, il est inenvisageable d'essayer de te convaincre.
Je suis d'accord sur le fait que toutes les mathématiques contemporaines dépendent d'un cadre précis, établi et que ce cadre changeant, les propriétés de l'"univers mathématique"  peuvent changer. Mais ta remarque, bien que juste, est très irrévérencieuse. Elle soulève un problème tout à fait juste, tout en étant à côté de la plaque sur le reste. Tu as raison, mais ici, sur ce forum, ce n'est pas le lieu des conjectures sans rien -- et là, c'est un vrai sans rien, des intuitions allant à l'encontre de l'intuition de bon nombre d'autres personnes, mais aussi à l'encontre de ce qui a été prouvé et reprouvé maintes et maintes fois, dans un cadre précis, je te l'accorde, mais justement, cette discussion n'introduit nulle part un tel autre cadre où vous pourriez expérimenter vos intuitions et donc cette discussion n'a aucun sens au delà des simples brèves de comptoir. Comme dit auparavant par qq1 d'autre dans cette discussion, vos interlocuteurs ne sont pas là pour réfléchir, conceptualiser et démontrer à votre place.

pas nécessairement à une "vérité mathématique" incontournable.

en même temps, elle est incontournable et vraie, puisque démontrée. ce n'est pas parce que tu "sens" qu'elle n'est pas vraie qu'elle ne l'est pas. j'ai peur de voir un manque de modestie dans cette assertion.

Bonne soirée à tous.

sinuspax

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Re : conjecture de cantor-titus

Bonjour,

Je n'ai aucune prétention mathématique. Je suis un béotien, terre à terre et borné. Il y a certaines réponses que j'aimerais obtenir une fois pour toutes, et on ne me les donne pas, ou alors en me disant "ce qu'il faut dire" ou "ne pas dire".
Je repose mes questions (notez qu'elles sont idiotes, mais très précises). Je demande donc des réponses précises et brèves pour chaque question. Sinon la théorie ne marche pas ou est incomplète.

1) Si un ensemble contient "une infinité" d'éléments, quelle est la taille d'un seul élément de cet ensemble ?

2) Si N est "infiniment" plus grand que tout entier fini, il s'ensuit qu'aucun entier fini ne peut dénombrer N. Dans ce cas, pourquoi N est-il dénombrable ?  Et par QUOI l'est-il ?

3) Si un irrationnel quelconque a "une infinité" de décimales, quel est son successeur ?

Amclmt

Sinus

Barbichu

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Re : conjecture de cantor-titus

Salut
Je ne dis pas "ce qu'il faut dire" ou "ne pas dire", je dis "ce qui est défini" ou "pas défini".
C'est une notion incontournable. Si ça ne te va pas tu considéra donc que je peux dire la phrase suivante sans poser de problèmes de compréhension : "ce matin j'ai arfé un pomme, puis j'ai utjé un bojarlo".

1) Si un ensemble contient "une infinité" d'éléments, quelle est la taille d'un seul élément de cet ensemble ?

Je ne peux pas répondre directement à cette question : le mot taille n'est pas défini.
C'est comme si tu me demandais de quel oualouk est ma chemise ?

Si par taille d'un élément x tu entends son cardinal, la réponse est n'importe lequel.
Si par taille d'un élément x, tu entends le cardinal du singleton {x}, la réponse est 1.
Si par taille d'un élément x, tu entends la mesure de {x}, ça dépend de ta tribu et de ta mesure.
Si tu entends autre chose, merci de préciser.

2) Si N est "infiniment" plus grand que tout entier fini, il s'ensuit qu'aucun entier fini ne peut dénombrer N. Dans ce cas, pourquoi N est-il dénombrable ?  Et par QUOI l'est-il ?

"Dénombrable par" n'est pas défini non plus à ma connaissance.
C'est comme si je te disais : "J'ai trop chaud par radiateur"

Dénombrable signifie "en bijection avec N"
Définition équivalente : E est dénombrable si à chaque entier on peut associer un unique élément de E et vice et versa.
La dénombrabilité de N est alors triviale : à chaque élément de N, on associe lui même (et vice et versa).

NB : Si malgré tout, je donne le sens suivant à "dénombrable par" (notation locale à ce message)
"E dénombrable par F" signifie "E en bijection avec F". Alors on peut dire que N est dénombable par ... lui-même.

3) Si un irrationnel quelconque a "une infinité" de décimales, quel est son successeur ?

Là encore, la notion de successeur n'est pas définie pour un réel quelconque.
C'est comme si je disais, en désignant un bol de semoule : "quel est le successeur de ce grain de semoule ?"
Malgré tout on peut éventuellement défini le successeur d'un réel x par s(x) = x+1.
À ce moment là, le successeur de \pi est \pi + 1.

Au final, je ne peux répondre directement à aucune de tes interrogations et personnes ne le pourra.
Pourquoi ? Tu utilises des mots qui n'ont pas (encore) de sens dans le contexte étudié.
e n'est pas à moi de créer les définitions pour toi : je ne peux pas trouver celles auxquelles tu pouvais penser. J'ai pourtant essayé, mais sans "ta définition", tes questions resteront incomplètes et à question incomplète, réponse incomplète ...

++