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tibo

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casse tête n°1 -Puissance d'entiers

Bonjour,

je vous livre les énigmes mathématiques du dernier tangente sup.

La première, pas trop dur:

"Soit c un nombre réel vérifiant tel que quelque soit n entier naturel non nul, n^c entier relatif.
montrer que c entier naturel"

PS: pas si facile que ça en fait

[edit Fred] J'ai modifié le titre pour qu'il soit plus explicite.

Dernière modification par tibo (11-11-2008 12:00:14)

Fred

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Re : casse tête n°1 -Puissance d'entiers

Pas si facile, effectivement...
Tu as une solution?

tibo

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Re : casse tête n°1 -Puissance d'entiers

d'abord j'ai reformulé le problème:

soit [tex]c \in \mathbb R[/tex]

montrer que [tex]\forall n \in \mathbb N ,\ n^c \in \mathbb N \  \Rightarrow \ c \in \mathbb N[/tex]

par contraposée
montrer que [tex]c \notin \mathbb N \ \Rightarrow \ \exists n \in \mathbb N ,\ n^c \notin \mathbb N[/tex]

ce qui est évident (ou presque)

Fred

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Re : casse tête n°1 -Puissance d'entiers

Ca ne me semble toujours pas évident.
Ni à moi, ni à d'autres....

tibo

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Re : casse tête n°1 -Puissance d'entiers

Bonjour,

pour ce que ça intéresse j'ai la solution
...et elle est longue...

"La restriction de [tex]x \to 2^x[/tex] à ]-oo, 0[ est une bijection de ]-oo, 0[ sur ]0, 1[ ; on en déduit que c est un réel positif ou nul.

Montrons maintenant qu’on ne peut avoir 0<c<1.
D’après le théorème des accroissements finis, pour l’intervalle [n,n+1] avec n entier naturel, il existe [tex]\alpha \in[/tex] ]n,n+1[ tel que [tex]c \alpha^{c-1}=(n+1)^c-n^c.[/tex]
Pour tout entier n, [tex](n+1)^c-n^c[/tex] est un entier naturel non nul.

Comme [tex]\lim_{n \to \infty} n^{c-1}=0[/tex], on a pour n suffisamment grand [tex]n^{c-1}<\frac {1}{c}[/tex] et, par suite , [tex]c \alpha^{c-1}<1[/tex], ce qui contredit que [tex]c \alpha^{c-1}[/tex] doit être un entier naturel non nul.

Pour [tex]c \ge 1[/tex], nous allons utiliser une généralisation du théorème des accroissements finis :
Si f est continue sur  [a,b], k-fois dérivable sur ]a,b[,
Si [tex]0<h \le \frac{(b-a)}{k}\ et\ x+kh \le b[/tex],
Alors il existe un réel [tex]\alpha\ tel\ que\ a<\alpha<b[/tex], et
[tex]\frac {1}{h^k} \sum_{i=0}^k (-1){k-i}\binom{i}{k}f(x+kl)=f^{(k)}(\alpha)[/tex] .

(Ce théorème se démontre par récurence en utilisant le théorème des accroissements finis.)

Soit maintenant l’entier k vérifiant [tex]k-1 \le c<k[/tex].
Pour [tex]f :c \to n^c[/tex], on a [tex]f^{(k)}(c)=c(c-1)(c-2)...(c-k+1)\alpha^{c-k}[/tex],
et en appliquant le théorème AFG à la fonction [tex]f:x \to x^c[/tex] sur l'intevalle [n,n+k] avec h=1, on est assuré de l'existance d'un réel [tex]\alpha[/tex] appartenant à ]n,n+k[ tel que
[tex]\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom{i}{k} (n+k)^c =c(c-1) ... (c-k+1)\alpha^{c-k}[/tex].

Pour n suffisament grand, le second membre est strictement inferieur à 1 (tout en étant positif ou nul).
Le premier membre est manifestement un entier naturel.
La seule issue est que les deux termes en jeu sont nuls, ce qui implique que c=k-1.
C est bien un entier naturel."

Fred

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Re : casse tête n°1 -Puissance d'entiers

Salut,

  Je ne regrette pas trop de ne pas avoir trouvé....

Fred.