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#1 26-01-2026 17:58:43
- gebrane
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Une CNS très difficile à deviner !
Bonjour,
Soit $f: \mathbb R\to \mathbb R^+$ une fonction de classe $C^1(\mathbb R)$ edit $f \in C^2(\mathbb{R})$.Donner une CNS pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$
Dernière modification par gebrane (27-01-2026 13:44:44)
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#2 26-01-2026 20:04:52
- Reouven
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Re : Une CNS très difficile à deviner !
Je ne vois qu'une condition suffisante : au voisinage d'un point $a$ où $f$ s'annule, $f$ est une fonction explicite et $f(x)=o\left((x-a)^2\right)$.
Dernière modification par Reouven (26-01-2026 20:09:59)
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#4 27-01-2026 03:39:45
- Reouven
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Re : Une CNS très difficile à deviner !
$f$ étant positive, posons $f(x)=h(x)^2$.
On cherche une CNS pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$.
Pour que $\sqrt f$ soit dérivable en un zéro $a$ de $f$, $h$ doit être de signe constant au voisinage de ce point.
D'où $\sqrt{f}=h$ (le même raisonnement est valable si $\sqrt{f}=-h$, avec $h$ négative).
Par ailleurs, $f$ étant $C^1(\mathbb R)$, en utilisant, par exemple, la formule de Taylor, on obtient :
$f(x) = (x-a) f'(a) + o\left((x-a)\right)$.
D'où
$$f'(a)=0$$
De plus, pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$, il faut que :
$\displaystyle (h'(a)=)\lim_{x \to a} \dfrac{h(x)}{x-a} =\lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$, c'est-à-dire :
$\displaystyle \dfrac{h(x)}{x-a} \underset{a}{\sim}
\dfrac{f'(x)}{2 \sqrt{f(x)}}$,
$\displaystyle 2\ h(x)^2 \underset{a}{\sim} f'(x) (x-a)$
Or $f'(x)=o\left((x-a)\right)$ en $a$
D'où
$$f(x)=o\left((x-a)^2\right)$$
En conclusion, la CNS est :
$\forall x\in\mathbb R,\quad (f(x)=0 \implies f(u)=o\left((u-x)^2\right),\ \text{au voisinage de } x)$
ou de manière équivalente (si $f''$ existe au zéro en question) :
$\forall x\in\mathbb R,\quad (f(x)=0 \implies f''(x)=0)$
edit : coquilles
Dernière modification par Reouven (27-01-2026 12:44:56)
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#5 27-01-2026 13:44:00
- gebrane
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Re : Une CNS très difficile à deviner !
Bonjour,
je viens de constater que dans mon énoncé j’ai écrit que $f \in C^1(\mathbb{R})$ alors qu’en fait $f \in C^2(\mathbb{R})$. C’est pourquoi j’ai parlé de la dérivée seconde. Je vais relire attentivement, et si ta caractérisation fonctionne pour seulement $f \in C^1(\mathbb{R})$, ce serait formidable.
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#6 27-01-2026 14:20:11
- Reouven
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Re : Une CNS très difficile à deviner !
Je doute fort de mon résultat pour être tout à fait honnête, surtout que je vois une erreur évidente.
Au mieux, c'est une condition suffisante mais pas nécéssaire, comme je l'avais évoqué dans mon premier message.
Edit : déjà $f'(a)=0$ implique que $f'(x)= O(x-a)$ (et non petit $o$), donc ma caractérisation serait plutôt $f(x)=O\left((x-a)^2\right)$, c'est-à-dire $f$ deux fois dérivable en $a$.
Dernière modification par Reouven (27-01-2026 14:52:15)
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#7 28-01-2026 13:20:33
- gebrane
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Re : Une CNS très difficile à deviner !
Re-bonjour
Avec un peu de retard, je te réponds :
La condition $\forall a, (f(a)=0 \implies f(x) = o((x-a)^2))$ est une CNS pour la dérivabilité de $\sqrt{f}$, mais elle n'est pas suffisante pour que $\sqrt{f}$ soit $C^1$.
Contre-exemple :
Soit $f(x) = x^4 \left( 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right)^2$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=0$.
$f$ est bien de classe $C^1$ et positive sur $\mathbb{R}$.
On a $h(x) = \sqrt{f(x)} = x^2 \left( 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right)$. ( J'ai ajouté 2 pour avoir $ 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right)>0)$
$h$ est dérivable en $0$ car $\frac{h(x)-h(0)}{x} = x(2+\sin(1/x)) \xrightarrow{x \to 0} 0$. On a donc bien $f(x) = o(x^2)$ et $h'(0)=0$.
En outre, pour $x \neq 0$ :
$h'(x) = 2x \left( 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)$.
Cette dérivée n'admet pas de limite en $0$ à cause du terme en $\cos(1/x)$.
Ta condition garantit que $\sqrt{f}$ est dérivable, mais pour la continuité de la dérivée, il faut une condition supplémentaire sur le comportement de $f'$
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#9 28-01-2026 16:08:51
- Reouven
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Re : Une CNS très difficile à deviner !
C'est pour cela qu'au début j'avais parlé de fonctions explicites.
Je crois qu'on ne peut pas avoir une fonction continue et explicite sur un intervalle I, avec un zero non isolé ?
(par contre, évidemment, une fonction non explicite peut avoir des zéros isolés).
Dernière modification par Reouven (28-01-2026 16:19:27)
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#10 28-01-2026 20:36:00
- Reouven
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Re : Une CNS très difficile à deviner !
Je reviens vite fait pour dire que par fonction explicite je voulais entendre gonction analytique.
Par ailleurs, pour ma dernière question, je m'auto-réponds que non, une fonction analytique sur un intervalle I, non identiquement nulle, ne peut avoir que des zéros isolés.
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