Enigme : 100 coffres pour 100 mathématiciens

drkryptos · 09-09-2008 11:56:26

je crois que la reponse a deja ete donne:

les mathematiciens ouvre en premier le coffre qui porte leur numero(supposont qu ils
les numerote de la facon qui leur fait plaisir)
ensuite le coffre qui porte le numero contenu dans le premier coffre ouvert et ainsi de
suite s'il tombe dans une boucle infinie il passe au premier coffre qu il na pas encore ouvert

sa donne a vu de nez 33% sans compter les boucles infinie bien sur

Dernière modification par drkryptos (09-09-2008 11:57:23)

Golgup · 09-09-2008 13:56:05

B'jour

On dirait une jolie idée.

++

tibo · 09-09-2008 20:29:02

pourquoi pas, mais reste à le prouver rigoureusement...

yoshi · 09-09-2008 21:40:16

Bonsoir,

L'idée est jolie certes.
Mais dans son message #1

Barbichu a écrit :

(NB : ils n'ont pas le droit de laisser les coffres ouverts, ni de déplacer les numéros, ni de mettre des annotations, où que ce soit).

Numéroter des coffres, n'est(ce pas équivalent à "mettre une annotation", non ?

Les coffres sont-ils déjà numérotés ?
Dans son message #18

Barbichu a écrit :

Je précise un point qui semble vous chagriner : on considère que les coffres ne seront pas mélangés d'une visite à l'autre. On peut donc bien les numéroter de la même façon pour tout le monde.

Si on peut les numéroter, c'est qu'ils ne le sont pas...
Je vous vois d'ici sauter sur le "on peut" : jusqu'à infirmation de ce que je vais dire par Maître Barbichu soi-même, je considère que c'est juste pour montrer que
1. ce sont des coffres tout à fait ordinaires,
2. on ne change pas l'ordre des coffres d'un "visiteur" à l'autre.
Si le "on peut" était une indication, Barbichu, au 18e message, nous l'aurait dit...

@+

Barbichu · 10-09-2008 12:03:29

Salut
Bon, on peut les numéroter de la même façon pour tous, signifie que l'on peut ordonner les coffres, et donc suivant sa position dans la salle, chaque mathématicien pourra retrouver son numéro. Donc la notion de coffre numéro n à un sens et ne change pas d'un mathématicien à l'autre.

La "stratégie" annoncée par Csurementbetemais et reprise par drkryptos contient une bonne idée. Mais vous n'avez pas assez réfléchi : que se passe-t'il si l'on boucle ??
Maintenant calculez le taux de réussite.

Pour ce qui est de mon histoire de distribution uniforme, distribution uniforme => équiprobabilité pour chaque répartition des numéros dans les coffres.
++

Dernière modification par Barbichu (10-09-2008 12:08:04)

yoshi · 14-11-2008 17:28:56

Salut,

Peut-être peux-tu dévoiler la solution, maintenant ?

@+

Barbichu · 15-04-2009 17:31:14

Salut,
de deux choses l'une :
Premièrement : il est exact que si un seul se trompe, tous meurent.
Deuxièmement : Il y existe bel et bien une stratégie, à laquelle les personnes ayant tenté de résoudre l'énigme étaient presque arrivés, il suffit de compléter le post #26 par mon commentaire #30 ....
++

freddy · 15-04-2009 19:08:58

Désolé, je m'aperçois que je n'ai rien compris à l'énoncé et que je l'ai trafiqué à l'envi.
Je re.re.regarde, des fois que je me mette à comprendre.

Dernière modification par freddy (15-04-2009 21:12:30)

freddy · 22-04-2009 06:22:01

Faisons simple et considérons le cas de 2 matheux et de deux coffres. Ils n'ont droit qu'à un essai.

Il y a 2 permutations possibles et une seule favorable. La probabilité de survie du groupe est donc de 50 %.

Considérons 4 matheux et quatre coffres. Ils ont droit à deux essais au maximum.

Il y a 4! permutations possibles et 10 permutations favorables :

une qui est celle qui ne change rien (i=i);

3 qui chamboulent tout (aucun point fixe) et qui reviennent sur elle même en deux coups, type : (i=j) et j=i) ;

et enfin 6 qui possèdent 2 points fixes et deux chiffres permutés, type (i=i, j=j, k=l; l=k).

La probabilité de survie du groupe est de 10/24, à peine supérieure à 41 % ...

Un lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation_circulaire

ou bien ici : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … rique.html

Tout revient à compter les bonnes permutations circulaires.

To be continued ...

Dernière modification par freddy (29-04-2009 14:15:01)

abousayfan · 25-04-2009 17:21:20

Bonjour
je crois que la stratégie qui leur permet d'augmenter leur chance c'est de considerer que les coffres sont numérotés dans leurs tête d'une manière queconque puis que le premier passe pour voir les coffres de 1 à 50.
sachant que le premier a reussi, le deuxième passe pour voir de 51 à 100 car il y a surement plus de chance et puis le ,troisième de 1 à 50 et ainsi de suite...
Reste à faire les calculs..

freddy · 25-04-2009 21:32:02

abousayfan a écrit :

Bonjour
je crois que la stratégie qui leur permet d'augmenter leur chance c'est de considerer que les coffres sont numérotés dans leurs tête d'une manière queconque puis que le premier passe pour voir les coffres de 1 à 50.
sachant que le premier a reussi, le deuxième passe pour voir de 51 à 100 car il y a surement plus de chance et puis le ,troisième de 1 à 50 et ainsi de suite...
Reste à faire les calculs..

Cher ami, j'ai bien peur que ce soit un peu plus compliqué que cela.
Puisqu'il y a 100 matheux, et qu'il suffit qu'un seul ne trouve pas pour qu'ils meurent tous, la méthode suggérée conduit à une mort quasi certaine.
En effet, rien ne dit que tous les numéros impairs sont dans les coffres n° 1 à 50, et les numéros pairs dans les coffres n° 51 à 100, comme vous le laissez entendre.
En outre, ce n'est pas parce que le numéro 1 a trouvé dans la série 1-50, que le numéro 2 a plus de chance d'être dans la série 51-100 que dans la série 1-50.
Voyez vous bien ce que je veux dire ?

+

abousayfan · 25-04-2009 22:32:09

Oui je suis ok, le problème c'est qu'ils n'ont pas beaucoup de choix, alors ils doivent absolument utiliser la condition que les precédents ont réussi à leurs tours mais comment c'est la, la question... evidement on tombe dans une succession d'evenements dépendants...
Ca casse vraiment la tête..

freddy · 07-09-2009 15:05:01

Bonjour,

(suite et fin de ce très joli problème)

Avec mon copain, et un copain d'icelui, on a fini par se convaincre que dénombrer d'une manière générale le nombre de cas favorables était un terrain truffé de mines (comme le dernier copain !).

Comme souvent en la matière, il est préférable de passer par l'événement complémentaire. En l'occurrence, il s'agit de dénombrer le nombre de cas dévaforables, c'est à dire le nombre de cycles (permutations circulaires) de longueur k > 50.

On va raisonner avec 100 matheux, mais on peut généraliser avec N = 2n nombre pair de matheux.

Rappel : cycle de longueur k est la donnée des k éléments suivant :
[tex]x, f(x), fof(x), fofof(x), \cdots, f^k(x) = x[/tex]
A partir de ces k élements, on peut fabriquer (k-1)! permutations circulaires.

On a 100!/k!(100-k)! façons de choisir k éléments parmi 100.

Donc il y a [tex]\frac{100!\times (k-1)!}{k!(100-k)!} = \frac{100!}{k}[/tex] cycles de longueur k.

La probabilité que le groupe meurt = [tex]\sum_{k=51}^{100} \frac{1}{k}[/tex] car nous savons que nous avons en tout 100! cas possibles.

Pour calculer la somme de cette série partielle, on calcule la limite suivante :

[tex]\lim_{n \to \infty} \int_{n+1}^{2n} \frac{1}{x}\, \maththrm dx = ln(2)[/tex] avec un nombre de matheux pairs.

Donc la probabilité que le groupe reste en vie = 1- ln(2) # 0,3069 %

Tschüss

PS : bien entendu, l'hypothèse implicite est que les numéros soient posés dans les coffres par une main innocente. Sinon, il suffirait de construire un cycle de longueur > 50 pour les envoyer ad patres avec certitude.

Dernière modification par freddy (07-09-2009 15:58:16)

nerosson · 07-09-2009 18:32:56

Bonjour, Barbichu,
Il me semble qu'à aucun moment, il n'a été précisé si les mathématiciens avaient été autorisés à se concerter pour élaborer une stratégie commune, qui sera appliquée strictement et impérativement par TOUS.
Il me semble évident que, si ce n'est pas le cas, le premier mathématicien se trouve en présence d'un aléa total, quoi qu'il fasse. Donc les mathématiciens auraient une chance sur deux de mourir du premier coup.
J'en déduis que lorsque le premier mathématicien part tenter sa chance, il a déjà reçu des consignes précises de sa collectivité.
Pour l'instant, je n'ai que le but (modeste) de bien cerner le problème.
Dire que je vais mal dormir, et tout ça pour cent mathématiciens de plus ou de moins, comme si ça avait une importance !!!
Salutations

nerosson · 08-09-2009 09:10:44

Bonjour à tous,
Il me semble indispensable que le deuxième mathématicien ait un moyen de savoir dans quel coffre le premier mathématicien a trouvé son numéro. Pas d'annotation, pas de tripatouillage des numéros, d'accord. Mais le premier mathématicien doit tout de même laisser un indice, mais je ne sais pas lequel. Je pense bien entendu à une clé légèrement oblique alors que les autres sont verticales, mais Barbichu va me sauter à la gorge en me disant qu'il récuse cette entourloupe. C'est sans doute autre chose, mais je pense que chaque mathématicien doit savoir dans quels coffres ses prédécesseurs ont trouvé leur numéro. Si c'est le cas, le premier a 50% de chances de succès, le second 50 sur 99, le troisième 50 sur 98, etc. Les 50 derniers auront la certitude de trouver leur numéro. Calculer le pourcentage final de succès excède un peu mes compétences : je laisse aux mathématiciens le soin de faire le calcul. Il en restera toujours assez : ils se reproduisent comme des lapins.
Bien cher Freddy, je ne te dis pas ce que tu peux faire de ton carton rouge, ça serait me répéter. Mais il arrive toujours au moins une fois dans la vie où on manque de papier : J'ai bien une fois utilisé un billet de cinq francs (anciens).
Cordialement à tous.

nerosson · 08-09-2009 16:05:33

Salut,
« Ah, non ! C'est un peu court jeune homme » comme disait à peu près, je crois, Cyrano.
Quant à ton carton rouge, si j'étais Zineddine Zidane, je saurais pourquoi j'aurais un carton rouge, mais toi, tu ne ressemblerais plus beaucoup à ta photo ! ;-)
Soyons sérieux : Ça n'est pas deux doigts que tu mets dans le pot à confiture de la mauvaise foi, c'est les quatre doigts et le pouce.
TU dis « chaque matheux ouvre le coffre dont le numéro d'ordre implicite est égal à son numéro, puis ouvre le coffre dont le numéro est celui du coffre précédent et il s'arrête quand il a trouvé son numéro. Comme le nombre d'essais est limité à 50, ceci explique cela. » C'est vaseux, obscur et insuffisant. Quand le premier matheux a fait ça, tous les coffres sont refermés, identiques et celui qui vient après est exactement dans la même situation que le premier. Il sait quel coffre a ouvert en premier son prédécesseur,et, à la rigueur, à condition que les matheux aient, pendant la nuit noté les numéros dans leur ordre croissant (ou décroissant), et qu'il en ait la liste sur lui (car ce n'est pas forcément une suite continue), il sait quels coffres son prédécesseur a ouverts, et même dans quel ordre il les a ouverts. Mais il ignore dans lequel il a trouvé son numéro. Il se trouve donc dans la même situation que son prédécesseur : 100 coffres, et aucune idée de celui qui contient son numéro. Il se retrouve donc lui aussi avec 50% de chances d'échec. Or, il est indispensable que le risque d'échec diminue progressivement, autrement le problème est insoluble. Mon sentiment est que le passage du premier doit apporter quelque chose à son successeur, que le passage du deuxième doit apporter quelque chose au troisième, etc. Je n'ai pas trouvé, d'accord, mais je sais ce que je cherche.

freddy · 08-09-2009 16:40:08

Re,

'tain d'Adèle, plus teston que lui, tu meurs !!! C'est bien un savoyard , ça !

On reprend : les matheux durant la nuit, conviennent de noter dans leur tête les coffres de gauche à droite, de 1 à 100. Quelle que soit la disposition des coffres, ils ont convenu d'avance de la manière de les noter.

De cette manière, chaque matheux ouvre un coffre qui est différent de chaque premier coffre ouvert par les autres matheux, quel que soit l'ordre de passage. En ouvrant le coffre, il trouve un numéro => il va ouvrir le coffre dont le numéro d'ordre convenu est le numéro figurant dans le coffre ouvert. And so on ...

Donc, et sous réserve qui les nombres dans chaque coffre forment une permutation circulaire de longueur <= à 50, chaque matheux est sauvé. Pour qu'il le soit tous, il faut que chacun le soit.

On montre que sur 100 ! permutations possibles, il y en a (1- ln2)*100 ! qui forment un cycle d'ordre <= 50. D'où le résultat. Ne pouvant aucunement communiquer, chaque matheux ne peut rien inférer du résultat précédent.

Il sait que les prédécesseurs ont réussi car il peut essayer à son tour. Sinon, quand un matheux a échoué, ils sont tous exécutés.

C'est pourtant simple, non, coquin de sort ?

Tudieu, va finir par m'agacer celui là, nom d'une pipe en terre de bruyère. C'est comme le pb du fantassin et du grenadier : tu peux ne jamais arriver à me tuer, puisque pour chaque coup tiré, on remet tout à zéro (les tirages sont indépendants, nom de nom de nom de nom !!!).

Heureusement que la théorie quantique est plus jeune que lui, il n'aurait pas aimé le chat de Schröninger !...

Dernière modification par freddy (08-09-2009 18:10:40)

nerosson · 08-09-2009 18:20:33

Salut, Freddy,
Il y a dans ta réponse :
1) des paragraphes qui sont des évidences,
2) des paragraphes qui me sont parfaitement clairs,
3) des paragraphes qui dépassent mes connaissances, du moins celles qui me restent.
Dans ces conditions, je suis contraint de renoncer à discuter.
Je m'étonne que Barbichu ne t'ait pas chaleureusement félicité pour l'exactitude et la limpidité de ta solution. Ca serait pourtant la moindre des choses, non ?
Tu prends des risques en faisant le procès des Savoyards, il y en a un autre sur ce site qui, possède des pouvoirs étendus. Moi, je suis obligé de subir.

freddy · 08-09-2009 20:45:37

Ami nerosson,

la dernière fois que j'ai parlé avec un Savoyard, c'était en août 2004 si je me souviens bien. Je m'étais arrêté faire le plein d'essence au sortir de Bourg St Maurice, en direction de Tignes - Val d'Isère.

Dans la station bien décatie, il y avait inscrit : "Ici, on vous sert" ... Un vieux Monsieur ronchon s'approche et me sert. Je lui demande ce qu'il aurait fait si je m'étais servi. Il m'a indiqué qu'il m'aurait tiré dessus avec son fusil de chasse à gros plomb. Il l'avait déjà fait sur un autochtone.

Lui faisant remarquer que partout ailleurs en France on se servait, il me répondit avec morgue : "c'est que Monsieur, ici, ce n'est pas la France ..." .

Fermez le ban !

Dernière modification par freddy (09-09-2009 13:54:44)

nerosson · 09-09-2009 14:48:43

Salut, Freddy,
Je t'en prie , ne nous juge pas sur un individu. Pour moi, un Savoyard qui dit "Ici, c'est pas la France", c'est un rien-du-tout. La Savoie (à ma connaissance) est la seule province qui soit française, non par la force des choses, mais par un libre choix référendaire et à une écrasante majorité. Le slogan de l'époque était "Nos coeurs vont où vont nos rivières". Lors de la dernière guerre, quand Mussolini réclamait (entre autres) la Savoie, je me suis dit : "S'ils gagnent, je ne resterai certainement pas". Celà dit, n'entretenons pas les vieilles querelles : mon plus proche voisin est Italien et c'est un homme très agréable, que j'aime bien.
Salut à toi, Barbichu. Excuse-moi d'avoir squatté ta page, mais il arrive qu'il y ait des choses qu'il faut absolument dire, et tout de suite.

Barbichu · 11-09-2009 13:28:29

Salutations !
Et minute papillon, que je passe faire un tour sur ce forum !
La solution de Fred est bonne, à deux points près :

1/ La limite sert à calculer dans le cas assymptotique de 2*n mathématiciens, n tendant vers l'infini.
Dans le cas de 100 mathématiciens, nul besoin de limite et la valeur approchée de ta somme finie est 0.3118

2/ On se place dans le cas où les mathématiciens seraient soumis à un complot machiavélique que le tyran aurait pu échaffauder contre eux en fabriquant de toute pièce une permutation comportant au moins n-cycle avec n > 50.
Il leur suffirait de choisir aléatoirement (avec distribution uniforme) l'ordre des coffres (en effet, la "composition" d'une distribution uniforme avec n'importe quelle distribution est uniforme).

Félicitations.
++

Barbichu · 11-09-2009 13:38:19

Re,

nerosson a écrit :

Or, il est indispensable que le risque d'échec diminue progressivement, autrement le problème est insoluble. Mon sentiment est que le passage du premier doit apporter quelque chose à son successeur, que le passage du deuxième doit apporter quelque chose au troisième, etc. .

Ce qui est l'intuition que beaucoup (moi compris) ont eu au début, mais qui s'avère fausse.

Lorsqu'on considère un seul mathématicien qui balaye les coffres dans l'ordre décrit par freddy ("J'ouvre le coffre correspondant à mon numéro, je lis le contenu et je vais au coffre indiqué par le contenu et ainsi de suite") il a effectivement 50% de réussite si on le considère lui tout seul, sauf que la distribution des numéros dans les coffres lie les probabilité de réussite de l'ensemble de mathématiciens, et on ne peut pas "bêtement" multiplier les probabilités des divers mathématiciens. Ce ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.

Heuristiquement, ce ne sont pas les mathématiciens eux-même qui laissent l'indice, mais il utilisent le recouvrement de leur tirages dans la distribution pour avoir une probabilité globale amortie ...

Formellement, ça s'explique sous la forme d'une condition de non existence d'un n cycle avec n>50 dans la permutation décrite par les coffres, comme l'a décrit freddy.

++

freddy · 12-09-2009 13:47:09

Re,

d'accord pour le 0,3118, mais j'avoue avoir été très tenté de trouver le "à peine plus de 30 %" que je m'étais mis en tête.

Et merci au passage, maître Barbichu.

near · 14-09-2009 10:28:16

est ce ke le mathématicien peut déplacer les coffres ou les numéros des coffres qu'il a ouverts .pcq si non
ca va etre par hasard ce ki fait que la proba ke tous réussissent est 50*50*50! par 100!
c'est en effet (50/100) * (50/49) * (50/48) * * ** 50/50

yoshi · 14-09-2009 11:20:47

Salut,

1. Stop au SMS ! Le prochain post ira direct à la trappe !
2. Relis l'ensemble de la discussion, et tu auras tes réponses
3. Rappel : formules de politesse attendues, sinon, là aussi, hop à la trappe !

Merci

@+

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#26 09-09-2008 11:56:26

Re : Enigme : 100 coffres pour 100 mathématiciens

#27 09-09-2008 13:56:05

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#28 09-09-2008 20:29:02

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#29 09-09-2008 21:40:16

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#30 10-09-2008 12:03:29

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#31 14-11-2008 17:28:56

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