exo - inéquations avec valeurs absolues.[Résolu]

sedah · 15-11-2008 13:28:46

bonjour j 'ai un exo pour lundi et je ne sais pas si c 'est ça , pouvez vous me corriger et m 'expliquer SVP si necessaire car je suis pas sur .
Merci

resoudre chaque inéquation en interpretant |x-a| comme une distance

a) |x+2|>2
b) |x-3|>1
c)|x-4|>(=) 3
d) |x-5|>(=) 6

voici ce que j 'ai fias mais je suis pas sur :

x+2 > 2
x+2=0
x=-2

-2>2

x-3>1
je sais pas si je fais pareille que le a) je trouve : 3

x-4 >(=) 3
x-4=0
x=4

x-4>(=) 3
x-4-3
x-7
x=7

x-5 >(=) 6
x-5-6 <0
x-11
x= 11

merci pour tout :)

[edit Fred] J'ai modifié le titre de ton message pour le rendre plus précis.

Fred · 15-11-2008 14:32:23

Salut Sedah,

Je crois qu'il y a encore du boulot...

Je ne vais traiter que a), les autres questions sont identiques ou presque...
On cherche donc les x tels que |x+2|>2.
Ce n'est pas équivalent à dire x+2>2 (ca servirait à quoi de mettre des |.|??!??).

Le mieux, comme c'est indiqué dans l'énoncé, est d'interpréter |x-a| comme une distance : c'est la distance
de x à a sur l'axe des réels.
Ici, on cherche à résoudre |x+2|>2 soit |x-(-2)|>2.
On cherche donc les x sur l'axe des réels qui sont à une distance supérieure stricte à 2 de -2.
Ce sont ceux qui appartiennent à ]-oo,-4[u]0,+oo[.

Est-ce clair?
Il y avait encore plein d'autres chose fausses dans ce que tu écrivais, comme les signes d'inégalité qui disparaissent brutalement, etc...
Par exemple comment passes-tu de x+2>2 à x+2=0????
En utilisant les règles de ton cours sur les inégalités, tu as plutôt x+2-2>2-2
soit x>0 (on retrouve un de deux intervalles précédent).

Fred.

sedah · 15-11-2008 18:42:27

bonsoir et merci
je suis pas sur d 'avoir tous compris d 'où avez vous trouver le -4 dans l 'intevalle
(-2-2=-4)

si je fais comme vous pour la 2 emme j 'ai
|x-3|>1
|x+(-3)|>1
donc ]-infini ; -6[ U ]0;+infini[
est ce que c 'esr ça ?
( -6 = -3-3)
merci

Fred · 15-11-2008 19:08:33

Bonsoir,

Non, ce n'est pas cela, compare les deux expressions :
*d'un côté on a |x+2| et on le veut sous la forme |x-a|. On l'écrit sous la forme |x-(-2)|
*de l'autre on a |x-3|, ce qui est directement de la forme |x-3|.
De plus, si on cherche les x tels que |x-3|>1, on cherche les x de la droite réelle
qui sont à distance supérieure à 1 de 3. Quels sont ses réels? (Il s'agit ici de comprendre cette
phrase plutôt que d'essayer d'appliquer des règles automatiques). A toi donc de trouver quels sont les réels à distance supérieure (stricte) à 1 du réel 3.

Fred.

sedah · 15-11-2008 19:50:38

desolé , je comprend toujours pas :(

Fred · 15-11-2008 20:19:35

Qu'est-ce que tu ne comprends pas :
* la distance de deux réels?
* l'interprétation de |x-a| comme distance de x à a.
* comment trouver les réels qui sont à distance supérieure à 1 de 3?
* autre chose?

sedah · 15-11-2008 20:32:09

la distance de 2 reels et comment trouver les reels qui sont à distance superieur à 1 de 3

yoshi · 15-11-2008 20:34:15

Bonsoir,

1er point.
Par définition, la distance d'un point M d'abscisse x à un point A d'abscisse a, notée d(M;A) n'est autre que [tex]|x-a|[/tex].
Donc la distance d'un point M d'abscisse x au point A d'abscisse -2 est |x-(-2)|=|x+2|.
Est-ce que ça c'est clair ?

2e point
Fred t'a dit que |x-3| était donc la distance d'un point M d'abscisse x à un point A d'abscisse 3. D'accord ?
Chercher x tel que |x-3|>1, c'est donc chercher où sont placés, sur la droite réelle, tous les points M tels que la distance (la longueur, si tu préfères) qui les sépare du point A est supérieure à 1.
Tu dois placer M pour que la longueur AM doit être supérieure à 1...
O A
----------|----|----|----|----|----|----|----|------>
-1 0 1 2 3 4 5 6
Est-ce que ça c'est clair ?

3e point
A O
------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|------>
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

On cherche |x+2| > 2, soit |x-(-2)| > 2
Là tu cherches à placer tous les points M pour que AM > 2 (d'un côté et de l'autre de A, bien sûr !)
Es-ce que ça c'est compris ?

Bon tu vas répondre par oui ou par non aux questions posées. Si c'est non, dis-ce qui t'échappe !
On s'arrête là pour l'instant.

@+

sedah · 16-11-2008 10:42:56

bonjour yoshi :):)
ok , merci j 'ai comprist le petit 1) mais j 'ai un peu de mal avec l 'explication du 2 )
meric pour vos schema voila ce que j 'ai fais pour |x-(-2)|>2
A=-2
0=0
M= 2

pour |x-3|>1
j 'ai pas d 'idée :(

yoshi · 16-11-2008 11:17:56

Bonjour,

Tu dois avoir compris maintenant que l'on parle de longueurs...
Normalement, ce que je vais te demander est inutile, mais là comme tu ne comprends pas, ça va éclaircir les choses, tu vas voir (et c'est le cas de le dire)...
Alors l'instrument qui permet de reporter des longueurs sans savoir combien de cm, ou de mm elles mesurent s'appelle un ... ? un ... ? Un compas, bravo ! ;-)
Tu vas donc prendre ton compas et prendre la longueur 2 (n'importe où sur ton dessin : entre 0 et 2, entre 1 et 3, entre -1 et +1, où tu veux)
Maintenant que l'ouverture de ton compas est de 2, tu mets la pointe sur A et tu mets un "coup de compas" de chaque côté : tu obtiens donc 2 points B et B' tels que AB= AB' = 2.... Est-ce que c'est clair ?
Mais, là tu as trouvé x=-4 et x = 4, donc les abscisses des points B tels que d(A;B) = 2, mais toi, on te demande de chercher les positions possibles du point M pour que d(A;M) > 2 !
I te faut donc placer les points pour que AM > 2 , pas = 2, mais > 2 !!!
A O
----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|------>
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Tu ne devrais pas avoir besoin du compas pour trouver les 2 zones répondant à la question.
On s'arrête-là.
As-tu compris ?

@+

PS :
B, M, C, H ce n'est pas important, on leur donne bien le nom qu'on veut...

sedah · 16-11-2008 13:28:08

ok , j 'ai fais votre consttuction etj 'ai compris maintant votre raisonnement donc la solution est celle de Fred ]-infini;-4[ U ]0,+infini[
donc avec |x-3|>1si je vais le schema et je prend une longueur de 3 cm
j 'ai ]-infini;-6[ U ]0;+infini[

est ce que c 'est ça ?
en fait je comprend pas trop bien le but de l 'exo et pourquoi à la 1) on ecrit 0,+infini alors que l 'on dit >1
merci pour tout :)

yoshi · 16-11-2008 13:54:16

Bon,

On avance...
La longueur du segment est définie par le > 1, pas par le 3 de x-3...
Donc en partant de A d'abscisse 3 (à cause du |x - 3|) on cherche les points M pour que la distance de A à M, donc la longueur AM, soit supérieure à 1...
Depuis le point A, que ce soit dans le sens positif ou négatif, la distance AM doit être supérieure à 1.
On dit |x-3] > 1 pour que la longueur soit supérieure à 1...

But de l'exercice.
1. Te faire rentrer dans la tête que la valeur absolue de x+2 (par exemple), c'est la distance du point M d'abscisse x au point A d'abscisse -2 : |x - (-2)| = |x +2| et que ce n'est pas vrai pour x+2...
2. Te montrer que |x+2| > 2 et x + 2 > 2 ne te donnent donc pas les mêmes solutions :
* |x+2| > 2 --> solutions : ]-oo ; -4[ U ]0 ; +oo[
* x + 2 > 2 --> solutions : ]0 ; +oo[

Pour le 1 , tu trouves 2 bornes qui sont -4 et 0 : entre -2 et -4, il y a une longueur de 2 et entre -2 et 0, il y aussi une longueur de 2.
b) J'ai rectifié ton étourderie ci-dessus : il n'est pas question d'une longueur 3, mais d'une longueur 1.
c) Longueur 3. Mais >= donc bornes acceptées cette fois..
d) Cette fois, longueur 6 et également >=

Bien, cette fois donne tes solutions pour b) , c) et d)

@+

sedah · 16-11-2008 14:30:39

ok donc pour le c) et le d)
voilà ce que j 'ai trouvé
c) |x-4|>(=) 3
]-infini;-8] U [0;+infini[

d) |x-5|>(=) 6
]-infini ; -10 U [0;+infini [

est ce que c 'est bon ?
merci

yoshi · 16-11-2008 15:02:30

M'enfin,

Boudiou !
Pour le c) tu pars du point d'abscisse 4 et tu reportes une longueur 3. Comment peux-tu arriver à 8 ?
Pour le d) Tu pars du point d'abscisse 5 et tu reportes une longueur 6. Comment peux-tu arriver à 10 ?
La seule explication c'est que tu as fait 4 x 2 = 8 et 5 x2 = 10 ou ce qui revient au même 4 + 4 = 8 et 5 + 5 = 10...

Nom d'un chien ! Je vais finir par piquer une colère ! Où as-tu lu que j'avais écrit ça ?
J'ai écrit :

La longueur du segment est définie par le > 1, pas par le 3 de x-3...
Donc en partant de A d'abscisse 3 (à cause du |x - 3|) on cherche les points M pour que la distance de A à M, donc la longueur AM, soit supérieure à 1...
Depuis le point A, que ce soit dans le sens positif ou négatif, la distance AM doit être supérieure à 1.
On dit |x-3] > 1 pour que la longueur soit supérieure à 1...

Puis encore

b) J'ai rectifié ton étourderie ci-dessus : il n'est pas question d'une longueur 3, mais d'une longueur 1.
c) Longueur 3. Mais >= donc bornes acceptées cette fois..
d) Cette fois, longueur 6 et également >=

On reprend :
b) |x-3|> 1 se traduit par : "a longueur entre le point M d'abscisse x et le point A d'abscisse 3 doit être supérieure à 1" !!!
On part du point A d'abscisse 3 et on s'en éloigne d'une longueur supérieure à 1. Solutions ?
c) |x-4|>= 3 se traduit par : "la longueur entre le point M d'abscisse x et le point A d'abscisse 4 doit être supérieure ou égale à 3" !!!
On part du point A d'abscisse 4 et on s'en éloigne d'une longueur supérieure ou égale à 3. Solutions ?
d) |x-5|>= 6 se traduit par : "la longueur entre le point M d'abscisse x et le point A d'abscisse 5 doit être supérieure ou égale à 6" !!!
On part du point A d'abscisse 5 et on s'en éloigne d'une longueur supérieure ou égale à 6. Solutions ?

On s' éloigne de A dans un sens puis dans l'autre, bien sûr.

je te pose 3 questions donc 3 réponses attendues.

@+

sedah · 16-11-2008 15:17:01

pardon , je pense que je devais prendre l 'abcisse A comme longueur à reporter donc cela fait
pour le b ) :|x-3|>1
donc ]-inifni ; -4 [ u ]0.+infini [

c) |x-4|>(=) 3
]-inifin;-7] u [-1;+inifini[

d) |x-5|>(=) 6
]-infini,-11] u [1;+inifini[

?

yoshi · 16-11-2008 15:52:26

Re,

Presque !

|x-3| c'est longueur entre x et +3 !!! pas -3, +3 !!!
|x - (+3)| = |x - 3|
Si tu cherches la distance entre 12 et 7, tu fais bien 12 - 7 = 5 ! 12 moins 7 !!!
Si tu cherches la distance entre 12 et -7, tu fais bien 12 - (-7) = 12 + 7 = 19 ! 12 moins (-7) !!!

b) Donc pour |x-3| > 1 On part du point d'abscisse +3 et on s'éloigne de plus de 1 unité !
On part de +3... On part de + 3... On part de +3...On part de +3.... Ca y est, c'est rentré ?
Puis avec ton compas tu reportes 1 de chaque côté et tu trouves les bornes... Solutions ici :
]-oo ; 2[ U ]4 ; +oo[
Tu vois bien que l'abscisse +3 est au milieu entre 2 et 4... Et que si je fais 3-2 66< 1 et 4 -3 --> 1

c) Pour |x-4| >= 3, on part donc du point d'abscisse +4 et on s'éloigne de 1 unité ou plus !
|x - (+4)| = |x - 4|
On part de +4.... et on s'éloigne de 3 ou plus d'abord dans un sens, puis on repart de +4 et on s'éloigne dans l'autre sens de 3 ou plus. Ca y est, c'est rentré ?

d) Pour |x-5| >= 6, on part donc du point d'abscisse +4 et on s'éloigne de 1 unité ou plus !
|x -(+5)| = |x - 5|[/tex]
On part de +5.... et on s'éloigne de 6 ou plus d'abord dans un sens, puis on repart de +5 et on s'éloigne dans l'autre sens de 6 ou plus.

Réponses b) et c) ?

@+

sedah · 16-11-2008 18:00:08

ok donc
b) ]-infini;2] U ]4;+infini[
c) ]-infini ; 1 ] U [7;+infini[
d)]-inifini ; -1] U [11;+infini[

yoshi · 16-11-2008 18:08:33

Alleluia !

Oui, enfin !!!

Tiens, pour voir si t'as compris, réponds à ces deux questions :
|x - 4| < = 3
|x + 3| <=5
;-)

@+

sedah · 16-11-2008 18:13:41

ok , est ce qu 'il y a un piege ?
comme le signe n 'est pas le meme que ce de mon exo ,
est ce que la methode est la meme ?

sedah · 16-11-2008 18:34:23

donc si je predn avec 4 j 'obtiens le meme resultat que precedement
alors que si je place -4 j 'ai : ]-infini;-7] U [1;+infini[ puisque le signe est inferieur ou egal ?

pour |x+3| <(=) 5
si je place -5 j 'ai ] -infini ; -8 ] U [2,+infini [

est ce bon , ?

yoshi · 16-11-2008 19:26:15

Non, mais pas loin...

Bon, on réexplique :
la distance entre un point M d'abscisse x et un point A d'abscisse a s'écrit [tex]|x - a|[/tex].
D'accord ?
Toujours un - !!!
Mais a
* peut être positif, par exemple a = +2, a = +5, a = +11... dans ce cas la distance entre x et a s'écrit :
dans chacun des cas cités ci-dessus :
|x - (+2)| = |x - 2|, |x - (+5)| = |x - 5|, |x - (+11)| = |x - 11| et tu vois bien le moins...
* peut être négatif, par exemple a = -2, a = -5, a = -11... dans ce cas la distance entre x et a s'écrit :
dans chacun des cas cités ci-dessus :
|x - (-2)| = |x + 2|, |x - (-5)| = |x + 5|, |x - (-11)| = |x + 11| et tu ne vois pas le moins, mais un plus...
Donc, s'il n'y a pas de -, mais un +, tu dois toujours faire apparaître le - , en remplaçant + par --

donc si je predn avec 4 j 'obtiens le meme resultat que precedement
alors que si je place -4 j 'ai : ]-infini;-7] U [1;+infini[ puisque le signe est inferieur ou egal ?

Plusieurs choses à dire.
1. |x - 4| < = 3 --> Je vois le -, donc je sais que mon point A celui dont je pars a pour abscisse +4 |x - 4| = |x-(+4)|
.Donc je pars de 3 et je m'éloigne au maximum de 3. <= 3 signifie que la distance est plus petite que 3 : je dois rester cette fois entre mes deux bornes...
Solution [1 ; 7]
2. Tu serais partie de -4 si l'énoncé été |x + 4| <=3, puisque |x+4| s'écrit en fait |x-(-4)|

3. |x+3| <= 5 --> il n'y pas de - alors je le fais apparaître en écrivant à la place : |x-(-3)| <= 5
Maintenant je vois que mon point A a pour abscisse -3. Je pars de -3 et je ne dois pas m'éloigner du point A de plus de 5 unités (c'est que me dit le <=5). Solution [-8 ; 2].
4. Autres exemples :
|x+3| >= 5 --> |x -(-3)| >= 5. distance 5 minimum... Donc ]-oo ; -8] U [2 ;+oo[
|x+3| > 5 --> |x -(-3)| > 5. distance 5 minimum et 5 pas acceptée... Donc ]-oo ; -8[ U ]2 ;+oo[

Tu dois donc surveiller deux choses :
* qu'il y ait bien un -, sinon le faire apparaître ; ainsi on ne se trompe pas de point de départ.
* si la distance d'éloignement est un minimum (cas de > et >=) ou un maximum (cas de < et <=).

Ca y est ?

@+

sedah · 16-11-2008 21:37:01

ok , c 'est bon j 'ai tout compris merci en fait c 'etais pas compliqué .
MERCI BEAUCOUP :):)

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