Forum de mathématiques - Bibm@th.net

germain32

Membre

Inscription : 04-01-2026

Messages : 31

Equipotence P(N) R

Bonjour,
J'ai lu dans un poly de l'ENS que le théorème de Cantor-Bernstein permettait de démontrer
facilement que P(N) et R sont équipotent.
Je ne vois pas comment trouver les deux injections.
Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait très gentil.
Merci beaucoup

Glozi

Invité

Re : Equipotence P(N) R

Bonjour,
Une idée classique repose sur le développement en base $b$ des nombres réels.

Déjà, peux tu montrer que $\mathbb{R}$ et $]0,1[$ sont en bijection ?

Peux tu montrer que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ est en bijection avec l'ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$ à savoir $\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$.

Peux tu montrer les résultats suivants :
- Soit $b\geq 2$ un entier. Pour tout $x\in ]0,1[$ il existe une suite $(a_n)_{n\geq 1}$ avec $a_n \in \{0,1,2\dots,b-1\}$ telle que $x=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{b^n}$. Une telle suite est appelé un développement en base $b$ de $x$.
- Si $x\in ]0,1[$ possède plusieurs développements en base $b$ alors en fait $x$ admet exactement deux développements : l'un qui est constant égal à $0$ à partir d'un certain rang (développement propre) et l'autre constant égal à $b-1$ à partir d'un certain rang (développement impropre).
- Facultatif : en déduire que l'ensemble des $x\in ]0,1[$ pour qui admettent plusieurs développement en base $b$ est exactement l'ensemble des $x$ tels qu'il existe un entier $k\geq 1$ avec $b^kx\in \mathbb{N}$.

Maintenant il est plus ou moins facile de trouver les injections recherchées :
Pour une injection de $]0,1[$ dans $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ on prend l'application a un $x\in ]0,1[$ associe son développement en base $2$ (propre s'il y a le choix).
Pour une injection de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ dans $]0,1[$ on prend l'application qui a une suite $(a_n)\in \{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$ associe l'élement
$$x:=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{3^n}.$$
(on est sûr de ne pas tomber sur des développements impropres en base $3$ car aucun $a_n$ n'est égal à $2$).

NB : Pour la deuxième injection on ne peut pas se contenter d'associer $x=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^n}$ car alors on n'a pas l'injectivité à cause des développements impropres, par exemple :
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}$$.

Bonne journée

germain32

Membre

Inscription : 04-01-2026

Messages : 31

Re : Equipotence P(N) R

Bonjour Glozi,
et merci pour ton sujet de devoir !
Pour l'instant j'arrive à montrer qu'il y a une bijection entre
[tex]
\mathbb{R} \ et\ ]-1,1[\ avec\ Arctan
[/tex]
Je vais creuser pour ]0,1[
Comme tu vois je galère en Latex...
Encore merci

Glozi

Invité

Re : Equipotence P(N) R

Rebonjour,
La fonction Arctan est une très bonne idée. Cela dit elle te donne une bijection entre $\mathbb{R}$ et $]-\pi/2,\pi/2[$. Mais en fait tu peux montrer le résultat général suivant :
Pour tout $a<b$ et $c<d$ il existe une bijection entre $]a,b[$ et $]c,d[$.

▼indice

Indice 1 : penser à des fonctions affines.
Indice 2 : Pour simplifier, il suffit de montrer que pour tout $a<b$ il existe une bijection entre $]0,1[$ et $]a,b[$.

Pour le Latex ça vient en pratiquant (en en vérité ça vient même assez rapidement une fois que tu as compris la logique du langage). Si tu as besoin tu peux consulter  https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943 pour avoir les quelques notions de base. Sur ce site tu peux aussi citer un message pour voir comment le Latex a été rédigé.

Par curiosité tu en es à quel niveau dans tes études en maths ?

Bonne journée

germain32

Membre

Inscription : 04-01-2026

Messages : 31

Re : Equipotence P(N) R

Rebonjour,
Je suis un retraité qui s'intéresse à la théorie des ensembles, j'ai fait prépa maths
école d'ingé doctorat physique et j'ai enseigné les maths à petit niveau (iut).
J'arrive à $]0,1[ $ par transfo affine de Arctan
Je ne connais pas la notation $\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$
Merci d'éclairer ma lanterne...

Glozi

Invité

Re : Equipotence P(N) R

Si $E$ et $F$ sont deux ensembles alors $F^E$ désigne l'ensemble des applications $f : E \to F$ Ainsi $\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$ désigne l'ensemble des applications $a : \mathbb{N}^*\to \{0,1\}$ à savoir l'ensemble des suites $(a_n)_{n\geq 1}$ qui sont à valeurs dans $\{0,1\}$.

Ex : la suite $a$ définie par $a_n= \frac{1}{2}(1+(-1)^n)$ est un élément de cet ensemble de même que la suite $b$ qui est constante égale à $1$ ($\forall n\in \mathbb{N},\ b_n=1$).

germain32

Membre

Inscription : 04-01-2026

Messages : 31

Re : Equipotence P(N) R

Merci beaucoup pour cette info je crois apercevoir des perspectives intéressantes pour la suite.
En fait la notation $F^E$ j'ai dû la voir en prépa mais j'avais complètement oublié, ça date des
années 80...

germain32

Membre

Inscription : 04-01-2026

Messages : 31

Re : Equipotence P(N) R

Et toi tu as l'air d'être un mathématicien averti, pédagogue et passionné...
Encore Merci
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Equipotence P(N) R

Je ne suis pas mathématicien, je suis juste un étudiant en maths. Mon objectif est de devenir enseignant du coup je suis content si tu trouves mes explications pédagogues.

germain32

Membre

Inscription : 04-01-2026

Messages : 31

Re : Equipotence P(N) R

Ah oui oui très pédagogiques, tu es au moins en Master ou peut-être  en thèse, si tu peux enseigner en fac au moins en L3 ce serait bien, t'aurais un public attentif et à la hauteur...