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SebastienJ

Invité

Cours sur les primitives à valeurs complexes

Bonjour,

Jeune étudiant en prépa, je ne comprends pas la partie des primitives à valeurs complexes..
Pourriez vous, avec toute ma reconnaissance, me l'expliquer?

Cordialement,

Sébastien J.

SebastienJ

Invité

Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Je me rectifie,
"la partie de cours sur les primitives à valeurs complexes"*

Oubay.M

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Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Oui tout a fait

Oubay.M

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Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Il faut juste nous dire ce que tu n'as pas compris dans la partie de cours sur les primitives à valeurs complexes.

Si tu n'as pas compris le cours en général, il faut savoir que pour une fonction $f : I \to C$, 
on peut écrire $f(x) = f_r(x) + i f_i(x)$ où ici $f_r$ et $f_i$ sont des fonctions continues 
telles que $f_r(x) = F_r'(x)$ de même pour $f_i$. Donc par linéarité de la dérivation, 
$F(x) = F_r(x) + i F_i(x)$.

Voilà.

Si ce qui te gêne c'est la partie avec les nombres complexes, il faut que tu saches 
que ici tous les nombres complexes sont des constantes donc c'est comme si tu primitives 
une fonction à variable réelle. Par exemple $cos(ix)$ sa primitive c'est $\frac{1}{i} sin(ix)$. 
$\bigl( -i = \frac{1}{i} \bigr)$.

SebastienJ

Invité

Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Merci beaucoup pour votre intervention.
Pour l'instant, j'étudie (et je bloque) la façon dont on peut calculer une primitive d'une fonction réelle en passant par une fonction complexe.

Bien cordialement,
Sebastien.

Oubay.M

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Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Tu veux dire par exemple la primitive de e^x*sin(x) ?
Pour cela il faut que tu prennent la partie imaginaire de l'intégrale puis tu fais les calculs classique et a la fin tu ne prends que la partie imaginaire
Je ne sais pas si c'est clair mais tu fais comme pour les sommes mais ici c'est une intégrale

SebastienJ

Invité

Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Ah, oui, je vois.
Seulement dans mon livre il est inscrit de poser une fonction complexe, puis de désigner f(x) comme sa partie réelle.
Est-ce qu'on peut considérer que sin(x) est la dérivée de -cos(x)? puis de mettre le coefficient "-" en dehors de l'intégrale?
Je m'excuse de vous déranger aussi longtemps..

Oubay.M

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Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Pour calculer l'intégrale de $e^{ix} \sin x$, utilisez la formule d'Euler : $e^{ix} = \cos x + i \sin x$.

Ainsi,
$$
\int e^{ix} \sin x , dx = \int (\cos x + i \sin x) \sin x\,dx = \int \cos x \sin x\, dx + i \int \sin^2 x\,dx.
$$

On calcule :
$$
\int \cos x \sin x , dx = -\frac{1}{4} \cos 2x + C_1, \quad \int \sin^2 x\, dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C_2.
$$

Donc la primitive est :
$$
\int e^{ix} \sin x\,dx = -\frac{1}{4} \cos 2x + i \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x\right)  + C.
$$

Dernière modification par yoshi (27-02-2026 19:24:01)

SebastienJ

Invité

Re : Cours sur les primitives à valeurs complexes

Il me semble que ce n'était pas la fonction initiale que vous aviez énoncé, cependant je vous remercie quand même pour votre explication.

Cordialement,
SebastienJ