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Chat du Cheshire

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Couples de variables aléatoires

Bonsoir, je me pose une question liée à un exercice de probabilité que je tente de résoudre dernièrement; l'implication suivante est-elle vraie: "Si deux couples de variables aléatoires suivent la même loi, alors ont elles la même image ensembliste"? Merci pour l'attention que vous accorderez à mon message.

Dernière modification par Chat du Cheshire (04-03-2026 20:17:21)

Michel Coste

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Re : Couples de variables aléatoires

Bonsoir,
Pourquoi "deux couples de variables aléatoires"  ? Ne serait-ce pas plutôt "deux variables aléatoires" ?

Chat du Cheshire

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Re : Couples de variables aléatoires

Bonsoir merci pour votre réponse: par exemple, on a 4 variables aléatoires réelles X, Y, W et Z telles que les (X, Y) et (W, Z) suivent la même loi et la question que je me posais était: est-ce que les applications (X, Y) et (W, Z) ont donc par conséquent la même image ensembliste/ensemble image ?

Michel Coste

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Re : Couples de variables aléatoires

On peut commencer par regarder ce qui se passe pour deux variables aléatoires réelles. Prenons comme espace probabilisé $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue, avec dessus les variables aléatoires $X$ et $W$ définies par $X(x)=x$ pour tout $x\in [0,1]$ ,  $W(x)=x$ si $x\in [0,1]\setminus {\mathbb Q}$ et $W(x)=0$ si $x\in [0,1]\cap {\mathbb Q}$. Que peux-tu dire sur cet exemple ?

Chat du Cheshire

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Re : Couples de variables aléatoires

Je ne suis pas sûre: l'image de [0, 1] par X est [0, 1] tandis que l'image de [0, 1] par W est la réunion entre: l'ensemble [0, 1] \ Q et le singleton {0}.

Michel Coste

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Re : Couples de variables aléatoires

$X$ et $W$ sont-elles de même loi ?

Chat du Cheshire

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Re : Couples de variables aléatoires

Non puisque X([0, 1]) est différent de W([0, 1]).

Michel Coste

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Re : Couples de variables aléatoires

Mauvaise réponse !
Pour savoir si $X$ et $W$ ont même loi, on se demande si  $P(a<X<b)=P(a<W<b)$ pour tous $a,b$ tels que $0\leq a<b\leq 1$.