dm surfaces et volumes [Résolu]

sedah · 11-12-2008 16:18:46

Bonjour à vous tous , j 'ai un devoir masion à rendre avant les vacances et j 'aurai besoin de vous pour certaines questions SVP , et MERCI
Consigne :
Aux 4 coins d 'une plaque en cartons carré de 4cm de coté ,on decoupe 4 carrés de x cm pour fabriquer ensuite par pliage et rabattement des 4 bords ,une boite parallélipipedique de profondeur x .
1) Faire la figure x=1 calculer l 'aire de la surface ainsi decoupée
2) Calculer le volume de le boite correspondante
3) Quelles sont les valeurs minimales et maximales que peut prendre x
Donner la reponsesous forme d 'un intervalle
4)Calculer en fonction de x l 'aire A(x) de la surface decoupée
Montrer qu 'elle est egale à 16-4x²
5) On veut que cette air soit la moitié de l 'aire initiale de la plaque
Former une equation puis la resoudre pour trouver la valeure de x
Quelle est alors le volume de la boite en carton ainsi formée ?

resulats :
j 'ai fais la figure sur mon brouillon
1) Aire de la boite sans decoupage : 4*4 = 16 cm ²
aire de la boite avec les decoupages des petits carés : 8cm²
2) volume : surface * hauteur
surface = base donc sur 4 cm on enleve 2
S=2*2 = 4cm²
volume : S*h
4 * 1
= 4cm²
la surface correspondente est de 4 cm²
3) les valeures minimales que peut prendre x sont : à partir de 0
maximale : superieur à 0
sous forme d 'intervalle S= ]-infini;0[ U ]0;+infini[
4) desolé , je sais pas j 'ai pas trouvé
5)
5)

pouvez vous me dire si le debut de mon exo est correct ?
merci à vous :)

yoshi · 11-12-2008 16:32:39

Bonjour,

1. Aire de la plaque 16 cm² d'accord...
Aire de la boîte après découpage des 4 carrés.
Chaque carré de 1 cm de côté a une aire de 1 cm². Il y en a 4. Donc 16 - 4 = 12 cm²
2. Volume. oui 4. Mais [tex]4 cm^3[/tex] et non cm²...
3. La plaque carrée a 4 cm de côté. Voici un petit dessin avec le milieu M d'un côté de la plaque que j'appelle [AB] et je place les longueurs x :
A M B
|<-->-----|-----<-->|
x x
Tu vois bien que la longueur maximale que peut prendre x est la longueur [AM] ou BM soit 2.
Et non +oo : tu sortirais de ta plaque pour aller à l'infini !

4) L'aire A(x) de la surface découpée se calcule ainsi :
Aire totale de la plaque - (Aire d'un petit carré de côté x)*4

5) Aire initiale de la plaque : 16 cm². Moitié de cette aire : 8 cm²...
ET on veut que A(x) = 8 cm²
Il faut donc résoudre 16 - 4x² = 8

@+

sedah · 11-12-2008 17:30:56

bonsoir :):) et merci :)
3) la valeur minimale que x peut prendre est 1
la valeur maximale que x peut prendre est 2
S= [1;2]
4)A(x) = aire totale de la plaque - (aire d 'un petit carré de coté x) * 4
A(x) = 16 - ( 1*1)*4
A(x)= 16-(1)*4
A(x)=12 cm²
5) 16-4x²=8
(2x-4)(2x+4)=8
(2x-4)(2x+4)-8=0
(2x-4-V8)(2x+4+V8)=0

1er cas :
2x-4-V8 = 0
x= V8/2
x=1.414

2eme cas :
2x+4+V8=0
x= V8/-2
x= -1.414

S= { 1.414 ; -1.414}

est ce cela ? merci :)

yoshi · 11-12-2008 17:38:20

RE,

Pour moi, c'est [0 ;2]...
16-4x²=8
16- 8 - 4x² = 0
8-4x² = 0
2- x² = 0
[tex](\sqrt 2 + x)(\sqrt 2 -x) =0[/tex]

Et ta réponse ne peut être négative : x est une longueur, donc toujours positive.

@+

Dernière modification par yoshi (11-12-2008 18:54:35)

sedah · 11-12-2008 18:11:31

ok , d 'accord donc au lieu de 1.41 et -1.41
S= {V2 ; -V2} c 'est vrai j 'avais oublié pour les nombres decimaux :):) c 'est mieux ecrite comme vous l 'avez fait
pour la question 4 : on me demande apres avoir calculer l 'aire de la surface decoupé de montrer qu 'elle est egale à 16-4x²
comment dois je faire sachant que vous avez trouver l'aire A(x)
faut t 'il que j 'explique que x est un cote du petit carré ...? mais comme vous l 'avez déjà expliquer pour me montrer comment calculer A(x)
merci :)
merci

yoshi · 11-12-2008 19:00:51

Re,

Mais lorsque tu écris :

(2x-4)(2x+4)=8
(2x-4)(2x+4)-8=0
(2x-4-V8)(2x+4+V8)=0

ce que tu écris n'est pas correct.
En effet à partir de (2x-4)(2x+4)-8 = 0
on ne peut factoriser : l'ensemble n'est pas identifié comme une identité remarquable.
Tandis que :
[tex]8 - 4x^2[/tex] si ! C'est a² - b² : [tex]8 - 4x^2 =(\sqrtr 8)^2 - (2x)^2[/tex] si je ne mets pas le 4 en facteur avant.

Pas besoin d'expliquer. Tu dis juste que le carré de côté x a une aire notée x²...
La question posée se règle en 2 lignes.
Pas besoin de s'étendre.

J'étais parti chez le kiné sans voir que la fin de ma phrase avait été tronquée. Relis donc mon précédent message...

@+

sedah · 13-12-2008 13:30:53

bonjour et excusez moi Yoshi de ne pas vous avoir repondu plus tot mille excuses
je ne comprend pas tres bien la question 5 on a trouvé x=V2
mais on me demande le volume de la boite en carton ainsi formé
donc je dois calculer le volume V= S*h
mais avec x= V2
c 'est cela ?
avec S=16 ou S=4
merci :)

yoshi · 13-12-2008 15:56:51

Bonjour,

A croire que tu aimes te faire peur...
J'ai oublié de quoi il est question et tu me demandes :

je ne comprend pas tres bien la question 5 on a trouvé x=V2
mais on me demande le volume de la boite en carton ainsi formé
donc je dois calculer le volume V= S*h
mais avec x= V2
c 'est cela ?
avec S=16 ou S=4

Donc, moi, qu'est-ce que je fais ? Réponse : Je remonte le temps, je vais voir ton premier message. Et qu'est-ce que j'y lis ?
Réponse :

(...)une boite parallélépipédique de profondeur x.
........................................................................
On veut que cette aire soit la moitié de l'aire initiale de la plaque
Former une équation, puis la résoudre pour trouver la valeur de x

Maintenant, tu dois être capable de répondre toi-même à ta question, non ?
Une dernière chose. Il n'est pas précisé de donner une valeur approchée (ou alors tu as oublié cette mention), donc tu restes avec la valeur exacte.

@+

sedah · 13-12-2008 22:04:52

bonsoir , excusez moi mais j 'ai encore du mal à comprendre
Volume = S*h
dois je utiliser le V2 pour calcluer le volume car si je dois calculer le volume de la figure apres le decoupage j 'aurai : 2*4=8
??

yoshi · 13-12-2008 22:55:57

Bonsoir,

Récapitulons...
x est le côté des 4 carrés que tu découpes et aussi la profondeur de la boîte.
Si tu ne vois pas pourquoi, fais un dessin, découpe ton carré, trace les 4 petits carrés aux 4 coins, écris x sur chacun de ces côtés, découpe les 4 petits carrés, et replie les bords de ce qui reste pour former la boîte...

Après la découpe de 4 carrés de côté x, l'aire restante (ta surface s) s'écrit A(x) = 16-4x² : c'est la 4e question.
La 5e question t'apprend que cette aire A(x) vaut la moitié de l'aire initiale soit 8 cm², si x est solution de l'équation : 16 - 4x² = 8.
Tu as montré que la seule solution possible pour que l'aire restante soit la moitié de l'aire initiale, c'est à dire 8 cm², est que [tex]x=\sqrt 2[/tex]
Et la fin de la 5e question est : dans ce cas quel est le volume de la boîte ?
Qu'est-ce que tu veux de plus ?
Pourquoi donc prends-tu S = 4 ? Pourquoi prends-tu h = 2 ? Aucun rapport avec les 4e et 5e questions !
Prends maintenant le fond de ta boîte que tu as construite : tu vois que c'est un carré...
Combien mesure son côté ?
Réponse : il mesure [tex]4-2\sqrt 2[/tex]
A I M J B
|<-->|-----|-----|<-->|
x x
AB mesure 4, AI et JB mesurent [tex]x = \sqrt 2[/tex]
Tu vois bien que le côté IJ du fond carré de la boîte obtenue après avoir relevé les bords, est bien [tex]IJ = 4-2\sqrt 2[/tex]
L'aire de ce fond carré est donc : [tex]S=(4 - 2\sqrt 2)^2[/tex]
Ton volume est donc [tex]V =S \times h = (4 - 2\sqrt2)^2\times \sqrt 2 [/tex] en [tex]cm^3[/tex]

Si ça peut t'aider, fais toi un résumé sur 2 colonnes : à gauche les questions, à droite et en face les réponses correspondantes : ça devrait devenir tout de suite beaucoup plus clair (et construis la boîte. Demain, je tâcherai de dessiner une boîte en perspective avec les indications et si c'est nécessaire je mettrai l'image dans un message.)...

@+

PS
J'en profite pour :
* D'abord rectifier une mauvaise réponse de ma part à la question 2...
Si on prend x = 1 cm, la profondeur de la boîte est 1 cm. La surface du fond carré de la boîte que tu peux ainsi former aura un côté qui mesurera 2 cm.
S = 4 cm² et V = 4 cm² * 1 cm = [tex]4\;cm^3[/tex]
La réponse que tu avais proposée, si tu parles de volume (à la fin) et non pas d'aire et de [tex]cm^3[/tex] et non pas de cm², était juste, ton raisonnement était bon.

* Revenir de plus sur cette histoire de valeur approchée et de valeur exacte.
Dans tous les cas, il faut commencer par donner la valeur exacte, après si l'envie t'en prend tu peux donner une valeur approchée mais donnant la précision... Par exemple ici, aucune précision, ni valeur approchée n'est demandée, tu as donc le choix de ta précision : au [tex]cm^3[/tex] près, ou au [tex]mm^3[/tex] près (en évitant de te tromper dans l'arrondi, évidemment).

* Après réflexion, modifier l'intervalle demandé au 3e. En effet, pour que l'on puisse plier et faire une boîte, il faut que la découpe existe, donc, j'exclus le 0.
D'autre part, si je prends x = 2, j'ai découpé mon carré initial en 4 carrés séparés de côté 2, et je ne peux pas faire de boîte non plus. J'exclus donc aussi le 2.
Donc au lieu de l'intervalle [0 ; 2], je prends ]0 ; 2[. Et il faudra justifier ces exclusions des bornes sur ton devoir.

sedah · 14-12-2008 15:23:48

bonjour à vous :):)
j 'ai pour la question 3 pour justifier l 'exclusion des nombres ds l 'intervalle repris votre explication et aussi l 'enoncé du debut :)
en revanche pour la derniere question avec le volume c 'est bien : (4-2V2)²*V2 cm 3
Ou dois je le calculer car c 'est impossible j 'obtien un nombre decimale :(
Merci

yoshi · 14-12-2008 16:04:47

Re,

Oui, le volume est bien :
[tex]V=(4-2\sqrt 2)^2\times \sqrt 2[/tex]
C'est ça la valeur exacte.
On va la simplifier un peu (en développant le carré d'une différence : identité remarquable)...
[tex]V=(4-2\sqrt 2)^2\times \sqrt 2=[16-2\times 4\times 2\sqrt 2+(2\sqrt 2)^2]\times \sqrt 2=(16-16\sqrt 2+8)\times \sqrt 2[/tex]
D'où
[tex]V = (24 -16\sqrt 2)\times \sqrt 2= 24\sqrt 2 - 32[/tex]. Voilà.
Après, si tu veux, tu peux jouer avec ta calculette et trouver une valeur approchée de ce volume...

Pour la modification de l'intervalle, tu as compris les raisons de mon changement ?

@+

sedah · 15-12-2008 14:50:38

bonjour , desolé pour le retard , oui j 'ai compris pour l 'intervalle
MERCI POUR TOUT :):)

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