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Reouven

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Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Bonjour,

voici la question : à périmètre constant, quel triangle maximise son aire ?
Réponse archi connue : triangle équilatéral.

Il y a, je pense, des démonstrations notamment celle avec la formule de Héron permettant d'avoir le résultat rigoureusement pas trop difficilement par le calcul.

Mais je me demande s'il est aussi possible de démontrer cette question, uniquement avec des considérations de symétrie et si ainsi on peut obtenir le résultat sans aucun calcul, juste en l'exprimant de manière compréhensible en langage  naturel mais clair et formalisable facilement dans une axiomatique assez "naturelle".

Dernière modification par Reouven (11-02-2026 18:43:28)

Roro

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Bonsoir,

Il me semble que les premières preuves de l'inégalité isopérimétrique dans le plan utilisaient de tels arguments.
Voir par exemple https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA14041.pdf

Roro.

Bernard-maths

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Bonjour à tous !

@ Roro, si on prend 2 triangles de même périmètre et ayant un côté commun, l'aire la plus grande est celle du triangle qui a la plus grande hauteur par rapport au côté commun.

Si on cherche le triangle de même côté commun, qui a la plus grande aire, il s'agit du triangle isocèle de base côté commun.

De là à conclure que l'aire est maximale quand le côté commun vaut un tiers du périmètre ... j'ai pas d'argument ... pour le moment !

Bernard-maths

Bernard-maths

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Suite !

Si a est la longueur de la base, et p le périmètre, alors la hauteur h est donnée par :

h² + (a/2)² = (p-a)²/4, puis 4 aire² = h² * a², d'où 4 aire² = [(p-a)²/4 - (a/2)²] * a²? sauf erreur.

Cette fonction du second degré en a DOIT passer par un maximum pour a = p/3 !!!

SINON les maths ne sont pas fiables ... reste à faire les calculs ... j'ai la flemme !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (12-02-2026 10:20:02)

Bernard-maths

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Suite et fin !

Avec geogebra pour les calculs, avec p = 6 :

Donc c'est bon !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (12-02-2026 16:17:29)

Michel Coste

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Bonjour,
Fixons $A$ dans le plan euclidien. L'ensemble les couples $(B,C)$ tels que le périmètre de $ABC$ soit égal à $1$ est une partie  compacte du produit cartésien du plan euclidien avec lui-même. La fonction "aire de $ABC$" est continue sur ce compact, elle y atteint donc son maximum. Un triangle $ABC$ non équilatéral ne réalise pas le maximum de l'aire vu l'argument du message #3. Donc le maximum est atteint pour $ABC$ équilatéral.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Bonjour,

Dès que j'ai vu la gueule de ta courbe je me suis dit : << Tiens une courbe du 3e degré >> !
Ta formule a semblé alors me donner tort...
J'ai donc entrepris de la simplifier et j'ai obtenu $f(x)= -3x^3+9x^2$ !

Je ne sais pas si ça t'avance à quelque chose...

@+

Bernard-maths

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Hello !

Avec tout ça on n'a pas répondu à Reouven ???

B-m

Michel Coste

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Si

Bernard-maths

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

@ Yoshi !

Il vaut mieux tenir compte du paramètre p :

4 aire² = [(p-a)²/4 - (a/2)²] * a² = ... = ( p²/4 - a p/2 )*a² = p²/ 4 * a² - p/2 * a³ = f(a).

Alors f'(a) = p²/2 * a - 3 p/2 * a² = p/2*a (p - 3*a), et f'(a) = 0 pour a = p/3 ! ou a = 0, mais ça ne compte pas ...

B-m

Reouven

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Si

Il me reste à tenter de construire cette démonstration évoquée en #1 (si possible bien sûr), à partir du document et de la théorie donnés par Roro (merci bien).

Dernière modification par Reouven (12-02-2026 18:27:20)

Bernard-maths

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

Bonjour à tous !

Je bricole sur l'isopérimétrie ...

Les périmètres des figures sont de 12. "On voit" que si on passe de l'isocèle à l'équilatéral, de l'équilatéral au cercle, du rectangle au carré, du carré au cercle, on perd les parties jaunes, mais on gagne les parties rouges, qui sont plus grandes ... un calcul peut justifier ...

On peut généraliser ... étant donnée une courbe fermée du plan, si on la "gonfle", alors elle prend la forme d'un cercle de même périmètre.

Et aussi plus précisément : pour tout polygone de n côtés celui qui a la plus grande aire (à périmètre donné) est le polygone régulier convexe à n côtés.

Et en 3D ???

Périmètre devient aire, aire devient volume ...???

Ainsi de tous les tétraèdres d'aire latérale donnée, celui qui a le plus gros volume est le tétraèdre régulier. ?

De tous les hexaèdres, c'est le cube.

De  tous les polyèdres de n faces, c'est celui convexe régulier (ou presque) qui a le plus gros volume ...

Et en politique ???

Il y en a qui sont gonflés, et qui se les sphères ...

Bernard-maths

Reouven

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Re : Utiliser uniquement des considérations de symétrie pour cette question

oui c'est pas mal, ca peut donner des idées.

J'ai une idée un peu similaire, mais il faut juste que je trouve le temps de la coucher plus concrètement sur le papier.

Je n'ai pas complétement regardé encore le doc de roro mais je pense qu'on peut recouper avec ce genre de démarches.